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1、摘要 本文将行(列)满秩矩阵的性质与可逆矩阵(即满秩矩阵)的相关性质进行比 较,归纳出行(列)满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的 若干应用,使其不受方阵的正方性限制,而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词:可逆矩阵;行 ( 列) 满秩矩阵;矩阵的秩;线性方程组 Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction t
2、ravel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix ran
3、k; The System of linear equations. 目录 1 引言 1 2 预备知识 2 3 可逆矩阵的性质及其应用 3 4 行(列)满秩矩阵的性质 5 5 行(列)满秩矩阵的若干应用 . 11 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 11 5.2 在齐次线性方程组中的应用12 5.3 在非齐次线性方程组中的应用15 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用17 参考文献 20 1 行(列)满秩矩阵的性质及其应用 1 引言 矩阵是高等代数研究的一个重要内容,用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算 解决相关问题的方法, 通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其方法已然成为现今众多科 学领域中不能缺少的工
4、具。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性分析、 机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。 矩 阵 的 现 代 观 点 是 在 十 九 世 纪 时 慢 慢 形 成 的 。 德 国 著 名 数 学 家 高 斯 (F.Gauss,1777-1855 )在 1801 年时,就把一个线性变换中的所有系数当成一个整 体 。 而 在1844年 时 , 德 国 的 另 一 位 著 名 数 学 家 爱 森 斯 坦 (F.Eissenstenin,1823-1852)根据“变换矩阵” 和其乘积进行讨论。 不过“矩阵” 这一词的由来却是来自英国的数学家西尔维斯特(Sylvester,1814-1897),这是
5、他 于1850 年 首 先 提 出 并 对 其 进 行 了 研 究 , 以 便 之 后 的 英 国 数 学 家 凯 莱 (A.Gayley,1821-1895 )为创立矩阵理论做出重大的贡献。从而,经过西尔维斯特、 凯莱等众多数学家们的不懈努力,使得矩阵理论得到很大的发展,并被广泛应用。 如矩阵的特征根和特征向量、正交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵 而在矩阵的理论和应用中, 可逆矩阵(或者满秩矩阵) 却是占据了重要的地位。 它的应用是多方面的,如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆 矩阵比一般的矩阵更容易处理,这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵 解决问题时发现,首先,它必须是一
6、个方阵,而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相 同。因此,人们经由数学家的不断探索,把满秩矩阵推广成行(列)满秩矩阵,使 它不受方阵的正方性所限制,而应用起来又与可逆矩阵相差无几,能够更广泛地使 用矩阵这一工具来解决相关问题。 本文是将他人的研究成果进行收集整理,并在此基础上,将行(列)满秩矩阵 的性质及其相关的应用与可逆矩阵(即满秩矩阵)的性质及其相关应用进行比较, 归纳出行(列)满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方 面的应用。 2 2 预备知识 设 ij Aa是一个 s t 的矩阵,如若将A 的每一行都看成t维的一个行向量,则 1 2 s A,这里边 12iiiit 是 A
7、的第 i 行,1,2, .is 同理,若将A 的每一列都看成一个s维的列向量,则 12 , t A,其中 1 2 j j j sj a a a 是 A的第 j 列,1,2,jt. 则称,向量组 1 2 s 是 A的行向量组。 定义 2.1 矩阵行向量组的秩,叫做矩阵的行秩;矩阵列 向量组 的秩,则叫做 矩阵的列秩。 例 1 设 101 021 003 A, 我们可知 A的行秩为 3,而其列秩也为3. 定义2.2 如果矩阵 A中不等于零的子式的最大阶数为r,则r叫做矩阵 A 的 秩,可记为 rank Ar . 例 2 求矩阵 2433 1211 1233 A的秩。 解:因为位于矩阵A 中的第1,
8、2 行和矩阵中的第2,3 列的二阶子式里 43 20 21 D, A 中 包 含 D 的 三 阶 子 式 只 有 两 个 , 且 都 为0 , 即 243433 1210 , 2110 123233 ,所以2R A. 3 3 可逆矩阵的性质及其应用 定义 3.1 设 A是数域 F 上的 nn阶矩阵,I 是n阶的单位矩阵。如果存在 F 上 的一个n阶方阵 B , 使得 ABBAI ,则我们就说 A是可逆矩阵(或者满秩矩阵), B 成为 A的逆矩阵。 引理 1 对任意矩阵, m nn p AB恒有:秩AB秩 A,秩 AB秩 B . 性质 3.1 对可逆矩阵, m mn n PQ以及任意的 m n
9、A,恒有:秩 PA秩AQ=秩 A. 证明: 根据性质 3.1 可知, 1 R AR P PAR PAR A, 所以, 有 R PAR A . 因此,我们也可证得 1 R AR AQQR AQR A, 所以有 R AQR A . 证 毕。 性质3.2 设 P 是n阶的可逆矩阵,Q 是m阶的可逆矩阵,如果存在着 00 0000 rs II QP,则 rs. 证明:将m阶方阵 Q进行分块,即 12 34 QQ Q QQ , 其中 1 rr QF. 也将n阶方阵 1 P进 行分块,即 121 34 PP P PP , 其中 1 s s PF. 于是,按上式得 112 3 0 000 QPP Q 1 如
10、果 rs,不妨设 rs,则 2 0P. 但 11 34 0P P PP 可逆,所以 1 P可逆。将 1 P再进 行分块,即 11112 PPP, 其中 1112 , ss rs t PFPF,再比较1,得 12 0P. 这与 1 P 可逆相矛盾,所以 rs不成立。同理可证 sr 也不成立,所以 rs. 定义 3.2 设 A是数域 F 上 mn阶非零矩阵,若是存在m阶、n阶的可逆矩阵 ,Q P, 使得 0 00 r I QAP, 则我们就称矩阵A的秩为r, 记为 rank Ar . 若是0A, 规定0rank A. 4 性质 3.3 对于任意的n阶方阵,A B, 设0AB, 若 A是可逆矩阵,则
11、有0B. 证明:由题意可知,因为A是可逆矩阵,所以存在 1 A , 即,令0AB两端同时左乘 1 A , 则有 1 0AAB, 所以0B得证。 性质 3.4 设,B C都是不为零的方阵,且A为可逆矩阵,若有ABAC, 则 B C. 证明:因为A 是可逆矩阵,则存在 1 A, 所以令 ABAC两边同时左乘 1 A, 有 11 A ABAAC, 所以 B C . 性质 3.5 设,A B都是n阶不为零的方阵,且0AB, 则 R An. 证明:因为0AB, 所以 R AR Bn. 又因为 B 是不为零的,所以1R B, 所 以 R An. 性质 3.6 设,A B都是数域 K 上n阶的矩阵,如果 A
12、BI , 那么 A与 B都是可 逆矩阵,并且 1 AB, 1 BA. 证明: 由于 ABI , 则 ABI , 因此 A BI , 所以有0,0AB, 即,A B都为可逆 矩阵。令ABI 的两端同时左乘 1 A, 即 11 AABAI , 由此得出 1 BA , 同理有 11 ABBIB, 即 1 AB. 命题 1 如果P 是m阶的可逆矩阵, 那么,线性方程组AXB和 PAXPB有 相同的解。 证明:若令 1 X为 AXB的解,即 1 AXB, 则两边左乘P 可得 1 PAXPB, 所以 1 X 也为 PAXPB的解。 反之,若 1X为 PAXPB的解,即1PAXPB,则两边左乘 1 P可得
13、1 AXB,所以 1 X也是 AXB的解,所以, AXB与 PAXPB同解可证。 命题 2 设 A为n阶可逆矩阵,则n元的齐次线性方程组0AX仅有唯一零解。 5 证明:因为 A为可逆矩阵,所以存在 1 A ,令0AX等式两端同时乘以 1 A ,则有 1 0AAX,即0X,所以,命题得证。 命题 3 证明 rank ABrank Arank B . 证明:设 1212 , nn AAAABBBB,则 1122 , nn ABAB ABAB,若 11 , iiin AAA与 12 , jjjn BBB 分别是A与B 的列向量的极大线性无关组,则有 1122 1122 1,2, tiiiiinin
14、tjjjjjnjn Ak Ak Ak A tn Bl BlBlB 于是 1111 ,1,2, ttiiininjjjnjn ABk Ak Al Bl Bi jn ,即 AB 的列向量组可由 12 ,A iiin AA与 12 , jjjn BBB 线性表示,所以, rank ABrank Arank B . 命题 4 若n阶矩阵,A B的秩分别是, r s,则 rank ABrsn。 证 明 : 依 题 意 可 知 , 只 需 证 nrank ABrank Arank B. 因 为 0 0 A r a n kr a n kAr a n kB B ,所以 0 0 n I nrank ABrank
15、 AB , 做分块矩阵 的初等变换,则 00 0000 nnnnn IIIBIBBI ABAABAAA ,又因为 初等变换不 改 变 矩 阵 的 秩 , 且 0 AC rankrank Arank B B ,则 0 00 nn IBI rankrankrank Brank A ABA , 所以 rank ABrsn. 4 行(列)满秩矩阵的性质 定义 4.1 如果在 m n阶的矩阵A中,n个列向量线性无关,则我们就称该 矩阵 A为列满秩矩阵;如果矩阵的m个行向量线性无关,则称该矩阵为行满秩矩 阵。 6 例3 矩 阵 111 210 120 112 A中 的 三 个 列向量 1 1 2 1 1
16、, 2 1 1 2 1 , 3 1 0 0 2 , 123 ,线性无关,所以3R A, A 为列满秩矩阵。而 1211 1121 1002 T A, 三个 行 向 量1211 ,1121 ,1002 TTT 也 线 性 无 关 , 因 此 3 T R A, 则 T A 为行满秩矩阵。 定理 1 设 A是 m r 阶的矩阵,那么下面诸言等价: (1) A是列满秩矩阵; (2) A内存在着一个r阶的可逆子块; (3) A的列数与 0 r I 等价; (4)存在着矩阵B , 其中 B 为列满秩矩阵,使得AB 是一个可逆矩阵; (5)存在着矩阵C , 其中 C 是行满秩矩阵,则有 CAI . 证明:(
17、 1)(2)只要根据矩阵秩数的定义就可证得。 (2)(3) 利用初等变换, 可以把 A的r阶可逆子块移至最上方,则存在可逆矩 阵 P ,令 S PA T , 其中 S是r阶的可逆矩阵。令 1 1 0 m r S Q TSI ,所以 Q 是可逆 的,进而 0 r I QP S. 7 (3)(4)如果 P是可逆矩阵, 有 0 r I PA, 则 1 0 r I AP. 假设 1 0 m r BP I , 则 B 就是列满秩矩阵。 而且, 有 0 0 r m m r I P ABPAPBI I , 因为 AB 是m阶的方阵,所以AB 是一个可逆矩阵。 (4)( 5)我 们 把 1 AB按 照 行 进
18、 行 分 块 , 即 1C AB D , 则 有 m CCAC B IAB DD AD B, 从而 r CAI,又有r R CAR Cr,所以一定 有 R Cr ,所以 C 是行满秩矩阵。 (5)(1) 由 r CAI可知, rR CAR Ar ,所以 R Ar ,则 A就是列 满秩矩阵。 定理 1设 A是 rn 阶的矩阵,则下面各命题 等价: (1) A是行满秩矩阵; (2) A内存在着一个r阶的可逆子块; (3) A的行数与0 r I等价; (4)存在着 矩阵B ,其中 B 为列满秩 矩阵 ,使得 A B 是一个可逆 矩阵 ; (5)存在着矩阵C ,其中 C 为列满秩矩阵,使得 ACI .
19、 证明:与定理 1 类似。 8 定理2 若,A B均为列满秩矩阵,则对任意的矩阵P ,只要可乘,就有秩 P = 秩 AP =秩 PB =秩 APB . 证明: 令QAP, 则秩 Q秩 P , 再由定理 1 可知, 存在行满秩矩阵C , 使得 CAI . 于是CQCAPIPP, 故又有 rank Prank Q ,所以 R PR QR AP . 由此结果又知,秩PB =秩 BP =秩 P =秩 P . 最后,自然就有秩APB =秩 PB =秩 P . 证毕。 命题 5 设 B 为n阶矩阵, C 为 nm行满秩 矩阵,证明:如果0BC, 那么 0B. 证 明: 因为 C 为 nm 行 满 秩矩 阵
20、, 因 此 秩 C = n。 又因 为0BC,所 以 有 rankBrankCn,从而0rank B,由此推出 0B 。 定理 3 设 m n AMF , 则存在 np阶矩阵B( 其中 B不为零) ,使得0AB 当且仅当秩 An . 性质 4.1 s t 阶的 矩阵A 是行满秩矩阵存在t s阶的列满秩矩阵 B , 使 得s ABI . 证明:由于 A是行满秩 矩阵 ,R A s,则有, s R AR A I . (因为 A中的所有 列向量都可以由s I 中的s个 列向量线性表示 出来),因此s AXI 有解。若解为t s B , 则有s ABI . 将左右两边取其转置,有 TT s B AI
21、, 显然 的, T s B XI有解。由引 理 2 可知, TT s R BR BIs.(由于 T B 中所有的 列向量 均可用s I 中的s个列向量 线性表示出来)。所以 T R BR Bs,从而说B为列满秩矩阵。 反 之, 如果 存 在s t阶 的 行满秩矩阵 B , 使 得 , s ABI 则s AXI 有 解 。 所以 , s R AR A Is对于列满秩矩阵 也是有类似的结论。 定理 4 设A是m n阶矩阵,则 9 (1)A是列满秩矩阵的 充要条件 为存在 mm阶可逆矩阵P,使得 0 r I AP . (2)A是行 满秩矩阵 的 充要条件 为存在n n阶可逆矩阵Q,使得0 r AIQ
22、. 证明:( 1) 充分性 是显然的,下证 必要 性。 由于m n r An ,则存在 可逆矩阵, mmnn HL ,使得 0 0000 n nrn nn n n m n m nm n LILI AHLHH I ,令 0 0 n n m n L PH I , 则P为 所求。 (2)的证明是类似的。 由(1)得 1 00 0 n nnn I IP AII ,记 1 0 n IPB,则 n BAI . 推论 4.1 (1) mn阶矩阵A是列满秩矩阵 存在 行满秩矩阵 n m B ,使得 n mm nn BAI . (2)m n阶矩阵 A是列满秩矩阵 存在 行满秩矩阵 n m C , 使得m nn
23、mm ACI . 由推论 4.1 可知:若矩阵 A既是列满秩矩阵 ,也是 行满秩矩阵 ,则A是可逆 矩阵 。 推论 4.2 (1)矩阵 A是列满秩矩阵A左可消,即 若12 ACAC , 则12 CC . (2) 矩阵A是行满秩矩阵 A右可消,即 若12 C AC A,则 12 CC . 证明:( 1)必要性。由于 m n A 为 列满秩矩阵 ,则存在 行满秩矩阵 n m B ,使得 10 n mm nn BAI ,将12 ACAC 两边同时乘以 B,立即得 12 CC . 充分性。若m n r An,则 齐次线性方程组0AX 有非零解,设为0 X ,于是 0 00AXA , 又因为 A左可消,
24、可知 0 0X ,与上述矛盾,所以 A为列满秩 矩阵。 (2)的证明与( 1)类似。 定理 5 设m n阶 矩阵A 的秩为 r ,则有 m r阶列满秩矩阵H和rn阶 行满秩矩阵L , 使得A HL. 证 明 : 因 为 m n 阶 矩 阵 A 的 秩 为 r , 则 存 在 可 逆 矩 阵 , m mn n PQ , 使 得 0 0 000 rr m mn nm mrn n r n m nm r II APQPIQ,令 ,L0 0 r m mrn n r n m r I HPIQ 则L,H为所求。 定理 5 中分解式 AHL 称为A的一个满秩分解 ,我们指出 满秩分解 不是唯一的, 事实上,对
25、于任意的 rr阶可逆矩阵P, 1 AHPP L 也是A的一个 满秩分解 。 但是我们有 定理 6 设m n阶矩阵A的秩为 r,若 1122 AH LH L 2 是A的两个满秩分解,则 存在 rr 阶的 可逆矩阵P, 使得 12 HH P, 1 12 LP L . 证明:由1 L是rn阶行满秩矩阵 ,存在 列满秩矩阵 n r N ,使得1r L NI ,于是 1111222r HH IH L NHL NH P3 11 这里2 L NP. 下证rr阶的矩阵P可逆。 由于1 H 是m r阶 列满秩矩阵 ,存在 rm阶行满秩矩阵M ,使得1r MHI ,于是 122 IMHMH PMHP, 又因为 2
26、, MHP都是rr阶矩阵,所以P可逆。将3 代人 2 中,得2122 H PLH L, 由 2 H 列满秩左可消知:12 PLL, 即 1 12 LP L . 定理 7 令A为m n阶的 列满秩矩阵 ,则0AX只有零解。 证明:设 12 , n Aa aa , 且有 1 2 ,1,2, i i i mi a a ain a , 所以线性方程组0AX为 1 2 12 ,0 n n x x a aa x ,即1122 0 nn a xa xa x ,所以 A为列满秩矩阵,因而 12 , n a aa 线性无关,所以12n xxx ,即 0AX 只有零解,命题得证。 5 行(列)满秩矩阵的相关应用
27、5.1 在矩阵秩的证明中的应用 定理 8 rank ABrank Arank B . 证明:设 ,rankAr rank Bs, 由第 4 节中的定理 5 可知,有 11 ,AGHBG H , 其中 ,G H 均为 秩数 为 r 的 列满秩矩阵 ,11 ,GH 均为 秩数 为 s的列满秩矩阵 ,所以 有1 1 H ABGG H ,从而知 12 1 ,rank ABrank G GrsrankArank B . 由此定理及 AABB可得, 定理 8 rank ABrank Arank B . 定理 9 (Sylvester定律) rank ABrank Arank BB的行数,其中,A B 并不
28、一定是方阵。 证明:如果 A是s t阶矩阵,那么t就是B的行数。由 4.3 中的定理 2 可知,存在着 两个高矩阵 ,P Q , 令A PQ ,Q的行数 rank Qrank A . 再由 4.3 中的定理 1 可知,对于Q, 令 ,Q Q 是可逆的,从而得到 1 Q Q 也是可逆的。并且,因为A PQ , Q 的 列 数为 t , 所以1 Q 的行 数 为 tQ 的 行数 。所 以 0 QB rank ABrank PQ Brank Q Brank 1 11 0Q rankBrankBrankQ B QQ B 1 rank Brank Qrank B(nQ的行数) rank B(B 的行数r
29、ank A) rankArank BB的行数 5.2 在齐次线性方程组中的应用 13 定理 10 如果线性方程组0A的系数矩阵 s t AX的秩是r,那么该方程组一 定有 tr 个解为 12 , t r ,并且: (1) 12 , tr 线性无关; (2) 由 12 , tr 线性组合可表示方程组的任一解 b . 证明: (I) 当 rt 时,A为列满秩矩阵, 则该方程组有唯一的零解, 即 12 , tr 线性相关。则( 1),( 2)不成立。 (II) 当 rt 时, A中存在一个r阶子块,设此子块在 A的左上角,则有 1112 2122 0 AA AA 4 由 1 2111 0 r s r
30、 I B A AI 乘以 4得 1112 1 22211112 0 0 AA X AA A A 5 由于 5 的系数矩阵的秩为r,且 11 A是r阶可逆子块,所以 1 22211112 0AA A A. 因此 5 与 1112 ,0AAX6 同解,而 14 1 1112 tr A A I 7 有 1 1112 1112 ,0 tr A A AA I ,令 7中的 tr 列为 12 , tr ,则此为6的解,即 为原方程组 的解。则( 1)可证。 下证( 2),由于6 的系数矩阵的转置是 tr 阶的列满秩矩阵,则由定理及等式 11121 ,0 tr AAb,由于 1tr b 的列数为1trtr,
31、所以 该矩阵不是列满秩矩阵。则 12 , tr b线性无关,所以( 2)可证。 由此定理,我们就可知 12 , tr 是线性方程组的基础解系,此时它是作为一个 整体被求出来的,这与可逆矩阵中需要一个个求有所区别。 例 4 求下面方程组的基础解系: 1234 1234 1234 220 23450 35680 xxxx xxxx xxxx . 解:因为系数矩阵 1122 2345 3568 A , 则A经过初等变换,即 112211221022 234512230101 356812230000 15 所以系数矩阵A的秩为2。左上角的2 阶子式 11 10 23 。由矩阵的秩进行分块,则令 11
32、12 2122 AA A AA ,所以 11 11 23 A,则由 1 1111 A AI可得 1 11 31 21 A.且有 12 22 45 A, 则 1 1112 312221 214501 A A.所以列满秩矩阵 1 1112 4 2 21 01 10 01 A A I 的两 个列就形成原方程组的一个基础解系。 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 线性方程组 AX, 如果 A可逆,那么它有唯一解: 1 XA. 如果 A不可逆,但 是AX有解,那么它的解是否也有类似的简洁公式表达?这需要先分析 1 A 的性 质。 如果 A可逆,那么 1 AAI, 两边同时右乘 A , 得 1 AA AA
33、8 8式表明:当 A可逆时, 1 A 是矩阵方程AXAA的一个解。因此受到启发,当A 不可逆时,为了找到 1 A 的替代物,我们应该去找矩阵方程AXAA的解。 定理11 设 A是数域 K 上的 sn 阶非零矩阵,则矩阵 方程 AXAA 9 一定有解,如果 rank Ar ,并且 0 00 r I APQ, 其中,P Q分别是 K 上的s阶、n 16 阶可逆矩阵,那么矩阵方程9 的通解为 11r IB XQP CD . 其中,C, DB分别是 数域 K 上任意的,rsrnrrnrsr 阶的矩阵。 定义 5.3.1 设 A是数域 K 上的 sn 阶矩阵,矩阵方程AXAA的每一个解都 称为 A的一个
34、广义逆矩阵,简称为 A的广义逆,记作 A 表示 A的任一广义逆。 从定义 5.3.1 得出,AA AA. 从 定 理11得 出 , 当0A时 , 设 r a n kAr, 且 0 00 r I APQ , 则 11r IB AQP CD . 从定义5.3.1 得出,任一 ns阶矩阵均为0s n的广义逆。 定理 12(非齐次线性方程组的相容性定理)非齐次线性方程组AX有解 的充分必要条件是AA. 证明:必要性。设AX有解,则AAA AAA. 充分性。令AA, 那么A就是AX的解。 定理13 (非齐次线性方程组的解的结构定理)非齐次线性方程组AX有 解时,它的通解为XA. 从定理 13 看出,所有
35、的非齐次线性方程组AX有解,则它的通解都有简洁漂亮 17 的形式: XA. 例 5 设矩阵 s t AMK , 证明: t A AI ,其中 A是列满秩矩阵。 证明:因 rankAt,则存在 t 阶、s阶的可逆矩阵,P Q, 使得 0 t I APQ , 从而 11 ,C t AQIP, 于是 111 , 0 t ttt I A AQIC P PQQ I Q I . 例 6 设矩阵 s t AMK . 证明: 若 A为行满秩矩阵, 则, 对于任意的 s m BM K , 矩阵方程 AXB都有解,即XA B. 证明:由于A 是行满秩矩阵,因此有 R As,即,sR AR A Bs ,所以 ,R
36、AR A B . 又因为,R AR A B 是矩阵方程AXB有解的充分必要条件, 所以,矩阵方程AXB有解。再由例 5 的结论得 s A A BAABI BB, 所以, XA B是 AX B的解。 例 7 设 矩 阵 s t AMK. 证 明 : 若矩阵A 是列满秩矩阵, 则对 于 任 意 的 m t BMK ,矩阵方程 XAB都有XBA的解。 证明: 由于 A是列满秩矩阵, 那么, 就有 A 为行满秩矩阵。 由 X A B, 对于 A XB , 根据例 6 及对 s t AMK 的非零矩阵,有AA这一结论,可得XBA. 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 我们都知道,行满秩矩阵与列满秩矩阵
37、在矩阵分解的应用中是经常被使用的工 具,现在我们来认识一些它在矩阵满秩分解和QR分解上的应用。 18 定理 14 A有分解式 T ARR是s阶的实对称矩阵 A是正定的充分必要条件, 其中R为 s t 阶行满秩矩阵。 证明:(充分性)因为R As,则,可知线性方程组0XR只有唯一零解。从 而对任意的s维非零的实向量,就有0R,则有 0 T TTT ARRRR, 即 A正定。 (必要性)因为 A正定,所以存在 s阶可逆矩阵 P,使得 T APP. 令 0 s t CP, 则 C 是 s t 阶的行满秩实矩阵,且0 0 T TT P CCPPPA. 定理 15 设 A是秩为 r的 m阶方阵,则 A有
38、分解式APQ是 A是幂等矩阵的 充分必要条件,其中 P 是 mr 阶列满秩矩阵,Q是 rm阶行满秩矩阵,而且 r QPE . 证明:充分性是显然可证的。下面只证必要性。 由 2 AA可知,存在 m阶的可逆矩阵B , 使得 1 0 0 000 rr r EE B ABE,所 以 1 0 0 r r E ABEB, 令 0 r E P, 1 0 r QEB, ,那么,就有APQ, P 是 m r 阶的列满秩矩阵,Q 是 r m阶行满秩矩阵 ,且 r QPE . 定理 16 设 A是秩为0r r的 m阶方阵,则 A有分解式 T ARHR是 A是对 称矩阵的充分必要条件, 其中 R是 m r 阶的列满
39、秩矩阵, H 是r阶的对称且可逆矩 阵。 证明:充分性显然得证,下面只要证明 必要性 。 依题意,存在 m 阶的可逆矩阵 B ,使得 0 T P B AB, 其中 P 是 rm的行满秩矩阵, 19 由于 T AA, 所以 0 T TT P B ABB AB, 设 000 PHT ,其中 H 是r阶方阵,所 以 0000 T HTHT , 因 此 , 有,0 T HH T, 且 R HR Ar , 进 而 , 0 00 T H B AB,所 以 11 11 0 0 000 rTT r HE ABBBH EB,令 1 0 T r REP, 所以 T ARHR, 其中 R是 m r 阶列满秩矩阵,
40、H 是r阶的对称且 可逆矩阵。 本文将行(列)满秩矩阵的性质与可逆矩阵(即满秩矩阵)进行比较,总结出 其不变的性质、定理,如左乘右乘秩不变性质、消去律、线性方程组的解的相关定 理等,再由这些性质、定理归纳出行(列)满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证 明及矩阵分解等方面的若干应用,使其不受方阵的正方性限制,而应用起来又与可 逆矩阵相差无几。从而,我们将在此基础上加以研究探索,把行(列)满秩矩阵应 用到更多更广泛的领域,为我们进行科学研究时提供更简洁、更巧妙的方法。 20 参考文献 1 李新,何传江 . 矩阵理论及其应用 M. 重庆:重庆大学出版社, 2005:142-145. 2 苏育才,姜翠波
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