(江苏专用)2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.5圆与圆的位置关系及圆的应用教案.pdf
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1、9.5圆与圆的位置关系及圆的应用 考情考向分析考查圆与圆的位置关系的判断,两圆的公共弦和圆的实际应用问题,题型以 填空题为主,有时可能出现解答题 圆与圆的位置关系 设圆O1: (xa1) 2( yb1) 2 r 2 1(r10), 圆O2:(xa2) 2( yb2) 2 r 2 2(r20). 方法 位置关系 几何法:圆心距d与r1, r2的关系 代数法:联立两圆方程 组成方程组的解的情况 外离dr1r2无解 外切dr1r2一组实数解 相交|r1r2|0), 点N为圆M上任意一点若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点,则a的最 小值为 _ 答案3 解析由题意,得圆N与圆M内切或内含
2、, 即MNON1?ON2, 又ON的最小值为OM1, 所以OM3,a 2 a3 23? a3 或a0, 因此a的最小值为3. 思维升华判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤为 (1) 确定两圆的圆心坐标和半径长 (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1r2,|r1r2|. (3) 比较d,r1r2,|r1r2| 的大小,写出结论 跟踪训练1(1) 圆x 2y24x4y 70 与圆 x 2 y 24x10y13 0 的公切线有 _ 条 答案4 解析两圆的标准方程分别为(x2) 2( y2) 21,( x2) 2( y5) 216. 两圆圆心分别为( 2,2) ,(2 , 5)
3、 两圆的圆心距d22 2 252 65,半径分别为r11,r24,则dr1r2,即两 圆外离,因此它们有4 条公切线 (2) 已知圆M:x 2 y 22ay0( a0) 截直线xy0 所得线段的长度是22,则圆M与圆N: (x1) 2( y1) 2 1 的位置关系是_ 答案相交 解析圆M:x 2( ya) 2 a 2( a0), 圆心坐标为M(0 ,a) ,半径r1为a, 圆心M到直线xy0 的距离d| a| 2 , 由几何知识得 |a| 2 2( 2) 2 a 2,解得 a2. M(0,2),r12. 又圆N的圆心为N(1,1) ,半径r21, MN1 0 2 122 2, r1r23,r1
4、r21. r1r20), 因为直线PF与圆C相切,所以 | 25 50k| 1k 2 25, 解得k 4 3( k0 舍去 ) 所以直线PF的方程为y 4 3( x50) ,即 4x3y200 0. (2) 以PG所在直线为x轴,G为坐标原点建立直角坐标系, 设直线PF的方程为yk(x50)(k0),圆C的方程为x 2 ( yr) 2 r 2( r0) 由已知得直线PE的倾斜角为 4 . 因为 tan APFtan( GPFGPA) k1 1k 31 49, 所以k 40 9 , 所以直线PF的方程为y 40 9 (x50) , 即 40x9y 20000. 因为直线PF与圆C相切,所以 |
5、9r 2000| 1600 81 r, 解得r40 或 62.5( 舍) 故该圆形标志物的半径为40m. 思维升华 (1) 利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1r2的关系 (2) 日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系, 利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决 跟踪训练3(2014江苏 )如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形 保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相 切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m 经测量,点A位于点O 正北方向6
6、0m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸 ) ,tan BCO 4 3. (1) 求新桥BC的长; (2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 解(1) 如图,过点B作BEOC于点E,过点A作AFBE于点F. ABC90,BEC90, ABFBCE, tan ABFtan BCO4 3. 设AF4x(m) ,则BF 3x(m), AOEAFEOEF90, OEAF4x(m),EFAO60(m), BE(3x60)m. tan BCO4 3, CE3 4BE 9 4x45 (m), OC 4x 9 4x45 (m), 4x9 4x45170,解得 x20. BE120m,CE90m.
7、 综上所述,BC150m. (2) 如图,设BC与M切于点Q,延长QM,CO交于点P, POMPQC90. PMOBCO. 设OMxm ,则OP 4 3xm , PM5 3xm. PC 4 3x170 m , PQ 16 15x136 m. 设M的半径为R, RMQ 16 15x136 5 3x 136 3 5x m , A,O到M上任一点的距离不少于80m , 则 ROM80, RAM80, 即 136 3 5x x80, 136 3 5x 60 x80. 解得 10x35. 当且仅当x 10 时R取到最大值 当OM10m时,保护区面积最大, 综上所述,当OM 10m时,保护区面积最大 高考
8、中与圆交汇问题的求解 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最 值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数 的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合 问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质 一、与圆有关的最值问题 例 1(1) 已知点A,B,C在圆x 2 y 21 上运动, 且 ABBC. 若点P的坐标为 (2,0),则|PA PB PC | 的最大值为 _ (2) 过点 (2,0) 引直线l与曲线y1x 2相交于 A,B两点,O为坐标原点,当A
9、OB的面 积取最大值时,直线l的斜率为 _ 答案(1)7 (2) 3 3 解析(1) A,B,C在圆x 2 y 21 上,且 ABBC,AC为圆的直径,故PA PC 2PO ( 4,0) ,设B(x,y) ,则x 2 y 2 1 且 x 1,1 ,PB (x2,y) , PA PB PC (x6,y) 故|PA PB PC | 12x37, 当x 1 时有最大值497. (2) S AOB 1 2OA OBsin AOB 1 2sin AOB1 2. 当AOB 2 时,AOB的面积最大 此时O到AB的距离d 2 2 . 设AB的方程为yk(x2)(k0 或a0) ,APO, 则APB2,PO1
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