线性系统理论多年考题和答案要点.pdf
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1、2008 级综合大题 4001 0211 0010 1 12 xxu yx 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置? 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式? 3 求方程的传递函数; 4 验证系统是否渐近稳定、 BIBO稳定、李氏稳定;(各种稳定之间的关系和判定 方法! ) 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2,-3?若能,确定K,若不 能,请说明理由; 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器,使其特征值为-4,-5; 7 画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答: 1. 判断能控性:能控矩阵 2 1416 124 ,()2. 000
2、MBABA Brank M 系统不完全 可控,不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M的前两列,并加1 与其线性无关列构成 1 140 120 001 P,求得 12 0 33 11 0 66 001 P 进行变换 11 2 08 3 1 1 12,0 ,222 6 0 001 APAPBPBccP 所以系统不可简约实现为 081 120 22 xxu yx 3. 1 2(1)(1)2(1) ( )() (4)(2)(1)(4)(2) sss G sc sIAB sssss 4. det()(4)(2)(1)sIAsss,系统有一极点4,位于复平面的右部,故不是渐近稳定。 1 2(1)
3、( )() (4)(2) s G sc sIAB ss ,极点为 4,-2,存在位于右半平面的极点,故系统不 是 BIBO稳定。 系统发散,不是李氏稳定。 5. 可以。令 112 2 8 , 12 T kkk kABk k 则特征方程 2 112 ( )det()(2)28f ssIABkskskk 期望特征方程 *2 ( )(2)(3)56fsssss 比较上两式求得: 7 28 T k 6. 可以。设 1 2 l L l ,则 11 22 282 1 222 ll ALC ll 特征方程 2 2121 ( )(222 )1628f ssllsll 期望特征方程 *2 ( )(4)(5)92
4、0fsssss 比较得: 10 3 13 6 L 则: 204 33 107 33 ALC 观测器方程为: 20410 1 333 107013 336 xxuy 7. 框图 2007级线性系统理论试题及答案 一、简述: 1 线 性 性 质 : 一 个 系 统 对 任 何 输 入 1 u 和 2 u 及 任 何 实 数 1 和 2 , 均 有 11221122 HuuHuHu,称其为线性的。 2 松弛性: 0 t 时刻松弛 :输出 0, t y 唯一地由 0, t u 所激励时,称系统在 0 t 时刻松 弛。 3 时不变:一个系统的特性不随时间而变化。 4 串联系统:系统只有 1 个输入,第一
5、个子系统输出作为第二个子系统的输入, 第二个子系统的输出作为总的输出。 5 状态转移矩阵: 令t 是 xA t x的任一基本矩阵, 对,中的 t, 0 t 称 1 00 , t ttt是 xA t x的状态转移矩阵。 二、 101 021 xxu 12 yx 1验证能控、能观; 2是否稳定、渐近稳定,分别为什么; 3假设初始状态未知,能否找到一个0,u使y e; 4 0 0 0 x ,求 y t 的单位阶跃响应, 10 00 t u t t ; 5能否配置状态反馈使2, 3 是新的极点?若能, 找出 K,若不能,说明理由; 6设计全维观测器,使极点为4, 5 ,画出结构图。 解:1 11 2
6、12 rank BABrank,可控, 12 2 14 C rankrank CA ,可观; 2系统为线性时不变的,故稳定性与渐近稳定性等价。 令 det0sIA,即120ss,所以特征值为 1 1s、 2 2s,不稳定, 亦不渐近稳定; 3 0 0 t A tAt y tCe xCeBud 10 22() 0 20 1 1212 1 tt t tt xee ud xee 22 10202 tttt e xe xeeu 令 y t e,由于 10 x , 20 x 未知, u无解,找不到; 4由 3 得: 2 22 20 0020 00 tt tttt eet yeeeeu t 5设 12 K
7、kk, 12 12 1 2 kk ABK kk 令 122 12 1 det56det 2 skk sIABKss ksk 解得: 1 12k, 2 20k, 因此1220K 6 设 12 T Lll, 11 22 12 22 ll ALC ll 令 112 22 12 det920det 22 sll sIALCss lsl 解得: 1 30l, 2 21l,因此3021 T L. (结构图 略) 三、确定参数 a、b的范围,使系统能控能观: 1 110 0210 0031 a xxu 001yx 2 0010 0101 111 xxu a 01yb x 3使李氏稳定, 74 001 100
8、 a xx 解:1 2 014 015 139 aa UBABA B,令3rankU,得1a 22 001 003 C VCA CACA ,2rankV, a无解, 所以 找不到合适的 a的范围使系统能控能观; 2 2 01 111 12 aa UBABA B aaa ,令3rankU,得1a 2 01 1 120 Cb VCAbbb CAbb ,令 23 det0Vbb,得0b且1b 所以,当1a,0b且1b时,系统可控可观; 3 32 det47sIAsass 32 0123 a sa sa sa 要让 det sIA 根小于 0,有两种做法: 根据经验: 2103 0 j a a aa
9、a 0 70 47 a a a无解 劳斯判据: 3 2 1 0 14 7 47 7 s sa a s a s 令第一列元素均大于零,a无解,因此肯定有一个正根 所以,该系统找不到合适的a使系统李氏稳定。 四、1 2 2 2 3 32 4 21 s ss G S s ss ,实现若当标准型; 解: 2 0201 111 125012 1 G s ss s 1100 0101 0021 xxu 0210 5201 yxu 注:A 为若当标准型, B为001001 T ,C为每个对应 的 N 按从高到低幂数排列, E为直接传递部分(常数) ; 以上仅对单输入正确,多输入需分解N 为 ii CB (满
10、秩分解)。 2按行展开,实现不可简约实现,大家看作业吧,这个题目看不清楚; 3 002000 012000 125212 001202 xxu ,实现可控标准型。(可控标准型当然必然可控 了,我擦) 解: 222 121212 000024 0012210 12210522 020012 BABA BbbAbAbA bA b 1 3u, 3 1u,重排得 12 11112 0020 0120 1252 0012 PbAbA bb 求得 1 0211 1100 0.5000 0.25000.5 P 取 1 P 的第三行( u1=3)为 1 0.5000h 1 P 的第四行为 2 0.25000.
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