河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(四十六)(教师版).pdf
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1、课时作业 (四十六 ) 一、选择题 1如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面 ABC,ABBCAA1, ABC90 , 点 E、 F分别是棱 AB、 BB1的中点, 则直线 EF和BC1所成的角是 (B) A45 B60 C90 D120 解析: 以 B 点为坐标原点,以BC、BA、BB1分别为 x、y、z 轴建立 空间直角坐标系设ABBCAA12, 则 B(0,0,0),C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), EF (0,1,1),BC1 (2,0,2) cosEF ,BC1 EF BC1 |EF |BC1 | 2 28 1 2.EF 与 BC1 所成角为 60
2、 . 2如图,平面ABCD平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形ABEF 是矩形,且 AF1 2ADa,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为 (C) A. 6 6 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 3 解析: 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a, 0,0),AG (a, a,0),AC (0,2a,2a),BG (a,a,0),BC (0,0,2a), 设平面 AGC 的法向量为 n1(x1,y1,1), 由 AG n10, AC n10 ? ax1ay1
3、0, 2ay12a0 ? x11, y11 ? n1(1,1,1) sin BG n1 |BG |n1| 2a 2a3 6 3 . 3在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 AB 的中点,则点 C 到平 面 A1DM 的距离为 (A) A. 6 3 aB. 6 6 a C. 2 2 aD.1 2a 解析: 以 A1为原点建立如图所示的坐标系, 则 A1(0,0,0),M( a 2,0,a),D(0,a,a),C(a,a,a) 设面 A1DM 的法向量为 n(x,y,z)则 A1M n0 A1D n0 a 2xaz0, ayaz0 令 y1,z1,x2, n(2,1, 1),
4、点 C 到面 A1DM 的距离 d n CD |n| 2a 6 6 3 a. 4如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E 2 3 A1D,AF1 3AC,则( B) AEF 至多与 A1D,AC 之一垂直 BEFA1D,EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面 解析: 以 D 点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z 轴建系,设正方体棱长为1, 则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1 3,0, 1 3),F( 2 3, 1 3,0),B(1,1,0),D 1(0,0,1
5、), A1D (1,0, 1),AC (1,1,0), EF (1 3, 1 3, 1 3),BD 1 (1,1,1), EF 1 3BD1 ,A1D EF AC EF 0, 从而 EFBD1,EFA1D,EFAC. 二、填空题 5已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a 在向量 b 方向上的投影为 _ 解析: 1 |b|b a 1 3(1,1,1) (1,2,3) 43 3 ,则 a 在向量 b 上的投影为 4 3 3 . 答案: 4 3 3 6已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面 角的大小为 _ 解析: cosm,n m n |m|n|
6、 1 2 2 2 , m,n 45 .二面角为45 或 135 . 答案: 45 或 135 7正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD的中点, 且 SOOD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 _ 解析: 如图所示,以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设 ODSOOAOBOCa, 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P 0, a 2, a 2 . 则CA (2a,0,0),AP (a, a 2, a 2),CB (a, a,0) 设平面 PAC 的法向量为n,可求得 n(0,1,1),则 cosCB , n CB n |CB |n
7、| a 2a 22 1 2. CB ,n60 , 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为90 60 30 . 答案: 30 三、解答题 8如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE面 ABCD,AFDE,DE3AF, BE 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求二面角 FBED 的余弦值; (2)设点 M 是线段 BD 上一动点,试确定M 的位置,使得 AM面 BEF,并证明你的结论 解: (1)DE平面 ABCD, EBD 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 EBD60 . DE BD 3. 由 AD3,BD32,得 DE3 6,AF6. 如图,分别以 DA, DC,
8、 DE 为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系Dxyz, 则 A(3,0,0), F(3,0,6),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0), BF (0,3,6),EF (3,0,26) 设平面 BEF 的一个法向量为n(x,y,z),则 n BF 0, n EF 0. 即 3y6z0, 3x2 6z0. 令 z6,则 n(4,2,6) AC平面 BDE, CA (3, 3,0)为平面 BDE 的一个法向量, cosn,CA n CA |n|CA | 6 263 2 13 13 . 故二面角 FBED 的余弦值为 13 13 . (2)依题意,设 M(t,t,0)(t0
9、),则AM (t3,t,0), AM平面 BEF,AM n0, 即 4(t3)2t0,解得 t2. 点 M 的坐标为 (2,2,0),此时 DM 2 3DB , 点 M 是线段 BD 靠近 B 点的三等分点 9如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点, AA1 ACCB 2 2 AB. (1)证明: BC1平面 A1CD; (2)求二面角 DA1CE 的正弦值 解: (1)证明:连接AC1交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1中点 又 D 是 AB 中点,连接DF,则 BC1DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD
10、. (2)由 ACCB 2 2 AB 得, ACBC. 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间 直角坐标系Cxyz.设 CA2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD (1,1,0),CE (0,2,1),CA1 (2,0,2) 设 n(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,则 n CD 0, n CA1 0, 即 x1y10, 2x12z10. 可取 n(1,1,1) 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 m CE 0, m CA1 0. 可取 m(2,1,2) 从而 cosn,m n m |n|m| 3 3 ,故
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- 河北省 邯郸市 重点中学 数学 规范性 课时 作业 四十六 教师版
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