2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教A版.pdf
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1、3.1.3 空间向量的数量积运算 学习目标1. 掌握空间向量夹角概念及表示方法.2. 掌握两个向量的数量积的概念、性质、 计算方法及运算规律.3. 掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直. 知识点一空间向量数量积的概念 思考 1 如图所示,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45, OAB60,类比平面向量有关运算,如何求向量OA 与 BC 的数量积?并总结求两个向量数 量积的方法 . 答案BC AC AB , OA BC OA AC OA AB |OA |AC |cos OA ,AC |OA |AB |cos OA ,AB 8
2、4cos 135 86cos 120 24162. 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时,可用已知夹 角和长度的向量来表示该向量,再代入计算. 思考 2 等边ABC中,AB 与BC 的夹角是多少? 答案120. 梳理(1) 定义:已知两个非零向量a,b,则 |a|b|cos a,b叫做a,b的数量积,记作 ab. (2) 数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律( a) b(ab) 交换律abba 分配律a(bc) abac (3) 空间向量的夹角 定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA a,OB b,则AOB叫做向量 a,b的夹角,记作a,
3、b. 范围:a,b 0 , . 特别地:当a,b 2 时,ab. 知识点二空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 若a,b是非零向量,则ab?ab0 若a与b同向,则ab |a| |b| ;若反向,则ab |a| |b|. 特别地,aa|a| 2 或|a| aa 若 为a,b的夹角,则cos ab |a|b| |ab| |a| |b| 类型一空间向量的数量积运算 命题角度1 空间向量的数量积基本运算 例 1 (1) 下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明. p 2 q 2( pq) 2 ; |pq| |pq| |p 2q2| ; 若a与(ab) c(ac) b均不为 0,则
4、它们垂直 . 解此命题不正确. p 2 q 2| p| 2| q| 2, 而(pq) 2(| p| |q| cosp,q) 2| p| 2| q| 2cos2 p,q , 当且仅当pq时,p 2q2( pq) 2. 此命题不正确. |p 2 q 2| |( pq) (pq)| |pq| |pq| |cos pq,pq | , 当且仅当 (pq) (pq) 时, |p 2 q 2| | pq| |pq|. 此命题正确 . a(ab) c (ac) b a(ab) ca(ac) b (ab)(ac) (ab)(ac) 0, 且a与(ab) c(ac) b均为非零向量, a与(ab) c(ac) b
5、垂直 . (2) 设 a,b120, |a| 3,|b| 4,求: ab;(3a2b) (a2b). 解ab|a|b|cos a,b , ab34cos 120 6. (3a2b) (a2b) 3|a| 24a b4|b| 23| a| 24| a|b|cos 120 4|b| 2, (3a2b) (a 2b) 39434( 1 2) 416 2724 64 61. 反思与感悟(1) 已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算. (2) 如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式 展开,再利用aa|a| 2 及数量积公式进行计算. 跟踪训练1 已知
6、a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么 |a3b| 等于 ( ) A.7 B.10 C.13 D.4 答案C 解析|a3b| 2 (a 3b) 2 a 2 6a b9b 216cos 60 9 13,|a3b| 13. 命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例 2 已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的 中点 . 试计算: (1)BC ED1 ;(2)BF AB1 ; (3)EF FC1 . 解如图,设AB a,AD b,AA1 c, 则|a| |c| 2,|b| 4,abbcca0. (1)BC ED1 b 1
7、 2( ca) b |b| 24216. (2)BF AB1 ca 1 2b (ac) |c| 2| a| 2 2222 0. (3)EF FC1 1 2 ca 1 2b 1 2b a1 2( abc) 1 2b a 1 2| a| 21 4| b| 22. 反思与感悟两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量 积为 0. 向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求: (1)(OA OB ) (CA CB ) ;(2)|OA OB OC |. 解(1)(OA OB ) (CA CB ) (OA OB ) (OA OC OB OC ) (
8、OA OB ) (OA OB 2OC ) 1 211cos 60 211cos 60 11cos 60 1 2211cos 60 1. (2)|OA OB OC | OA OB OC 2 OA 2 OB 2 OC 22 OA OB OB OC OA OC 1 212122 11cos 60 3 6. 类型二利用数量积求夹角或模 命题角度1 利用数量积求夹角 例 3 已知BB1平面ABC,且ABC是B90的等腰直角三角形,?ABB1A1、 ?BB1C1C的对 角线都分别相互垂直且相等,若ABa,求异面直线BA1与AC所成的角 . 解如图所示 . BA1 BA BB1 ,AC AB BC , BA
9、1 AC (BA BB1 ) (AB BC ) BA AB BA BC BB1 AB BB1 BC . ABBC,BB1AB,BB1BC, AB BC 0,BB1 AB 0, BB1 BC 0 且 BA AB a 2. BA1 AC a 2. 又BA1 AC |BA1 | |AC |cos BA1 ,AC , cosBA1 ,AC a 2 2a2a 1 2. 又BA1 ,AC 0 ,180 ,BA1 ,AC 120, 又异面直线所成的角是锐角或直角, 异面直线BA1与AC所成的角为60. 反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3 已知:PO、PA分别是平面 的垂线、斜线,AO是PA在
10、平面 内的射影, l? ,且lOA. 求证:lPA. 证明如图,取直线l的方向向量a,同时取向量PO ,OA . 因为lOA,所以aOA 0. 因为PO,且l? ,所以lPO, 因此aPO 0. 又因为aPA a(PO OA ) aPO aOA 0, 所以lPA. 命题角度2 利用数量积求模(或距离 ) 例 4 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA1 3,BAD90, BAA1DAA 160,求AC1的长 . 解因为AC1 AB AD AA1 , 所以AC1 2( AB AD AA1 ) 2AB2 AD 2 AA1 22( AB AD AB AA1 AD AA
11、1 ). 因为BAD90,BAA1DAA160, 所以AB ,AD 90, AB ,AA1 AD ,AA1 60, 所以AC1 21492(13cos 60 23cos 60 ) 23. 因为AC1 2| AC1 | 2,所以 | AC1 | 223,| AC1 | 23, 即AC123. 反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思 路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已 知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a| aa求解即可 . 跟踪训练4 如图, 已知线段AB平面 ,BC? ,CDBC,DF平面 ,且D
12、CF30, D与A在 的同侧,若ABBCCD2,求A,D两点间的距离. 解AD AB BC CD , |AD | 2( AB BC CD ) 2 | AB | 2| BC | 2| CD | 22AB BC 2AB CD 2BC CD 122(22cos 90 22cos 120 22cos 90 ) 8, |AD | 22,即A,D两点间的距离为22. 类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题 例 5 如图,在空间四边形OABC中,OBOC,ABAC,求证:OABC. 证明因为OBOC,ABAC,OAOA, 所以OACOAB, 所以AOCAOB. 又OA BC OA (OC OB ) OA O
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