数学建模飞机运输问题要点.pdf
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1、多变量有约束最优化问题 摘要 本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物 的容量 50000 立方英尺有限的情况下,有三种货物(即x1、x2、x3) 需要运输,公司规定每吨货物收取一定的费用,而要运输的每种货物 的吨数都有规定的上限 (最多不超过 30 吨、 40 吨、50 吨) , 并且公 司 规定由于飞机需要保养与维护,飞机须停飞115天,因此每年只有 250天的工作时间。在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每 年获得最大利润 w。对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的 数学模型,在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解(w、x1、 x2、x3) ,在对这些最优解进
2、行分析与讨论,确定其为有效最优解。 并以此作为公司对三种货物运输安排方式。 对于问题一,求使得运输航空公司获得最大利润w的 x1、x2、x3 三种货物的吨数, 建立相应的数学模型。 再根据运输能力最多100 吨 和运载货物容积的最大50000立方英尺,还有每天公司规定的每种货 物的运输上限即 x1 种货物最多运输 30 吨, x2 种货物最多运输 40 吨, x3 种货物最多 50 吨,建立约束条件。并用数学软件mathematica 进 行求解,即为所求的最优解(也就是 w=21875 , x1=30, x2=7.5, x3=50) 。 对于问题二中,要求计算每个约束的影子价格。我们将利用问
3、题 一中建立的目标函数和约束条件, 将其编写成源程序输入到Lindo 软 件中进行求解。再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通 过其在题意的理解,解释其含义。 问题三中,对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能 力,且旧飞机使用寿命为5 年,每架飞机的改造要花费200000美元, 可以增加 2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每 年飞行 250 天,这些旧飞机剩余的使用寿命约为5 年。根据此问题我 们将建立数学规划模型, 利用 Lindo 软件计算其影子价格和利润并且 与前面进行比较,进行分析。 关键词:线性规划、 mathematica 软件的应用、 Lindo
4、 的软件应 用。 一、 提出问题 一个运输公司每天有100 吨的航空运输能力。公司每吨收空运费250 美元。除了重量的限制外,由于飞机货场容积有限,公司每天只能运 50000立方英尺的货物。每天要运送的货物数量如下: 货物重量(吨)体积(立方英尺 / 吨) 1 30 550 2 40 800 3 50 400 (1)求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。 (2)计算每个约束的影子价格,解释它们的含义。 (3)公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空 间。每架飞机的改造要花费200000美元,可以增加2000立方 英尺的容积。重量限制仍保持不变。 假设飞机每年飞行250天,
5、 这些旧飞机剩余的使用寿命约为5 年。在这种情况下,是否值 得改装?有多少架飞机时才值得改装? 二、 提出假设 假设 1:飞机每天最多只能运输50000立方英尺的货物。 假设 2:飞机每天最多只能运 :100 吨货物。 假设 3:货物 1 每天都有 30 吨要运。 假设 4:货物 2 每天都有 40 吨要运。 假设 5:货物 3 每天都有 50 吨要运。 四、符号说明 符号意义单位备注 w 利润美元 x1 运载货物 1 的 吨数 吨 x2 运载货物 2 的 吨数 吨 X3 运载货物 3 的 吨数 吨 v 飞机货舱容积立方英尺 m 飞机载重吨 五、模型的建立与求解 第一部分 5.1 问题一的模型
6、的建立。 51.1 问题一的分析。 结合题意,计算航空公司获得的利润,必须将运输航空公司 里的飞机的燃料费用及修理维护费用忽略不计,还有每吨货物的运费 始终保持不变。在这种情况下,3 种货物总运输吨数不超过100吨, 容积不超过 50000 立方英尺,且 3 种货物有各自运输上限, 建立目标 函数和约束条件。 5.1.2 问题一模型的建立。 通过对原问题的分析,我们可以建立如下的数学线性规划模型: Max W= 250x1+250x2+250x3 550x1+1800x2+400x3=50000 x1+x2+x3=100 x1=30 x2=40 x3=50 5.1.3 模型的求解 将编写的程序
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