2018版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版.pdf
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1、习题课正弦定理和余弦定理 学习目标 1. 进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2. 提高对正弦、 余 弦定理应用范围的认识.3. 初步应用正弦、 余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问 题 知识点一正弦定理及其变形 1. a sin A b sin B c sin C 2R 2a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C( 化角为边 ) 3sin A a 2R ,sin B b 2R ,sin C c 2R ( 化边为角 ) 知识点二余弦定理及其推论 1a 2b2 c 22bccos_A ,cos A b 2 c 2a2 2bc ( 边角互化 ) 2在ABC中,c
2、 2 a 2 b 2? C为直角,c 2a2 b 2? C为钝角;c 20 且 cos B0且 cos C0,则ABC为锐角三角形; 若 sin 2A sin 2B sin 2C ,则C90,ABC为直角三角形; 若 sin A sin B或 sin(AB) 0,则AB,ABC为等腰三角形; 若 sin 2Asin 2B,则AB或AB90,ABC为等腰三角形或直角三角形 跟踪训练2 在ABC中,cos A4 5,且( a2)b(c2) 123,试判断三角形的形状 解由已知设a2x,则b 2x,c 23x, 所以a2x,c 3x2, 由余弦定理得cos A 4x 2( 3x2)2( x2) 2
3、4x(3x2) 4 5. 解得x4,所以a6,b8,c10, 所以a 2 b 2 c 2,所以三角形为直角三角形 题型三有关创新型问题 例 3 已知x0,y0,且x 2 xyy 21,求 x 2 y 2 的最大值与最小值 解构造ABC,使AB1,BCx,ACy,C60, 由余弦定理知AB 2 AC 2 BC 22AC BCcos C, 1x 2 y 2 xy,即x,y满足已知条件, 由正弦定理得 x sin A y sin B 1 sin 60 23 3 . x2 3 3 sin A,y2 3 3 sin B, x 2 y 24 3(sin 2A sin 2B ) 2 3(1 cos 2 A1
4、cos 2B) 2 3(cos 2 Bcos 2A) 2 3cos(240 2A ) cos 2A 2 3( 3 2cos 2 A 3 2 sin 2A) 23 3 sin(2A60) 0A120, 602A60300, 当 2A60 90时,x 2 y 2 有最小值 23 3 . 当 2A60 270时,x 2 y 2 有最大值 23 3 . 反思与感悟解答此类题目,我们可以根据条件,构造三角形,利用正弦、余弦定理将问题 予以转化如本题中将x 2 y 2 转化为三角恒等变换及yAsin( x) 的值域的问题 跟踪训练3 已知x,y均为正实数,且x 2y23 xy,求xy的最大值 解构造ABC
5、,角A,B,C的对边分别为x,y,3,C 60,由余弦定理知x 2 y 23 xy,即x,y满足已知条件 x sin A y sin B 3 sin 60 2, x2sin A,y2sin B, xy 2(sin Asin B) 2sin Asin(120 A) 2(sin A 3 2 cos A1 2sin A) 23( 3 2 sin A 1 2cos A) 23sin(A30 ) 0A120, 当A60时,xy有最大值 23. 例 4 在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,若 ab a cos B cos A cos B ,试判断 三角形的形状 错解由已知得1 b a1 c
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