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1、河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教 A版选修 1-1 【学习目标】 1. 了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2. 理解曲线的切线的概 念 ; 3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义, 并会用导数的几何意义解题. 【重点难点】 曲线的切 线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 【学习内容】 一、创设情景 我们知道 , 导数表 示函数)(xfy在 0 xx处的瞬时变化率, 反映了函数)(xfy在 0 xx附近的变化情况, 导数 0 ()fx的几何意义是什么呢? 二、学习新知 ( 一) 曲线的切线及切线的斜率 如图 , 当(,()(1,2,3,4) n
2、nn P xf xn沿着 曲线( )f x趋近于点 00 (,()P xf x时, 割线 n PP 的变化趋势是什么? 我们发现 : 问题 : (1) 割线 n PP的斜率 n k与切线PT的斜率k有什么关系? (2)切线PT的斜率k为多少? 说明 : (1) 设切线的倾斜角为, 那么当0x时, 割线PQ的斜率 , 称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在 0 xx处的导数 . (2) 曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解. 如有极限 , 则在此点有 切线 , 且切线是唯一的
3、; 如不存在 , 则在此点处无切线;3) 曲线切线 ,并不一定与曲线只有一个 交点 , 可以有多个 , 甚至可以无穷多. ( 二) 导数的几何意义 函数)(xfy在 0 xx处的导数等于在该点 00 (,()xf x处的切线的斜率, 即 00 0 0 ()() ()lim x fxxf x fxk x 说明 : 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出P点的坐标 ; 求出函数在点 0 x处的变化率 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x 得到曲线在点 00 (,()xf x的切线的 斜率 ; 利用点斜式求切线方程 . ( 三) 导函数 由函数)(xfy在 0 xx
4、处求导数的过程可以看到, 当 0 xx时, 0 ()fx是一个确定的 数, 那么 , 当x变化时 , 便是x的一个函数 , 我们叫它为)(xf的 导函数 . 记作 :( )fx或y, 即 0 ()( ) ( )lim x f xxfx fxy x . 注: 在不致发生混淆时, 导函数也简称导数. ( 四) 函数( )fx在点 0 x处的导数 0 ()fx、导函数( )fx、导数之间的区别与联系 (1) 函数在一 点处的导数 0 ()fx, 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限, 它是一个常数 , 不是变数 . (2) 函数的导数 , 是指某一区间内任意点x而言的 , 就是函数)
5、(xf的导函数 . (3) 函数( )f x在点 0 x处的导数 0 ()fx就是导函数( )fx在 0 xx处的函数值, 这也是求 函数在点 0 x处的导数的方法之一. 三、典例分析 例 1 (1) 求曲线1)( 2 xxfy在点)2 ,1 (P处的切线方程 . (2) 求函数 2 3xy在点(1,3)处的导数 . 解: 例 2 如图 , 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2 ( )4.96.510h xxx, 根据图像 , 请描述、比较曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t附近的变化情况. 解: 例 3 如图 , 它表示人体血管中药物浓度( )cf t( 单位 :/mg mL)
6、 随时间t( 单位 :min) 变化 的图象 .根 据图像 , 估计0.2,0.4,0.6,0.8t时,血管中药物浓度的瞬时变化率( 精确 到0.1) 解: 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: 验证一下,这些值是否正确。 t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 ( ) ft 0.4 0 -0.7 -1.4 四、课堂练习 1. 求曲线 3 )(xxfy在点(1,1)处的切线 . 2. 求曲线yx在点(4,2)处的切线 . 五、 【课堂小结与反思】 六 【课后作业与练习】 1曲线 2 xy在0x处的() A 切线斜率为 1 B 切线方程为xy2 C 没有 切线 D 切线方程为0y
7、 2已 知曲线 2 2xy上的一点A(2, 8) ,则点 A处的切线斜率为() A 4 B 16 C 8 D 2 3函数)(xfy在 0 xx处的导数)( 0 / xf的几何意义是() A 在点 0 xx处的函数值 B 在点)(,( 00 xfx处的切 线与x轴所夹锐角的正切值 C 曲线)(xfy在点)(,( 00 xfx处的切线的斜率 D 点)(,( 00 xfx与点( 0,0)连线的斜率 4已知曲线 3 xy上过点(2,8)的切线方程为01612axx,则实数a的值为() A 1 B 1 C 2 D 2 5若3)( 0 / xf,则 h hxfhxf h )3()( lim 00 0 () A 3 B 6 C 9 D 12 6设)(xf为可导函数,且满足条件1 2 )1()1( lim 0 x xff x ,则曲线)(xfy在点( 1, 1)处的切线的斜率为() A 2 B 1 C 2 1 D 2 7 已知曲线 1 2 xy上的两点A(2,3) ,)3 ,2(yxB,当1x时,割线 AB的 斜率 是_,当1.0x时,割线 AB的斜率是 _,曲线在点A处的切线方 程是 _ _。 8在 曲线 2 xy上过哪一点的切线, (1)平行 于直线54xy; (2)垂直于直线0562yx; (3)与x轴成135 的倾斜角; (4)求过点R( 1, 3)与曲线相切的直线。
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