《概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四)..pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四)..pdf(45页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 概率与数理统计历届真题 第一章随机事件和概率 数学一: 1( 87,2 分)设在一次试验中A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为 ;而事件A 至多发生一次的概率为。 2( 87,2)三个箱子,第一个箱子中有4 个黑球 1 个白球,第二个箱子中有3 个黑球 3 个白球,第三个箱子中 有 3 个黑球 5 个白球。现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1 个球,这个球为白球的概率等于。 已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为。 3( 88,2 分)设三次独立试验中,事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于 27 19 ,则事件 A 在一次
2、试验中出现的概率为。 4( 88,2 分)在区间( 0,1)中随机地取两个数,则事件“ 两数之和小于 5 6 ” 的概率为。 5( 89,2 分)已知随机事件A 的概率 P ( A)=0.5,随机事件B 的概率 P(B)=0.6 及条件概率P( B | A)=0.8, 则和事件 AB 的概率 P(AB)= 。 6( 89,2 分)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它 是甲射中的概率为。 7( 90,2 分)设随机事件A,B 及其和事件AB 的概率分别是0.4, 0.3 和 0.6,若B表示 B 的对立事件,那 么积事件 AB的概率 P(A
3、B)= 。 8( 91,3 分)随机地向半圆00, P(B | A)=P(B | A),则必有 (A)P(A | B)= P(A|B) ( B) P(A | B)P(A|B) (C)P(AB)= P(A)P(B)( D) P(AB) P(A) P(B) 2 15(99,3 分)设两两相互独立的三事件A,B 和 C 满足条件; ABC=,P( A)=P(B)=P(C)0 的指数分布。当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T 的概 率分布。 4(97,3 分)设随机变量服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y 服从参数为(3, p)的二项分布,若 P
4、X 0= 9 5 ,则 PY1=。 5(98,3 分)设)()( 21 xFxF与分别为随机变量X1与 X2的分布函数。为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量 的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (A) 5 2 , 5 3 ba( B) 3 2 , 3 2 ba (C) 2 3 , 2 1 ba(D) 2 3 , 2 1 ba 6( 99,9 分)设二维随机变量(X,Y)在矩形 G=( X,Y)0 x 2,0 y1上服从均匀分布,试求边长为X 和 Y的 矩形面积 S的概率密度f(s)。 7( 99,8 分)已知随机变量X1和 X2的概率分布 2 1 2 1 10 , 4
5、1 2 1 4 1 101 21 XX 而且 P X1X2 =0=1 。 (1)求 X1和 X2的联合分布: 19 (2)问 X1和 X2是否独立?为什么? 8( 02,3 分)设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为)()( 21 xfxf和,分 布函数分别为)()( 21 xFxF和。则 (A))()( 21 xfxf必为某一随机变量的概率密度。 (B))()( 21 xFxF必为某一随机变量的分布函数。 (C))()( 21 xFxF必为某一随机变量的分布函数。 (D))()( 21 xfxf必为某一随机变量的概率密度。 9(04,13 分)设随机变量X在
6、区间)1 ,0(上服从均匀分布,在)10(xxX的条件下,随机变量Y在区 间),0(x上服从均匀分布,求 () 随机变量X和Y的联合概率密度; () Y的概率密度; () 概率1YXP 10(05,4 分)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X,再从1,X 中任取一个数,记为Y,则 PY=2= . 11(05,4 分)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件 X=0 与X+Y=1 互相独立,则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4 C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 12(05,13 分)
7、设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 ., 0 ,20 , 10, 1 ),( 其他 xyx yxf 求: (I)(X,Y) 的边缘概率密度);(),(yfxf YX (II)Z=2X-Y 的概率密度);(zfZ (III ). 2 1 2 1 XYP 1 3 ( 0 6 , 4分 )设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 1, 3 上 的 均 匀 分 布 , 则 max(,)1Px y 20 14(06,13 分)设二维随机变量(,X Y)的概率分布为 Y X -1 0 1 -1 a0 0.2 0 0.1 b0.2 1 0 0.1 c 其中, ,a b c为常数
8、,且x的数学期望0.2EX,0,00.5P xy,记ZXY 求: (1), ,a b c的值 (2)Z的概率分布 (3)P XZ 第三章参考答案 数学一: 1. 2) 1( 2 1 20)1( 2 1 00 )( 2 Zee Ze Z Zf Z z Z 2. 00 01 )( Z ZZee ZF ZZ Z 3. )()( 2 1uZuZ 4. 4 3 4 1 10 p Z 5. 7 5 6. 4 1 7. (B) 8. Y X 1 Y 2 Y 3 Y i p 1 X 24 1 8 1 12 1 4 1 2 X 8 1 8 3 4 1 4 3 j p 6 1 2 1 3 1 1 9. (D) 1
9、0. 4 1 21 11. 48 13 12. B 13. 其他,0 10,21 )( 2 0 x X xxdy xf, 其他,0 20, 2 11 )( 1 2/y Y y y dx yf 其他,0 20 , 2 1 )( z z zfZ 14. 1/9 15. 其他,0 41 , 8 1 10, 8 3 )()( y y y y yFyf YY 16. 4 1 数学三: 1. (C) 2. 独立; 100 e3. x e; 1-2 1 2 1 ee 4. 013447312.01344.0 101 p X 5. 1, 11 10, 10 1, 10 10, 1 0,00 ),( 22 2
10、2 yx yxyx yxx yxy yx yxF 6. (A) 7. (A) 8. (A) 9. 其他0 20 2 1 )( u u uf10. )()(27.013.0ufuf 11. 48 13 12. a=0.4, b=0.1 13. 其他,0 10,21 )( 2 0 x X xxdy xf, 其他,0 20, 2 11 )( 1 2/y Y y y dx yf 其他,0 20, 2 1 )( z z zfZ , 4 3 2 1 2 1 XYP 14. 1/9 数学四: 22 1. X Y 0 1 2 i p 0 0.16 0.32 0.16 0.64 1 0.08 0.16 0.08
11、 0.32 2 0.01 0.02 0.01 0.04 j p0.25 0.5 0.25 1 2. (A) 3. 00 03 )( 3 t te tf t T 4. 27 19 5. (A) 6. 200 20)ln2(ln 2 1 )( SS SS Sf S 或 7. (1) 1 X 2 X -1 0 1 i p 0 4 1 0 4 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1 j p 4 1 2 1 4 1 1 (2) 不独立 8. (B) 9. (1) xy x yxf 其他, , 0 10, 1 ),(2) yy yfY 其他, , 0 10,ln )(3) 2ln1 10. 48 13 1
12、1.D 12. 其他,0 10,21 )( 2 0 x X xxdy xf, 其他,0 20, 2 11 )( 1 2/y Y y y dx yf 其他,0 20, 2 1 )( z z zf Z , 4 3 2 1 2 1 XYP 13. 1/9 14. 1 .0, 1.0,2.0cba; 2.0ZXP 23 第四章随机变量的数字特征 数学一: 1( 87,2 分)已知连续型随机变量X 的概率密度为 12 2 1 )( xx exf 则 EX= ,DX= 。 2( 89,6 分)设随机变量X 与 Y 独立,且 XN(1,2) ,YN(0,1) ,试求随机变量Z=2X-Y+3 的概率密度函 数
13、。 3( 90,2 分)已知随机变量X 服从参数为2 的泊松分布,且胡机变量Z=3X-2,则 EZ= 。 4( 90,6 分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D:0 (1) 已知 9 7 )(BAP,求常数 ; (2) 求 X 1 的数学期望。 10(94,8 分)设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N( ,1) ,内径小于10 或大于 12 为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单元:元)与销售零 件的内径 X 有如下关系。 12,5 1210,20 10, 1 X X X T 若 若 若 问平均内径 取何值时,销售一个零件的平均
14、利润最大? 11(95,3 分)设随机变量X 的概率密度为 其他 若 若 ,0 10,1 01,1 )(Xx Xx xf 则 DX= 。 12(96,7 分)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日, 若无故障,可获利润10 万元;发生一次故障仍可获利润5 万元;若发生两次故障,获利润0 元;若发生三次或三次以 上故障就要亏损2 万元。求一周内的利润期望。 13(97,3 分)设 X 是一随机变量EX=, DX= 2( , 20 是常数),则对任意常数 C 必有 (A)E(X-C) 2=EX2 -C 2 (B)E(X-C) 2=E( X- )2 (C
15、)E(X-C) 20 为未知参数。又设Xxxx n是 , 21 的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值。 4( 02,7 分)设总体 X 的概率分别为 21)1(2 3210 22 p X 其中 (00是未知参数,从总体X 中抽取简单随机样本 n XXX, 21 ,记 =min ( n XXX, 21 ) 。 (1)求总体 X 的分布函数F(x) ; 42 (2)求统计量 的分布函数)(xF ; 如果用 作为 的估计量,讨论它是否具有无偏性。 7(04,9 分)设总体 X 的分布函数为 , 1 , 1 ,0 , 1 1 ),( x x x xF 其中未知参数 n XXX, 1 21 为来自总
16、体X 的简单随机样本,求: (I)的矩估计量; (II )的最大似然估计量. 8(06,9 分)设总体 X 的概率密度为 01 ,011201 0 x FXx 其中是未知参数 其它 , 12n ,.,XXX为来自总体X 的简单随机样本,记 N 为样本值 12 ,.,1 n x xx 中小于 的个数,求的最大似然估计. 数学三: 1( 91,5 分)设总体 X 的概率密度为 0, 0 0, ),( 1 x xeax xf x 其中0,0是未知参数是已知常数。试根据来自总体X 的简单随机样本 n XXX, 21 ,求的最大似然估计 量。 2( 92,3 分)设n个随机变量 n XXX, 21 独立
17、同分布, n i n i i XXi n SX n XDX 1 22 1 2 1 )( 1 1 , 1 ,,则 (A)是S的无偏估计量。 (B)是S的最大似然估计是。 (C)是S的相合估计量(即一致估计量)。 (D)XS与相互独立。 3( 93,3 分)设总体 X 的方差为1,根据来自X 的容量为100 的简单随机样本,测得样本均值为5。则 X 的 43 数学期望的置信度近似等于0.95 的置信区间为。 4( 96,3 分)设 由 来 自 正 态 总 体)9. 0,( 2 NX容 量 为9的 简 单 随 机 样 本 , 得 样 本 均 值 95.0.5的置信度为则未知参数X的置信区间是。 5(
18、 00,8 分)设 0.51, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体X 的简单随机样本值。已知Y=lnX 服从正态分布)1 ,(N。 (1)求 X 的数学期望EX(记 EX 为 b) ; (2)求 的置信度为0.95 的置信区间; (3)利用上述结果求b 的置信度为0.95 的置信区间。 6( 02,3 分)设总体 X 的概率密度为 x xe xf x 若 若 ,0 , );( )( 则 n XXX, 21 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为。 7(04,13 分)设随机变量X的分布函数为 , , x x x xF 0 ,1 ),( 其中参数1,0 . 设 n XXX
19、, 21 为来自总体X的简单随机样本, () 当1时 , 求未知参数的矩估计量 ; () 当 1 时 , 求未知参数的最大似然估计量; () 当2时, 求未知参数的最大似然估计量. 8( 05,4 分)设一批零件的长度服从正态分布),( 2 N,其中 2 ,均未知。现从中随机抽取16 个零件,测 得样本均值 )(20 cmx ,样本标准差s=1(cm),则的置信度为0.90 的置信区间是 A、).16( 4 1 20),16( 4 1 20( 05.005.0 tt B、).16( 4 1 20),16( 4 1 20(1 .01.0tt C、).15( 4 1 20),15( 4 1 20(
20、 05.005.0 tt D、).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 1. 01.0 tt 9( 05, 13 分)设)2(, 21 nXXX n 为来自总体N ( 0, 2 )的简单随机样本,其样本均值为X. 记 ., 2, 1,niXXY ii 求: (I);, 2, 1,niDYY ii的方差 (II)).,( 11nn YYCovYY的协方差与 44 (III) 若 2 1 )( n YYc是 2 的无偏估计量,求常数c. 10 (06,13 分) 设总体 X 的概率密度为 ,01 ,1,12 0, x fxx 其它 ,其中是未知参数 12 01 , n XXX 为来自总体
21、的随机样本,记 N 为样本值 12 , n XXX中小于 1 的个数 ,求 : () 的矩估计 ; () 的最大似然估计. 第七章参考答案 数学一: 1. X X 1 12 矩 )ln( 1 1 max n xx n 2. X2 n D 5 )( 2 3. i ni x 1 min 4. 4 1 矩 12 137 max 5. (39、51, 40、49) 6. (1) xe x xF Gx)(2 1 0 )( (2) xe x xF Gxn)(2 1 0 )( (3) n E 2 1 )( 7. (1) . 1 ? X X (2) . ln ? 1 n i i X n 8. n N 最大 数学三: 1. n i i x n 1 2. (C) 3. (4、 804, 5、 196) 4. (4、412, 5、588) 5. (1) 2 1 u e(2) (-0.98, 0.98) (3) ),( 48.148. 0 ee 6. 1X7. (1) 1X X (2) n i i x n 1 ln ? (3) ,min ? 21n XXX 45 8. C 9.( ) 2 ) 1 1( n () n 2 () 42n n 10. X 2 3 矩 ; n N 最大
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