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1、选修 2-2 1.3.3 函数的最值与导数 一、选择题 1函数yf(x) 在区间 a,b上的最大值是M,最小值是m,若Mm,则f(x)( ) A等于 0 B大于 0 C小于 0 D以上都有可能 答案 A 解析 Mm,yf(x) 是常数函数 f(x) 0,故应选A. 2设f(x) 1 4x 41 3x 31 2x 2 在 1,1 上的最小值为 ( ) A0 B 2 C 1 D. 13 12 答案 A 解析 yx 3 x 2 xx(x 2 x1) 令y 0,解得x0. f( 1) 5 12, f(0) 0,f(1) 13 12 f(x) 在 1,1 上最小值为0. 故应选 A. 3函数yx 3x2
2、 x1 在区间 2,1 上的最小值为 ( ) A. 22 27 B2 C 1 D 4 答案 C 解析 y 3x 22x1(3 x1)(x1) 令y 0 解得x 1 3或 x 1 当x 2 时,y 1;当x 1 时,y2; 当x 1 3时, y 22 27;当 x1 时,y2. 所以函数的最小值为1,故应选C. 4函数f(x) x 2 x 1在区间 3,0 上的最值为 ( ) A最大值为13,最小值为 3 4 B最大值为1,最小值为4 C最大值为13,最小值为1 D最大值为 1,最小值为7 答案 A 解析 yx 2 x1,y 2x1, 令y 0,x 1 2,f ( 3) 13,f 1 2 3 4
3、, f(0) 1. 5函数yx1x在(0,1) 上的最大值为( ) A.2 B1 C0 D不存在 答案 A 解析 y 1 2x 1 21x 1 2 1xx x1x 由y 0 得x 1 2,在 0, 1 2 上y0,在 1 2,1 上 y0 得函数的增区间是( , 2) 和(2, ) ,由 y0 得x1 2,由 y 3 2时,函数为增函数,当 2x 3 2时,函数为减 函数,所以无最大值,又因为f( 2) 57,f 3 2 283 4,所以最小值为 283 4. 13若函数f(x) x x 2 a (a0) 在1 , ) 上的最大值为 3 3 ,则a的值为 _ 答案 31 解析 f(x) x 2
4、 a2x 2 (x 2a)2 ax 2 (x 2 a) 2 令f(x) 0,解得xa或xa( 舍去 ) 当xa时,f(x)0; 当xa时,f(x) a 2a 3 3 ,a 3 2 0 得x2 或x0 ; 当 1 1 2时, f(x)0, 所以f(x) 在 3 4, 1 4 上的最小值为 f1 2 ln2 1 4. 又f 3 4 f 1 4 ln 3 2 9 16ln 7 2 1 16 ln 3 7 1 2 1 2 1ln 49 9 ln2 1 且x0 时,e xx22ax 1. 分析 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函 数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问
5、题的能力 解题思路是:(1) 利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值(2) 将不等 式转化构造函数,再利用函数的单调性证明 解析 (1) 解:由f(x) e x 2x2a, xR知f(x) e x2,xR. 令f(x) 0,得xln2. 于是当x变化时,f(x) ,f(x)的变化情况如下表: x ( , ln2)ln2(ln2 ,) f(x)0 f(x) 单调递减 2(1 ln2 a) 单调递增 故f(x) 的单调递减区间是( , ln2) ,单调递增区间是(ln2 , ) , f(x) 在x ln2 处取得极小值,极小值为f(ln2)e ln 2 2ln2 2a 2(1 ln2
6、a) (2) 证明:设g(x) e xx22ax1,xR,于是 g(x) e x2x 2a, xR. 由(1) 知当aln2 1 时,g(x) 最小值为g(ln2) 2(1 ln2 a)0. 于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x) 在 R内单调递增 于是当aln2 1 时,对任意x(0, ) ,都有g(x)g(0) 而g(0) 0,从而对任意x(0, ) ,g(x)0. 即 e xx2 2ax10,故 exx22ax1. 18已知函数f(x) 4x 27 2x ,x0,1 (1) 求f(x) 的单调区间和值域; (2) 设a1,函数g(x) x 3 3a 2x 2a,x0,1 若对于任意
7、x10,1 ,总存在 x00,1 ,使得g(x0) f(x1) 成立,求a的取值范围 解析 (1) 对函数f(x) 求导,得 f(x) 4x 216x7 (2 x) 2 (2x1)(2x7) (2 x) 2 令f(x) 0 解得x1 2或 x 7 2. 当x变化时,f(x) ,f(x) 的变化情况如下表: x 0(0 , 1 2) 1 2 ( 1 2,1) 1 f(x)0 f(x) 7 2 43 所以,当x(0, 1 2) 时, f(x) 是减函数; 当x 1 2,1 时, f(x)是增函数 当x0,1 时,f(x) 的值域为 4, 3 (2)g(x) 3(x 2 a 2) 因为a1,当x(0,1) 时,g(x)0. 因此当x(0,1) 时,g(x) 为减函数,从而当x0,1 时有g(x) g(1) ,g(0) 又g(1) 12a3a 2, g(0) 2a,即x0,1 时有g(x) 1 2a3a 2, 2a 任给x10,1 ,f(x1) 4, 3 ,存在x00,1 使得g(x0) f(x1) 成立, 则1 2a3a 2, 2a ? 4, 3 即 12a3a 2 4, 2a3. 解式得a1 或a 5 3;解式得 a3 2. 又a1,故a的取值范围为1a 3 2.
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