数理经济学第6章课后题答案要点.pdf
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1、第六章习题答案 1考虑如下最优化问题 0, 1 . . max 21 2 1 2 1 1 xx xx ts xy 用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩 塔克极大化条件 解: 可行域为 OAB 利用图解法求的均衡点为)0, 1 (B,1max y 对于)0 ,1 (B来说,有11 2 2 2 1 xx,因此该约束规格是紧的。 构建拉格朗日函数) 1(),( 2 2 2 1121 xxxxxL 01,0 0) 1( 02 021 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 21 1 xx xx x x L xx x L )0 , 1(B符合TK条件 2考虑如下最优化问题 0
2、, 0 min 21 2 2 1 1 xx xx ts xy 用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩 塔克极大化条件 解:利用图解法求的均衡点为)0 ,0(o,0min y 求法同上,可知约束规范是紧的 B A O x1 x2 构建拉格朗日函数)(),( 2 2 1121 xxxxxL 0, 0 0)( 0 021 2 2 1 2 2 1 2 1 1 xx xx x L x x L )0 ,0(o符合TK条件 3. 考虑如下最优化问题 0 0 min 2 2 3 1 1 x xx ts xy 检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩 塔克极大化条件 解: 利用图
3、解法求的均衡点为)0,0(o,0min y 求法同上,可知约束规范是紧的 构建拉格朗日函数)(),( 2 3 1121 xxxxxL x1 O x2 x2 x1 0, 0 0)( 0 031 2 3 1 2 3 1 2 2 1 1 xx xx x L x x L )0 ,0(o不符合TK条件 4写出下面优化问题的一阶必要条件 0, 2 ),(max 222 zyx zyx ts zyxzyxf 解:)2(),( 222 21 zyxzyxxxL 一阶必要条件为: 0)2(,0 021 021 021 222 zyx z z L y y L x x L 5求解下面最优化问题 (1) 0, 122
4、 4max 22 yx yx ts yxx ( 2) 0, 1 6 0 min 21 2 21 21 21 xx x xx xx ts xxy (3) 0, 302 105 10540min 321 31 21 321 xxx xx xx ts xxxy (4) 0,0 4 ),(max 21 2 2 2 1 2 2121 xx xx ts xxxxf (5) 0, 16 max 21 21 21 xx xx ts xxy 解: (1) 22 ( , ,)4(221)L x yxxyxy 一阶必要条件为: 2120 820 (221)0 0,221 L x x L y y xy xy 解得 3
5、14 , 1055 xy (2)图解法 可行域为 314 , 1055 xy,均衡解点(1,1) min2Ay (3) 12312123112213 (,)40510(105)(302)L x xxxxxxxxx 一阶必要条件为: x1 B CA 0 x2 12 1 1 2 2 3 112 213 1212 13 40520 50 100 (105)0 (3023)0 ,0,510 230 L x L x L x xx xx xx xx (4) 222 121212 (,)(4)L x xxxxx 一阶必要条件为: 1 1 22 2 22 12 22 12 120 220 (4)0 0,4 L
6、 x x L xx x xx xx 解得 12 1 2,0, 4 xx (5) 121212 (,)(16)L x xx xxx 一阶必要条件为: 2 1 1 2 12 12 0 0 (16)0 0,16 L x x L x x xx xx 解得 12 8xx 6考虑如下最优化模型 0, 0)1 ( . . m ax 21 3 12 1 xx xx ts xy 证明: (1)均衡解 12 ,1,0xx不满足库恩 -塔克条件;(2)当引进新乘数0 0 ,把拉 格朗日函数修改成如下形式 n i i m i in xxxgrxxxfZ, 21 1 2100 , 则在点0, 1处满足库恩 -塔克条件。
7、 解: (1) 3 12112 (,)(1)L x xxxx 一阶必要条件为: 2 1 1 2 3 12 3 12 13 (1)0 0 (1)0 0, (1)0 L x x L x xx xx 不符合 K-T 条件。 (2)此时, 3 1200112(, ,)(1)L xxxxx 一阶必要条件为: 2 01 1 2 3 12 3 12 3 (1)0 0 (1)0 0,(1)0 L x x L x xx xx 当 0 0时,符合K-T 条件 7消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为 2121 ),(xxxxU 假设消费者的收入为12 元,两种商品价格分别为2, 1 21 pp。试求最优的商品组合
8、。 解:由题意知, 112212 212PxP xxx 121212 (,)(212)L x xx xxx 一阶必要条件为: 2 11 1 22 12 12 0 20 (212)0 0,212 Lx xx Lx xx xx xx 解得 12 2 6,3, 2 xx 8求解消费者问题 Mxpxpts xxxU 2211 21 ln)(max 效用极大值点,并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。 解: 12121122 (, )ln()L x xxxp xp xM 一阶必要条件为: 1 1 2 22 1122 1122 10 0 ()0 0, L p x L p xx p xp xM p
9、 xp xM 解得 1 12 121 1 , Mp xx ppp 1 2 2 2 12 00 0 0 p Hp x pp 验证其为负定。 9 一 个 消 费 者 生 活 在 小 岛 上 , 那 里 只 生 产 两 种 产 品 ,x和 y, 生 产 可 能 前 沿 是 200 22 yx,他消费所有的产品,她的效用函数是 3 xyU,这个消费者同时面临环境 对于她所能生产的两种产品总额上的约束,约束条件是20xy (1)写出库恩 塔克一阶条件 (2)求消费者最优的x和 y,确定约束条件是否发挥限制作用。 解: (1) 322 11212 (, ,)(200)(20)L x yxyxyxy K-T
10、 一阶条件为: 3 12 2 12 2 22 1 2 22 12 20 320 (200)0 (20)0 ,0,2000 200 L yx x L xyy x xy xy xy xy (2)假设第二个约束条件(定量配额)没有发挥作用,由互补松弛性得 2 0,故有 3 1 2 1 22 1 20 320 (200)0 yx xyy xy 解得 1 5 2,5 6,75 3xy,因20xy故为 K-T 条件最终解。 反之 2 1 3 2 2 2 2 0 30 (20)0 y xy xy 解得 2 5,15,3375xy,因 22 200xy故被拒绝。 10一家电子公司在外国设立一个发电站。现在需要
11、规划其产能。电力需求的高峰时段的需 求函数是 11 400QP,非高峰时段的需求函数是 22 380QP。变动成本是20(两个市 场都要支付) ,产能成本是每单位10,只要一次支付并且可以在两个时期中使用。 (1)写出这个问题的拉格朗日条件和库恩塔克条件。 (2)求出这个问题中的最优产量和产能。 (3)每个市场分别能支付多少(即 1和2的值是多少) (4)现在假设产能成本是每单位30(只需要支付一次) 。求出数量、产量以及每个市场为 产能所支付的费用(即 1和2) 。 11给定最优化问题 0,x , 2, 1)( s.t. )min mirxG F(xy ii (1)为了得到可应用的极大化的充
12、分条件,哪些凹凸条件需要追加在F和 i G上? (2)论述极小化问题的库恩塔克条件。 解: (1)对于极大化问题,存在下列充分条件: ),2 ,1(,0 ),2, 1( ,)( )(max nix mjbg ts fy i j j x x 如果满足: a.目标函数)(xf为凹函数且可微; b.每个约束函数)(x j g为凸函数且可微; c.点 x 满足库恩 塔克极大化条件。 则点 x 为目标函数( )yf x的整体极大值点。 对于极小化问题,存在下列充分条件: ),2, 1(,0 ),2 ,1(,)( )(min nix mjbg ts fy i j j x x 如果满足: a.目标函数( )
13、f x为凸函数且可微; b.每个约束函数)(x j g为凹函数且可微; C.点 x 满足库恩 塔克极小化条件。 (2)构造拉格朗日函数)()(),( 1 i m i ii rxGxfxL,如果若 x为该问题的均衡解, 则存在拉格朗日乘数0使得)( ,x 满足库恩 塔克必要条件: mi xLxL x xL xx x xL i ii i , 2, 10 ),( 00 ),( 0 ),( 00 ),( 12对于下面问题,库恩塔克充分性定理是否适用 (1) 0, 4 )4()3(min 21 21 2 2 2 1 xx xx ts xxy , (2) 0, 04 2min 21 21 2 1 21 x
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