曾量子力学题库(网用)(1)要点.pdf
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1、一、简述题: 1. (1)试述 Wien 公式、 Rayleigh-Jeans 公式和 Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. ( 1)试给出原子的特征长度的数量级(以m 为单位)及可见光的波长范围(以? 为单位) 3. ( 1)试用 Einstein 光量子假说解释光电效应 4. ( 1)试简述Bohr 的量子理论 5. ( 1)简述波尔 - 索末菲的量子化条件 6. ( 1)试述 de Broglie 物质波假设 7. ( 2)写出态的叠加原理 8. ( 2)在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的 概率分布?试举例
2、说明。 9. ( 2)在给定状态下测量某一力学量,能测量到什么程度? 10.( 2)按照波函数的统计解释,试给出波函数应满足的条件 11.(2)假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零,试解释是否存在某一激发态,该激发态在全 空间范围内也都大于零。 12.(2)已知粒子波函数在球坐标中为),(r,写出粒子在球壳),(drrr中被测到的几率以及在 ),(方向的立体角元dddsin中找到粒子的几率。 13.( 2)什么是定态?它有哪些特征? 14.( 2))()(xx是否定态?为什么? 15.( 2)设 ikr e r 1 ,试写成其几率密度和几率流密度 16.( 2)试解释为何微观粒子的状态可以
3、用归一化的波函数完全描述。 17.( 3)简述和解释隧道效应 18.( 3)一维无限深势阱体系 axx ax xV or0 00 )( axx ax xV or0 00 )(处于状 态 )( 2 1 )( ikxikx ee a x,其中 a k 2 ,请问该状态是否是定态?为什么? 19.( 3)说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 20.( 3)某一维体系,粒子的势能为 22 2x,其中为粒子质量,说明该体系是什么体系,并写出 体系能量的可能取值。 21.( 3)说明共振能级与束缚态能级的区别,并用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态 能级低于相应的共振能级。 22
4、.( 4)试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 23.( 4)简述力学量算符的性质 24.( 4)试述力学量完全集的概念 25.( 4)试讨论:若两个厄米算符对易,是否在所有态下它们都同时具有确定值? 26.(4)若算符A ?、B?均与算符 C ?对易,即 0 ? , ? ? , ? CBCA,A ?、B?、C?是否可同时取得确定值? 为什么?并举例说明。 27.( 4)对于力学量A 与 B,写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系,并说明物理意义。 28.( 4)微观粒子x方向的动量 x p ? 和x方向的角动量 x L ? 是否为可同时有确定值的力学量?为什么? 29.( 4)试写出
5、态和力学量的表象变换的表达式 30.( 4)简述幺正变换的性质 31.( 4)在坐标表象中,给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 32.( 4)粒子处在 22 2 1 )(xxV的一维谐振子势场中,试写出其坐标表象和动量表象的定态 Schr?dinger 方程。 33.( 4)使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 34.( 4)如果BA ? , ? 均为厄米算符,下列算符是否也为厄米算符? a) 3 ? 2 1 Ab) ) ? ( 2 1 ABBAb) ) ? ( 2 1 ABiBA 35.( 5)试述守恒量完全集的概念 36.( 5)全同粒子有何特点?对波函数有什么要求?
6、37.( 5)试述守恒量的概念及其性质 38.( 5)自由粒子的动量和能量是否为守恒量?为什么? 39.(5)电子在均匀电场), 0, 0(E 中运动,哈密顿量为 ze m p H 2 ? ? 2 。试判断 zyx ppp?,?,?各 量中哪些是守恒量,并给出理由。 40.( 6)中心力场中粒子处于定态,试讨论轨道角动量是否有确定值 41.( 6)写出中心力场中的粒子的所有守恒量 42.( 6)试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较 43.( 6)二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同,并给出二维、三维各向同性 谐振子能级简并度。 44.(6)
7、氢原子体系处于状态),()( 2 3 ),()( 2 1 ),( 1,22,31, 11, 3 YrRYrRr,给出 2 L和 z L 可能取值及取值几率,并说明该状态是否是定态?为什么? 45.( 6)氢原子的基态波函数具有什么特点? 46.(6)分别处于2s、4p、5f 状态的氢原子的径向波函数各有几个节点(不包括0r及无穷远处的零 点) 。 47.( 6)已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为 )( 2 ? )( 2 ? 2 2 2 2 2 rV r L r r rr H ,试列举出几种 该量子体系力学量完全集的选取方案。 48.( 7)什么是正常Zeeman效应?写成与其相应的哈密顿量,
8、并指出系统的守恒量有哪些。 49.( 8)试给出电子具有自旋的实验依据 50.( 8)写出 z表象中x、y和z的本征值与本征态矢 51.( 8)已知磁场nB ? 0 B,其中单位矢量kin6.08.0?,为泡利算符,求: (1) 泡利算符在 n ? 方向的投影矩阵; (2) 此投影矩阵的本征值和本征态; (3) 在此磁场中运动的电子因自旋引起的附加能量本征值。 52.( 8)试述旋量波函数的概念及物理意义 53.( 8)能否选择一个表象,该表象下自旋算符的三个分量 zyx SSS,的表示矩阵都是实矩阵。 54.(8)以和分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数,写出两电子体系的自旋单态和自旋
9、三重态波函数(只写自旋部分波函数)。 55.(8)若| 和| 是氢原子的定态矢(电子和质子的相互作用为库仑作用,并计及电子的自旋轨道 耦合项),试给出 | 和| 态的守恒量完全集 56.( 10)若在 0 ? H表象中,HHH ? 0 , 0 ? H与H ? 的矩阵分别为 2501 5100 002 .01 .0 101.01 .0 ? , 10000 01000 00100 00010 ? 6 4 1 3 0 HH , 是否可以将H ? 看作微扰,从而利用微扰理论求解H ? 的本征值与本征态?为什么? 57.( 11)利用 Einstein 自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。 58.(
10、11)是否能用可见光产生1 阿秒 ( 18 10s) 的激光短脉冲,利用能量时间测不准关系说明原因。 59.(11)试给出跃迁的Fermi 黄金规则( golden rule)公式,并说明式中各个因子的含义。 60.( 12)在质心坐标系中,设入射粒子的散射振幅为)(f,写出靶粒子的散射振幅,并分别写出全 同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。 二、判断正误题(请说明理由) 1. ( 2)由波函数可以确定微观粒子的轨道 2. ( 2)波函数本身是连续的,由它推求的体系力学量也是连续的 3. ( 2)平面波表示具有确定能量的自由粒子,故可用来描述真实粒子 4. ( 2)因为波包
11、随着时间的推移要在空间扩散,故真实粒子不能用波包描述 5. ( 2)正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系 6. ( 2)测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准 7. ( 2)设一体系的哈密顿H ? 与时间t无关,则体系一定处于定态 8. ( 2)不同定态的线性叠加还是定态 9. ( 3)对阶梯型方位势,定态波函数连续,则其导数必然连续 10.( 3)H ? 显含时间t,则体系不可能处于定态,H ? 不显含时间t,则体系一定处于定态 11.( 3)一维束缚态能级必定数非简并的 12.( 3)一维粒子处于势阱中,则至少有一条束缚态 13.( 3)粒子在一维无限深势阱中运动,其动量一定是
12、守恒量 14.( 3)量子力学中,静止的波是不存在的 15.( 3)势阱不存在束缚态 16.( 4)自由粒子的能量本征态可取为kxsin,它也是 x ipx ? 的本征态 17.( 4)若两个算符有共同本征态,则它们彼此对易 18.( 4)在量子力学中,一切可观测量都是厄米算符 19.( 4)如果BA ? , ? 是厄米算符,其积BA ? 不一定是厄米算符 20.( 4)能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态 21.( 4)若BA ? , ? 对易,则BA ? , ? 在任意态中可同时确定 22.( 4)若BA ? , ? 不对易,则BA ? , ? 在任何情况下不可同时确定 23.( 4)
13、x p ? 和 x L ? 不可同时确定 24.( 4)若BA ? , ? 对易,则A ?的本征函数必是 B ?的本征函数 25.( 4)对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并 26.( 4)若两个算符不对易,则它们不可能同时有确定值 27.( 4)测不准关系只适用于不对易的物理量 28.( 4)根据测不准原理,任一微观粒子的动量都不能精确测定,只能求其平均值 29.( 4)力学量的平均值一定是实数 30.( 5)体系具有空间反演不变性,则能量本征态一定具有确定的宇称 31.( 5)在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.( 5)体系能级简并必然是某种对称性造成的 33.( 5)量子体系的
14、守恒量无论在什么态下,平均值和几率分布都不随时间改变 34.( 5)全同粒子系统的波函数必然是反对称的 35.( 5)全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变 36.( 5)描述全体粒子体系的波函数,对内部粒子的随意交换有确定的对称性 37.( 6)粒子在中心力场中运动,若角动量 z L ? 是守恒量,那么 x L ? 就不是守恒量 38.( 6)在中心力场)(rV中运动的粒子,轨道角动量各分量都守恒 39.( 6)中心力场中粒子的能量一定是简并的 40.( 6)中心力场中粒子能级的简并度至少为,2, 1 ,0,12ll 41.( 8)电子的自旋沿任何方向的投影只能取2/ 42.( 8)两电
15、子的自旋反平行态为三重态 三、证明题: 1. ( 2)试由 Schr?dinger 方程出发,证明0 ? j t ,其中 .).( 2 ),( ? ),(),(),( * * cc m i trj trtrtr 2. ( 3)一维粒子波函)(x数满足定态Schr?dinger 方程,若)( 1 x、)( 2 x都是方程的解,则有 无关)(与常数x 1221 3. ( 3)设)(x是定态薛定谔方程对应于能量E的非简并解,则此解可取为实解 4. ( 3)设)( 1 x和)( 2 x是定态薛定谔方程对应于能量E的简并解,试证明二者的线性组合也是该 定态方程对应于能量E的解。 5. ( 3)对于势垒,
16、)()(xxV,试证势中)( x的跃变条件 6. ( 3)设)(x是定态薛定谔方程)()()( 2 2 22 xExxV dx d m 的一个解,对应的能量为E, 试证明)(*x也是方程的一个解,对应的能量也为E 7. ( 3)一维谐振子势场2/ 22 xm中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历 一个周期/2后复原。 8. (3)对于阶梯形方势场 axV axV xV 2 1 , )(,若)( 12 VV有限,则定态波函数)(x及其 导数)(x必定连续。 9. ( 3)证明一维规则势场中运动的粒子,其束缚态能级必定是非简并的 10.( 4)证明定理:体系的任何状态下,其厄米算
17、符的平均值必为实数 11.(4)证明定理:厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 12.( 4)证明:在定态中几率流密度矢量与时间无关 13.( 4)令 2 2 22 ? x px,试证 2 ?xp为厄密算符 14.( 4)试证mpT2/? ? 2 为厄密算符 15.( 4)设)( ? tU是一个幺正算符且对t可导,证明U dt Ud itH ? ? )( ? ?是厄米算符。 16.( 4)已知A ?和 B ?是厄米算符,证明 (A ? +B ? )和A ?2也是厄米算符 17.( 4)试证明:任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵 18.( 4)试证明x表象中
18、p ?算符的矩阵元是)“( )( “ xx x ip xx 19.( 4)试证明p表象中x算符的矩阵元是)“( )( “ pp p ix pp 20.(4)若厄米算符BA ? , ? 具有共同本征函数,即 nnnnnn BBAA ? , ? ,而且构成体系 状态的完备函数组,试证明 0 ? , ? BA 21.( 4)若, 2, 1);(nx n 构成完备基组,证明: n nn xxxx)()()( * 22.( 4)证明两个线性算符之和仍为线性算符 23.(4)设算符BAF ? ,1 ? ABBA,若为F ? 的本征函数,相应的本征值为,求证A ? 和 A ? 也是F ? 的本征函数,并求出
19、相应的本征值。 24.( 4)试证明zyxxyz)(是角动量平方算符 2 ? l属于本征值 2 2的本征函数。 25.( 4)试证明表象变换并不改变算符的本征值 26.( 4)证明对易关系 x ixpx)(,? 27.( 4)证明在 z l ? 的本征态下0 yx ll 28.( 4)设粒子处于, lm Y状态下,证明 22 22 1 2 1 mllLL yx 29.( 4)证明谐振子的零点能 2 1 0 E是测不准关系 2 px的直接结果。 30.( 4) 一维体系的哈密顿算符具有分立谱,证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零 31.( 4)如果厄米算符A对任何矢量 |u ,有 0,则
20、称 A 为正定算符。试证明算符A=|a0 区域中的几率。它是大于1/2,还是小于1/2,为什么? 6. (3)一个质量为m 的粒子在一维势场 axx ax xV |)( |, )( ,求波函数满足的方程及连续性 条件,并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。 7. ( 3)质量为m的粒子在一维势场 ax ax xV | |0 )(中运动。求 粒子的定态能量 n E与归一化的波函数)(x n ; 粒子在态)(x n 上的位置平均值x。 8. (3)如图所示,一电量为q质量为m的带电粒子处在电量为Q 固定点电荷的强电场中,并被约束在一直线AB 上运动,Q到 AB 的距离为a,由于Q产生的电场很
21、强,q只能在平衡位 置 O 附近振动, 即 a 远大于粒子的运动范围,设平衡位置O 为 能量参考点,试求体系可能的低能态能级。 9.(3)一电量为q质量为m的带电粒子处在强度为E 的均匀强电场 中,并被约束在一半径为R 的圆弧上运动, 电场方向如图所示, 由于电场很强,q只能在平衡位置O 附近振动,即R 远大于 粒子的运动范围,设平衡位置O 为能量参考点,试求体系可能 的低能态能级。 10. (3) 一维谐振子处于基态 22 2 1 0 )( x ex,求谐振子的 E O R -q O a BA -q +Q + 1)平均值 2 x;2)平均值 2 p; 3)动量的几率分布函数。 (提示: ,0
22、, ) 2 1 ( 2 1 0 2 1 2 K K n dxex n Kxn 函数满足递推关系: ) 2 1 (,1)1(),()1(zzz ; 2 2 22 2 edxe xix ) 。 11.( 3)把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势, 对于下列一维模型(如图) 0, 0, 0 )( 0 x xV xV 试就( 1)0E, (2)0 0 EV 两种情况计算 接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 12.( 3、4)设0t时,质量为m、频率为的谐振子处于 )( 22 sin )()(cos),( 20 2 1 22 xHxHAecx x 状态,其中,A是实常数,)(, 2/1
23、 xH m n 是厄米多项式。 ( 1) 求归一化常数A; ( 2) 求t时刻体系的状态),(tx; ( 3) 求t时刻位置的平均值)(tx; ( 4) 求谐振子能量取值及相应几率 13.(3)设一维粒子由x处以平面波 ikx in e入射,在原点处受到势能)()( 0 xVxV的作用。 (1)写出波函数的一般表达式;(2)确定粒子在原点处满足的边界条件;(3)求出该粒子的 透 射系数和反射系数; (4)分别指出0 0 V与0 0 V时的量子力学效应。 14. (3、4、 5)设一维线性谐振子处于基态 (1)求 x px?, (2)写出本征能量E,并说明它反映微观粒子的什么性质 (3)利用位力
24、定理证明:2/ x px,其中 22 22 ? xxx ppp xxx -V0 C B A V(x) x Vacuum Metal 15. (4)设一维谐振子能量本征函数为 n。试利用递推公式11 22 11 nnn nn x求谐 振子坐标在能量表象中的矩阵表示 16.(4、5)一维谐振子0t时处于基态 0 和第一激发态 1的叠加态 )()( 2 1 )0 ,( 10 xxx 其中 22 2 1 00 )( x eNx,xeNx x 2)( 22 2 1 11 (1)求t时刻位置和动量的平均值 tt px,; (2)证明对于一维谐振子的任何状态,t时刻位置和动量的平均值有关系; tt p m
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