相似图形(培优老师用)要点.pdf
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1、2013 年中考数学专题复习第二十七讲相似图形 【基础知识回顾】 一、 成比例线段: 1、线段的比: 如果选用同一长度的 两条线段, 的长度分别为m、 n 则这两条线段的比就是它们的比,即: AB CD = 2、比例线段:四条线段a、b、c、d 如果 a b =那么四条线段叫做 同比例线段,简称 3、比例的基本性质: a b = c d 4、平行线分线段成比例定理:将平行线截两条直线 【名师提醒: 1、表示两条线段的比时,必须示用相同的,在用了相 同的前提下,两条线段的比值与用的无关即比值没有 2、 全分割:点 C 把线段 AB 分成两条,线段 AC 和 BC (ACBC ) 如果那么称线段A
2、B 被点 C 全分割 AC 与 AB 的比叫全比,即 L AC AB = 】 二、相似三角形: 1、定义:如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个 三角形相似 2、性质:相似三角形的对应角对应边 相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、 判定:基本定理: 平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交, 三角形与原三角形相似 两边对应且夹角的两三角形相似 两角的两三角形相似 三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒:1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定,要证四条线段 的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三
3、组对应 边成比例的两三角形相似多用在点 三角形中】 三、相似多边形: 1、定义:各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质:相似多边形对应角对应边 相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒:相似多边形没有专门的判定方法,判定两多边形相似多用在 矩形中,一般用定义进行判定】 一、 位似: 1、定义:如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做这时相似比又称为 2、性质:位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒: 1、位似图形一定是图形,但反之不成立,利用位似变 换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中,如果位似是
4、以原点为位似中心,相 似比位 r,那么位似图形对应点的坐标的比等于或】 【典型例题解析】 考点一:比例线段 例 1 ( 2012?福州) 如图,已知ABC ,AB=AC=1 , A=36 , ABC 的平分线BD交 AC于点D,则AD的长是, cosA 的值 是 (结果保留根号) 考点:黄金分割;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义 分析:可以证明ABC BDC ,设AD=x ,根据相似三角形的对应边的 比相等,即可列出方程,求得x 的值; 过点 D 作 DE AB 于点 E,则 E 为 AB 中点,由余弦定义可求出cosA 的 值 解答:解:ABC ,AB=AC=1 , A=36 ,
5、ABC= ACB= 180 2 A =72 BD 是 ABC 的平分线, ABD= DBC= 1 2 ABC=36 A=DBC=36 , 又 C=C ABC BDC , AC BC = BC CD , 设 AD=x ,则 BD=BC=x 则 1 1 x xx , 解得: x= 15 2 (舍去)或 15 2 故 x= 15 2 如右图,过点D 作 DEAB 于点 E, AD=BD , E 为 AB 中点,即AE= 1 2 AB= 1 2 在 RtAED 中, cosA= 1 2 5 1 2 AE AD = 51 4 故答案是: 15 2 ; 51 4 点评: ABC 、BCD 均为黄金三角形,
6、利用相似关系可以求出线段之间 的数量关系;在求cosA 时,注意构造直角三角形,从而可以利用三角函数 定义求解 对应训练 2 (2012?孝感)如图,在ABC 中, AB=AC , A=36 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,若 AC=2 ,则 AD 的长是() A 51 2 B 51 2 C51D51 考点:黄金分割 分析:根据两角对应相等,判定两个三角形相似再用相似三角形对应边 的比相等进行计算求出BD 的长 解答:解:A= DBC=36 , C 公共, ABC BDC , 且 AD=BD=BC 设 BD=x ,则 BC=x,CD=2-x 由于 BCAC CDBC , 2 2 x
7、xx 整理得: x 2+2x-4=0, 解方程得: x=-15, x 为正数, x=-1+5 故选 C 点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,先用两角对应相等判定两 个三角形相似,再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD 的长 考点二:相似三角形的性质及其应用 例 2 ( 2012?重庆)已知 ABC DEF, ABC 的周长为3, DEF 的 周长为 1,则 ABC 与 DEF 的面积之比为 考点:相似三角形的性质 专题:探究型 分析:先根据相似三角形的性质求出其相似比,再根据面积的比等于相似 比的平方进行解答即可 解答:解:ABC DEF, ABC 的周长为3, DEF 的周
8、长为1, 三角形的相似比是3:1, ABC 与 DEF 的面积之比为9:1 故答案为: 9:1 点评:本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形(多边形)的周长 的比等于相似比;相似三角形的面积的比等于相似比的平方 对应训练 2 ( 2012?沈阳)已知 ABC A B C,相似比为3:4,ABC 的周长为 6,则 A B C的周长为 考点:相似三角形的性质 专题:应用题 分析:根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解 解答:解:ABC ABC, ABC 的周长: ABC的周长 =3:4, ABC 的周长为6, ABC的周长 =64 3 =8 故答案为: 8 点评: 本题主要考查了相似三角
9、形周长的比等于相似比的性质,是基础题, 熟记性质是解题的关键 考点三:相似三角形的判定方法及其应用 例 3 (2012?徐州)如图,在正方形ABCD 中, E 是 CD 的中点,点F 在 BC 上,且 FC= 1 4 BC图中相似三角形共有() A 1 对B2 对C3 对D4 对 考点:相似三角形的判定;正方形的性质 分析:首先由四边形ABCD 是正方形,得出D=C=90 ,AD=DC=CB , 又由 DE=CE ,FC= 1 4 BC,证出 ADE ECF,然后根据相似三角形的 对应边成比例与相似三角形的对应角相等,证明出AEF ADE ,则可 得 AEF ADE ECF,进而可得出结论 解
10、答:解:图中相似三角形共有3 对理由如下: 四边形 ABCD 是正方形, D=C=90 ,AD=DC=CB , DE=CE, FC= 1 4 BC, DE:CF=AD :EC=2:1, ADE ECF, AE:EF=AD :EC, DAE= CEF, AE:EF=AD :DE, 即 AD :AE=DE :EF, DAE+ AED=90 , CEF+AED=90 , AEF=90 , D=AEF , ADE AEF, AEF ADE ECF, 即 ADE ECF, ADE AEF, AEF ECF 故选 C 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,以及正方形的性质此题难 度 适 中 , 解 题
11、的 关 键 是 证 明 ECF ADE , 在 此 基 础 上 可 证 AEF ADE 对应训练 3. ( 2012? 攀 枝 花 ) 如 图 , ABC ADE且 ABC= ADE , ACB= AED ,BC 、DE 交于点O则下列四个结论中,1= 2; BC=DE ; ABD ACE ; A、O、C、E 四点在同一个圆上,一定 成立的有() A1 个B2 个C3 个D4 个 考点:相似三角形的判定;全等三角形的性质;圆周角定理 分析: 由 ABC ADE 且 ABC= ADE ,ACB= AED ,根据全等三 角形的性质,即可求得BC=DE , BAC= DAE ,继而可得1=2,则 可
12、判定正确; 由 ABC ADE , 可得 AB=AD ,AC=AE , 则可得 AB : AC=AD :AE ,根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似,即可判定 正 确 ; 易 证 得 AEF DCF与 AOF CEF , 继 而 可 得 OAC+ OCE=180 ,即可判定A、O、C、E 四点在同一个圆上 解答:解:ABC ADE 且 ABC= ADE , ACB= AED , BAC= DAE , BC=DE,故正确; BAC- DAC= DAE- DAC , 即 1=2,故正确; ABC ADE , AB=AD ,AC=AE , ABAD ACAE , 1=2, ABD ACE ,故正
13、确; ACB= AEF, AFE=OFC, AFE OFC, AFEF OACF , 2=FOC, 即 AFOF EFCF , AFO= EFC, AFO EFC, FAO=FEC, EAO+ ECO=2+FAO+ECO= FOC+ FEC+ ECO=180 , A、O、C、E 四点在同一个圆上,故正确 故选 D 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点 共圆的知识此题难度较大,注意数形结合思想的应用,注意找到相似三 角形是解此题的关键 考点四:位似 例 5 (2012?玉林)如图,正方形ABCD 的两边 BC,AB 分别在平面直角 坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上,
14、 正方形 ABCD与正方形ABCD 是以 AC 的中点 O 为中心的位似图形,已知AC=32,若点 A 的坐标为( 1,2) , 则正方形 ABCD与正方形ABCD 的相似比是() A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 考点:位似变换;坐标与图形性质 分析:延长AB交 BC 于点 E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然 后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比 解答:解:在正方形ABCD 中, AC=32 BC=AB=3 , 延长 AB交 BC 于点 E, 点 A 的坐标为( 1,2) , OE=1,EC=A E=3-1=2, 正方形 ABCD的边长为1, 正方形 ABCD与
15、正方形ABCD 的相似比是 1 3 故选 B 点评:本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识,解题的关键是根 据已知条件求得两个正方形的边长 对应训练 5 (2012? 咸宁) 如图, 正方形 OABC 与正方形ODEF 是位似图形, O 为位 似中心, 相似比为1:2,点 A 的坐标为 (1,0) ,则 E 点的坐标为 () A (2,0)B ( 3 3 ,) 2 2 C(2,2)D(2, 2) 考点:位似变换;坐标与图形性质 分析:由题意可得OA :OD=1:2,又由点A 的坐标为( 1,0) ,即可 求得 OD 的长,又由正方形的性质,即可求得E 点的坐标 解答:解:正方形OABC 与
16、正方形ODEF 是位似图形,O 为位似中心, 相似比为 1:2, OA: OD=1:2, 点 A 的坐标为( 1,0) , 即 OA=1 , OD=2, 四边形 ODEF 是正方形, DE=OD=2 E 点的坐标为: (2,2) 故选 C 点评:此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单,注意 理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键 【聚焦山东中考】 1 ( 2012?潍坊)已知矩形ABCD 中,AB=1 ,在 BC 上取一点E,沿 AE 将 ABE 向上折叠,使 B 点落在 AD 上的 F 点, 若四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似,则 AD= () A 51 2 B 51 2
17、 C3D2 考点:相似多边形的性质;翻折变换(折叠问题) 分析:可设AD=x ,根据四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似,可得比例式, 求解即可 解答:解: AB=1 , 设 AD=x ,则 FD=x-1 ,FE=1, 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似, EFAD ADAB , 1 11 x x , 解得 x1= 15 2 ,x2= 15 2 (负值舍去) , 经检验 x1= 15 2 是原方程的解 故选 B 点评:考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根 据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似得到比例式 2 ( 2012?东营)如图,在直角坐标系中,矩形OA
18、BC 的顶点 O 在坐标原 点,边 OA 在 x 轴上, OC 在 y 轴上,如果矩形OA BC与矩形 OABC 关于 点 O 位似,且矩形OA BC的面积等于矩形OABC 面积的 1 4 ,那么点 B 的坐标是() A (-2,3)B (2,-3)C (3,-2)或( -2,3) D (-2,3)或( 2,-3) 考点:相似多边形的性质;坐标与图形性质 分析:由矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似,且矩形OA BC的面 积等于矩形 OABC 面积的 1 4 , 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方, 即可求得矩形OA BC与矩形 OABC 的位似比为1:2,又由点 B 的坐标为
19、 (-4,6) ,即可求得答案 解答:解:矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似, 矩形 OA BC矩形 OABC , 矩形 OA BC的面积等于矩形OABC 面积的 1 4 , 位似比为:1:2, 点 B 的坐标为( -4,6) , 点 B 的坐标是:( -2, 3)或( 2,-3) 故选 D 点评:此题考查了位似图形的性质此题难度不大,注意位似图形是特殊 的相似图形, 注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用, 注意数形结合思想的应用 3. (2012?日照)在菱形ABCD 中, E 是 BC 边上的点,连接AE 交 BD 于 点 F,若 EC=2BE ,则 BF F
20、D 的值是() A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 考点:相似三角形的判定与性质;菱形的性质 分析:根据菱形的对边平行且相等的性质,判断 BEF DAF , 得出 BF FD = BE AD ,再根据BE 与 BC 的数量关系求比值 解答:解:如图, 在菱形 ABCD 中, AD BC,且 AD=BC , BEF DAF , BF FD = BE AD , 又 EC=2BE , BC=3BE ,即 AD=3BE , BF FD = BE AD = 1 3 , 故选 B 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,菱形的性质关键是由平行 线得出相似三角形,由菱形的性质得出线段的长度关系
21、4.(2012?德州)为了测量被池塘隔开的A,B 两点之间的距离,根据实际 情况,作出如图图形,其中AB BE,EFBE,AF 交 BE 于 D,C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据: BC,ACB ;CD, ACB , ADB ;EF,DE,BD; DE,DC,BC能根据所测数据,求出A,B 间距离的有() A1 组B2 组C3 组D4 组 F 考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用 分析:根据三角形相似可知,要求出AB ,只需求出EF 即可所以借助于 相似三角形的性质,根据 EFFD ABBD 即可解答 解答:解:此题比较综合,要多方面考虑, 因为知道 ACB 和 BC 的
22、长,所以可利用ACB 的正切来求AB 的长; 可利用 ACB 和 ADB 的正切求出AB ; ,因为 ABD EFD 可利用 EFFD ABBD ,求出 AB ; 无法求出A, B 间距离 故共有 3 组可以求出A,B 间距离 故选 C 点评:本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用,解答道题的关 键是将实际问题转化为数学问题,本题只要把实际问题抽象到相似三角形, 解直角三角形即可求出 5( 2012?威海)如图,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点坐标分别为 (4, 0) , (8,2) , ( 6,4) 已知 A1B1C1的两个顶点的坐标为( 1,3) , (2,5) , 若 ABC与
23、A1B1C1位 似 , 则 A1B1C1的 第 三 个 顶 点 的 坐 标 为 考点:位似变换;坐标与图形性质 分析:首先由题意可求得直线AC、AB 、BC 的解析式与过点(1,3) , (2, 5)的直线的解析式,即可知过这两点的直线与直线AC 平行,则可分别从 若 A 的对应点为A1(1,3) , C 的对应点为C1(2,5)与若C 的对应 点为 A1( 1,3) , A 的对应点为C1(2,5)去分析求解,即可求得答案 解答:解:设直线AC 的解析式为: y=kx+b , ABC 的顶点坐标分别为(4, 0) , (8,2) , (6,4) , 40 64 kb kb , 解得: 2 8
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