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1、3-1 (1))(2)(2.0trtc (2))()()(24.0)(04.0trtctctc 试求系统闭环传递函数(s), 以及系统的单位脉冲响应g(t) 和单位阶跃响应c(t)。已知全 部初始条件为零。 解: (1)因为)(2)(2.0sRssC 闭环传递函数 ssR sC s 10 )( )( )( 单位脉冲响应:ssC/10)(010)(ttg 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(ssC010)(tttc (2))()()124.004.0( 2 sRsCss 124. 004.0 )( )( 2 ss sR sC 闭环传递函数 124.004.0 1 )( )( )( 2 sssR
2、sC s 单位脉冲响应: 124.004.0 1 )( 2 ss sCtetg t 4s i n 3 25 )( 3 单位阶跃响应h(t) 16)3( 61 16)3( 25 )( 22 s s sss sC tetetc tt 4sin 4 3 4cos1)( 33 3-2温度计的传递函数为 1 1 Ts ,用其测量容器内的水温,1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10o C/min 的速度匀速上升,问温度计的稳态指示误差有 多大? 解法一依题意,温度计闭环传递函数 1 1 )( Ts s 由一阶系统阶跃响应特性可知: o o Tc98)4(, 因此有min14T,
3、 得出min25.0T。 视温度计为单位反馈系统,则开环传递函数为 Tss s sG 1 )(1 )( )( 1 1 v TK 用静态误差系数法,当ttr10)(时,CT K ess5. 210 10 。 解法二依题意,系统误差定义为)()()(tctrte,应有 11 1 1 )( )( 1 )( )( )( Ts Ts TssR sC sR sE s e CT sTs Ts ssRsse s e s ss 5.210 10 1 lim)()(lim 2 00 3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 )1.536.1sin(5 .1210)( 2.1ot tetc 试求系统的超调量、峰值时间p
4、 和调节时间 s。 解:)1sin( 1 1 1)( 2 2 tetc n t n arccos 2 1/ %e n p t 2 1 n s t 5.3 6.01 .53coscos 0 %5.9% 22 2 6. 01/6.06. 01/6 .01/ eee )(96.1 6.1 1 2 st n p )(92.2 2.1 5.35.3 st n s 或:先根据c(t)求出系统传函,再得到特征参数,带入公式求解指标。 3-4机器人控制系统结构图如图T3.1 所示。试确定参数 21,K K值,使系统阶跃响应 的峰值时间5.0 p t s,超调量%2%。 图 T3.1 习题 3-4 图 解依题,
5、系统传递函数为 22 2 121 2 1 21 1 2)1( )1( )1( 1 )1( )( nn n ss K KsKKs K ss sKK ss K s 由 5.0 1 02.0 2 1 2 n p o o t e 联立求解得 10 78.0 n 比较)(s分母系数得 146. 0 12 100 1 2 2 1 K K K n n 3-5设图T3.2 (a)所示系统的单位阶跃响应如图T3.2 ( b)所示。试确定系统参数 , 1 K 2 K和a。 图 T3.2 习题 3-5 图 解由系统阶跃响应曲线有 o o o o p t c 3.333)34( 1.0 3)( 系统闭环传递函数为 2
6、2 2 2 1 2 21 2 )( nn n ss K Kass KK s(1) 由 o o o o n p e t 3.33 1 .0 1 2 1 2 联立求解得 28.33 33.0 n 由式( 1) 222 1108 2 1 n n a K 另外3lim 1 )(lim)( 2 1 2 21 00 K Kass KK s ssc ss 3-6 已知单位反馈随动系统如图T3.3 所示, K=16s -1 ,T=0.25s,试求: (1)特征参数和 n; (2)计算 % 和 ts; (3)若要求 %=16% ,当 T 不变时 K应当取何值? 图 T3.3 习题 3-6 图 【解】 : (1)
7、求出系统的闭环传递函数为: TKs T s TK KsTs K s / 1 / )( 2 2 因此有: 25. 0 2 1 2 /1 ),(8 25.0 161 KT T s T K n n (2)%44%100e% 2 -1 - %)2)(2 825.0 44 st n s (3)为了使 %=16% ,由式 %16%100e% 2 -1 - 可得 5 .0 ,当 T 不变时,有: )(425.04 )(4 25.05.02 1 2 1 2 /1 122 1 sTK s T T n n 3-7 系统结构图如图T3.4 所示。 已知系统单位阶跃响应的超调量%3.16%,峰值 时间1 p t s。
8、 图 T3.4 习题 3-7 图 (1)求系统的开环传递函数)(sG; (2)求系统的闭环传递函数)(s; (3)根据已知的性能指标%、 p t确定系统参数K及; (4)计算等速输入sttr)(5.1)(时系统的稳态误差。 解 (1) )110( 10 )1( 10 1 ) 1( 10 )( ss K ss s ss KsG (2) 22 2 2 210) 110( 10 )(1 )( )( nn n ssKss K sG sG s (3)由 1 1 3.16 2 1 2 n p o o o o t e 联立解出 263.0 63. 3 5.0 n 由( 2) 18.1363.310 22 n
9、 K ,得出318.1K。 (4)63.3 1263.010 18.13 110 10 )(lim 0 K ssGK s v 413.0 63.3 5.1 v ss K A e 3-8 已知单位反馈系统的单位阶跃响应为 ,求 (1)开环传递函数; (2) sn %t; (3)在作用下的稳态误差。 3-9 已知系统结构图如图T3.5 所示, )125.0)(11.0( )( sss K sG 试确定系统稳定时的增益K的取值范围。 图 T3.5 习题 3-9 图 解: 3-10已知单位反馈系统的开环传递函数为 )22)(4( ) 1(7 )( 2 ssss s sG 试分别求出当输入信号tttr)
10、,(1)(和 2 t时系统的稳态误差。 解 )22)(4( ) 1(7 )( 2 ssss s sG 1 87 v K 由静态误差系数法 )( 1)(ttr时,0 ss e ttr)(时,14.1 7 8 K A ess 2 )(ttr时, ss e 3-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为( ) (0.11)(0.21) K G S sss , 若 r(t) = 2t 2 时,要求系统的稳态误差为0.25,试求K应取何值。 3-12 设系统结构图如图T3.6 所示, 图 T3.6 习题 3-12 图 (1) 当 0 25,0 f KK时,求系统的动态性能指标%和 s t; (2) 若使系
11、统=0.5 ,单位速度误差0.1 ss e时,试确定 0 K和fK值。 (1) %25.4% 1.75ts (5 分)(2)0100,6fKK(5 分) 3-13 已知系统的特征方程,试判别系统的稳定性,并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 (1)01011422)( 2345 ssssssD (2)0483224123)( 2345 ssssssD (3)022)( 45 ssssD (4)0502548242)( 2345 ssssssD 解( 1)1011422)( 2345 ssssssD=0 Routh:S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 6 S2 12410 S 6 S
12、0 10 第一列元素变号两次,有2 个正根。 (2)483224123)( 2345 ssssssD=0 Routh:S5 1 12 32 S4 3 24 48 S3 3 1224 3 4 32348 3 160 S2 424316 4 1248 S 1216448 12 0 0 辅助方程 12480 2 s , S 24 辅助方程求导:024s S0 48 系统没有正根。对辅助方程求解,得到系统一对虚根sj 12 2 , 。 (3)022)( 45 ssssD Routh:S5 1 0 -1 S4 2 0 -2 辅助方程022 4 s S3 8 0 辅助方程求导08 3 s S2 -2 S
13、16 S0 -2 第一列元素变号一次,有1 个正根;由辅助方程022 4 s可解出: )()(1)(1(222 4 jsjssss )()(1)(1)(2(22)( 45 jsjssssssssD (4)0502548242)( 2345 ssssssD Routh:S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 辅助方程050482 24 ss S3 8 96 辅助方程求导0968 3 ss S2 24 -50 S 338/3 S0 -50 第一列元素变号一次,有1 个正根;由辅助方程050482 24 ss可解出: )5)(5)(1)(1(250482 24 jsjsssss )5)(5)
14、(1)(1)(2(502548242)( 2345 jsjssssssssssD 3-14某控制系统方块图如图T3.7 所示,试确定使系统稳定的 K值范围。 图 T3.7 习题 3-14 图 解由结构图,系统开环传递函数为: )4( ) 124( )( 23 2 sss ssK sG 3 4 v KKk 系统型别 开环增益 0244)( 2345 KKsKsssssD Routh:S5 1 4 2K S4 1 4K K S3 )1(4KK 1K S2 )1(4 )1615( K KK K 067.11516K S )1(4 164732 2 K KK 933.0536.0K S0 K0K 使系
15、统稳定的K值范围是:933.0536.0K。 3-15单位反馈系统的开环传递函数为 )5)(3( )( sss K sG 要求系统特征根的实部不大于 1,试确定开环增益的取值范围。 解系统开环增益15KK k 。特征方程为: 0158)( 23 KssssD 做代换 1ss 有: 0)8(25)1(15)1(8)1()( 2323 KsssKssssD Routh :S3 1 2 S2 5 K-8 S 5 18K 18K S08K8K 使系统稳定的开环增益范围为: 15 18 1515 8K K k 。 3-16单位反馈系统的开环传递函数为 )12)(1( )1( )( sTss sK sG
16、试确定使系统稳定的 T和K的取值范围。 解特征方程为: 0)1()2(2)( 23 KsKsTTssD Routh :S3 T2K10T S2 T2K2T S T TK K 2 2 1 1 4 2 K T S0K0K 综合所得,使系统稳定的参数取值 1 4 2 K T, k0 3-17船舶横摇镇定系统方块图如图T3.8 所示,引入内环速度反馈是为了增加船只的 阻尼。 图 T3.8 习题 3-17 图 (1)求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 )( )( sM s N ; (2)为保证 N M为单位阶跃时倾斜角的值不超过0.1,且系统的阻尼比为0.5,求 2 K、 1 K和 3 K应满足的方程
17、; (3)取 2 K=1 时,确定满足(2)中指标的 1 K和 3 K值。 解(1) )5. 01()5.02. 0( 5. 0 12 .0 5 .0 12 .0 5.0 1 12 .0 5.0 )( )( 2132 2 2 1 2 32 2 KKsKKs ss KK ss sKK ss sM s aN (2)令:1.0 5.01 5.0 )( )(1 lim )( )( )(lim)( 21 00 KKsM s s s sM s sMs N s N N s 得8 21K K。 由 )( )( sM s N 有: 5 .0 2 5 .02.0 5 .01 32 31 n n KK KK , 可
18、得 2132 5.0125. 02.0KKKK (3)1 2 K时,8 1 K,525.02 .0 3 K,可解出072.4 3 K。 3-18系统方块图如图T3.9 所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、 静态速度误差系数和静态加速度误差系数。 图 T3.9 习题 3-18 图 解: 局部反馈加入前,系统开环传递函数为 )1( )12(10 )( 2 ss s sG )(limsGK s p )(lim 0 ssGK s v 10)(lim 2 0 sGsK s a 局部反馈加入后,系统开环传递函数为 )20( ) 12(10 1 20 1 1( 10 12 )( 2 sss
19、s s ss s s sG )( ) )(lim 0 sGK s p 5 .0)(lim 0 ssGK s v 0)(lim 2 0 sGsK s a 3-19系统方块图如图T3.10所示。已知)(1)()()( 21 ttntntr,试分别计算 )()(),(21tntntr和作用时的稳态误差,并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下 的稳态误差的影响。 图 T3.10 习题 3-19 图 解 )1)(1( )( 21 sTsTs K sG 1v K )( 1)(ttr时,0 ssr e; KsTsTs sT sTsTs K sTs sN sE s en )1)(1( )1( )1)(1
20、( 1 )1( 1 )( )( )( 21 1 21 2 1 1 )( 1)( 1 ttn时, Ks sssNsse en s en s ssn 11 )(lim)()(lim 111 0 1 0 KsTsTs sTs sTsTs K sT sN sE s en )1)(1( )1( ) 1)(1( 1 ) 1( 1 )( )( )( 21 1 21 2 2 2 )(1)(2ttn时,0 1 )(lim)()(lim 212 0 2 0 s sssNsse en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节,可以同时减小由输入和干 扰因引起的稳态误差。 3-20系
21、统方块图如图T3.11 所示。 图 T3.11 习题 3-20 图 (1) 为确保系统稳定,如何取K值? (2) 为使系统特征根全部位于s平面1s的左侧,K应取何值? (3) 若22)(ttr时,要求系统稳态误差25.0 sse,K应取何值? 解 )5)(10( 50 )( sss K sG 1v K (1)KssssD505015)( 23 Routh: 050 15 15 )15(50 5015 501 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 系统稳定范围:150K (2)在)(sD中做平移变换:1ss KssssD50)1(50)1(15)1()( 23 )3650(2312 23
22、 Ksss Routh: 72. 0 50 36 3650 24.6 50 312 12 50312 365012 231 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 满足要求的范围是: 24. 672.0K (3)由静态误差系数法 当22)(ttr时,令25.0 2 K ess 得 8K 。 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得:158K 3-21宇航员机动控制系统方块图如图T3.12 所示。其中控制器可以用增益 2 K来表示; 宇航员及其装备的总转动惯量 2 25mkgI。 图 T3.12 习题 3-21 图 (1)当输入为斜坡信号ttr)(m 时,试确定 3 K的取值,使系统稳态误差 ss
23、 e1cm; (2) 采用( 1)中的 3 K值,试确定 21, K K的取值,使系统超调量%限制在 10%以内。 解(1)系统开环传递函数为 )( )()( )( )( 321 21 321 21 I KKK ss I KK KKKsIs KK sE sC sG 1 1 3 v K K ttr)(时,令01.0 1 3 K K ess , 可取 3 0.01K。 (2)系统闭环传递函数为 I KK s I KKK s I KK sR sC s 213212 21 )( )( )( I KKK I KK n 2 213 21 由 o o o o e10 2 1 ,可解出592.0。取6 .0进
24、行设计。 将25I,01.0 3 K代入6 .0 2 213 I KKK 表达式,可得 360000 21K K 3-22 大型天线伺服系统结构图如图T3.13 所示,其中=0.707, n=15, =0.15s。 (1)当干扰)(110)(ttn,输入0)(tr时,为保证系统的稳态误差小于0.01o ,试确定 a K的取值; (2)当系统开环工作 ( a K=0) ,且输入0)(tr时,确定由干扰)(110)(ttn引起的系 统响应稳态值。 图 T3.13 习题 3-22 图 解(1)干扰作用下系统的误差传递函数为 222 2 )2)(1( ) 1( )( )( )( nann n en K
25、ssss s sN sE s )(110)(ttn时,令 a en s en s ssn K s s sssNse 10 )( 10 lim)()(lim 00 01. 0 得:1000 a K (2)此时有 )2( 10 )( )2( )()( 222 2 22 2 nn n nn n sss sN sss sCsE )(lim)( 0 ssEee s ss 3-23控制系统结构图如图T3.14 所示。其中 1 K,0 2 K,0。试分析: (1)值变化 (增大 )对系统稳定性的影响; (2)值变化 (增大 )对动态性能(%, s t)的影响; (3)值变化 (增大 )对tatr)(作用下稳
26、态误差的影响。 图 T3.14 习题 3-23 图 解系统开环传递函数为 )( 1 )( 2 21 2 2 1 Kss KK sKs K KsG 1 1 v KK 212 2 21 )( KKsKs KK s 1 2 21 2 21 2 2 K K KK K KK n 212 2 )(KKsKssD (1)由)(sD表达式可知,当0时系统不稳定,0时系统总是稳定的。 (2)由 1 2 2 1 K K 可知, 2 75.3 K t n s o o )10( (3) 1 K a K a ess 3-24 系统方块图如图T3.15所示 (1) 写出闭环传递函数)(s表达式; (2) 要使系统满足条件
27、:707.0,2 n , 试确定相应的参数 K 和; (3) 求此时系统的动态性能指标( s t,0 0 ) ; (4)ttr2)(时,求系统的稳态误差 ss e; (5)确定)(sGn,使干扰)(tn对系统输出)(tc无影响。 图 T3.15 习题 3-24 图 解 (1) 闭环传递函数 22 2 2 2 2 2 1 )( )( )( nn n ssKsKs K s K s K s K sR sC s (2)对应系数相等得 222 42 22 n n K K 707.0 4K (3) 0 0 1 0 0 32.4 2 e 475.2 2 5. 35.3 n s t (4) )( 1 )( 2
28、 Kss K s K s K sG 1 1 v K K 414.12 K ss K A e (5)令:0 )( )( 1 1 )( )( )( s sG ss K sN sC s n n 得:KssGn)( 3-25复合控制系统方块图如图T3.16 所示,图中 1 K, 2 K, 1 T, 2 T均为大于零的常 数。 (1)确定当闭环系统稳定时,参数 1 K, 2 K, 1 T, 2 T应满足的条件; (2)当输入tVtr 0 )(时,选择校正装置)(sGC ,使得系统无稳态误差。 图 T3.16 习题 3-25 图 解(1)系统误差传递函数 2121 1221 21 21 2 2 ) 1)(
29、1( )1)()1)(1( )1)(1( 1 )( ) 1( 1 )( )( )( KKsTsTs sTsGKsTsTs sTsTs KK sG sTs K sR sE s c c e 21 2 21 3 21 )()(KKssTTsTTsD 列劳斯表 21 0 21 2121211 2121 2 21 3 0 1 KKs TT KKTTTT s KKTTs TTs 因 1K 、 2K 、 1T、2T 均大于零,所以只要 212121KKTTTT 即可满足稳定条件。 (2)令 2121 1221 2 0 00 )1)(1( )1)()1)(1( lim)()(lim KKsTsTs sTsGK
30、sTsTs s V ssRsse c s e s ss 0 )( 1lim 2 21 0 0 s sG K KK V c s 可得 2 )(KssGc Matlab 习题 3-26 设控制系统的方框图如图3.4.2所示,当有单位阶跃信号作用于系统时,试求系统的 暂态性能指标tp、ts和% 。 图 T3.17 习题 3-26 图 【解】 :求出系统的闭环传递函数为: 256 25 )( 2 ss s 因此有: )(93.01.53 1 )(41,6.0),(5 2 1 121 radtg ss ndn 上升时间tr: )(55. 0 4 93.014. 3 st d r 峰值时间tp: )(78
31、5.0 4 14. 3 st d p 超调量 % : %5.9%100095. 0%100e% 2 -1 - 调节时间ts: %)2)(33.1 56. 0 44 st n s Matlab 程序: chpthree2.m num=25;de n=1,6,25; %系统的闭环传递函数 sys=tfnum,den; %建立系统数学模型 t=0:0.02:4; figure step(sys,t);grid %系统单位阶跃响应 R(s) )6( 25 ss C(s) 3-27单位反馈系统的开环传递函数为 )5( 25 )( ss sG 试用 MATLAB判断系统的稳定性,并求各静态误差系数和 2 5 .021)(tttr时的稳态误 差 ss e; 解(1) )5( 25 )( ss sG 1 5 v K )5( 25 lim)(lim 00 ss sGK ss p 5 5 25 lim)(lim 00 s sGsK ss v 0 5 25 lim)(lim 0 2 0 s s sGsK ss a )(1)( 1 ttr时,0 1 1 1 p ss K e ttr2)( 2 时,4 .0 5 2 2 v ss K A e 2 3 5.0)(ttr时, 0 1 3 a ss K A e 由叠加原理 321ssssssss eeee
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