2D四杆桁架结构的有限元分析实例.pdf
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1、实例: 2D四杆桁架结构的有限元分析 学习有限元方法的一个最佳途径,就是在充分掌握基本概念的基础上亲自编写有限元分析程序,这就需要一个 良好的编程环境或平台。MATLAB软件就是这样一个平台,它以功能强大、编程逻辑直观、使用方便见长。将提 供有限元分析中主要单元完整的MATLAB 程序,并给出详细的说明。 1D杆单元的有限元分析MATLAB 程序 (Bar1D2Node) 最简单的线性杆单元的程序应该包括单元刚度矩阵、单元组装、单元应力等几个基本计算程序。下面给出编写 的线性杆单元的四个 MATLAB 函数。 Bar1D2Node _Stiffness(E,A,L) 该函数计算单元的刚度矩阵,
2、输入弹性模量E,横截面积 A和长度 L,输出单元刚度矩阵 k(2 2)。 Bar1D2Node _Assembly(KK,k,i,j) 该函数进行单元刚度矩阵的组装,输入单元刚度矩阵k,单元的节点编号 i、j,输出整体刚度矩阵 KK。 Bar1D2Node _Stress(k,u,A) 该函数计算单元的应力,输入单元刚度矩阵k、单元的位移列阵 u(2 1)以及横截面积 A计算单元应力矢量,输出 单元应力 stress 。 Bar1D2Node_Force(k,u) 该函数计算单元节点力矢量,输入单元刚度矩阵k和单元的位移列阵 u(2 1),输出2 1的单元节点力矢量 forces。 基于1D杆
3、单元的有限元分析的基本公式,写出具体实现以上每个函数的MATLAB 程序如下。 % Bar1D2Node % begin % function k=Bar1D2Node_Stiffness(E, A, L) %该函数计算单元的刚度矩阵 %输入弹性模量 E,横截面积 A和长度 L %输出单元刚度矩阵 k(2 2) %- k=E*A/L -E*A/L; -E*A/L E*A/L; % function z=Bar1D2Node_Assembly(KK,k,i,j) %该函数进行单元刚度矩阵的组装 %输入单元刚度矩阵 k,单元的节点编号 i、j %输出整体刚度矩阵 KK %- DOF(1)=i; D
4、OF(2)=j; for n1=1:2 for n2=1:2 KK(DOF(n1), DOF(n2)= KK(DOF(n1), DOF(n2)+k(n1, n2); end end z=KK; %- function stress=Bar1D2Node_Stress(k, u, A) %该函数计算单元的应力 %输入单元刚度矩阵 k, 单元的位移列阵 u(2 1) %输入横截面积 A计算单元应力矢量 %输出单元应力 stress %- stress=k*u/A; %- % function forces=Bar1D2Node_Force(k, u) %该函数计算单元节点力矢量 %输入单元刚度矩阵
5、 k和单元的位移列阵 u(2 1) %输出2 1的单元节点力分量 forces %- forces=k*u; % Bar1D2Node % end % 【四杆桁架结构的有限元分析数学推导】 如图所示的结构,各杆的弹性模量和横截面积都为E=29.54 10N/mm2, A=100mm 2,试求解该结构的节点位移、 单元应力以及支反力。 图1 四杆桁架结构 解答:对该问题进行有限元分析的过程如下。 (1) 结构的离散化与编号 对该结构进行自然离散,节点编号和单元编号如图1 所示,有关节点和单元的信息见表1表3。 表1 节点及坐标表2 单元编号及对应节点表3 各单元的长度及轴线方向余弦 节点x y
6、单元节点1 节点2 单元l xnyn 1 0 0 1 2 400 1 0 2 400 0 3 2 300 0 -1 3 400 300 1 3 500 0.8 0.6 4 0 300 4 3 400 1 0 (2)各个单元的矩阵描述 由于所分析的结构包括有斜杆,所以必须在总体坐标下对节点位移进行表达,所推导的单元刚度矩阵也要进行 变换,各单元经坐标变换后的刚度矩阵如下。 (3)建立整体刚度方程 将所得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装,可以形成整体刚度矩阵, 同时将所有节点载荷也进行组装。 刚度矩阵:K= K (1) +K(2)+K(3)+K(4) 节点位移: q = u1v1u2v2u3
7、v3u4v4 T 节点力:P=R+F= Rx1Ry12 10 4 Ry20 2.5 10 4 Rx4Ry4 T 其中(Rx1, Ry1)为节点 1处沿x和y方向的支反力, Ry2为节点2处y方向的支反力, (Rx4, Ry4) 为节点4处沿x和y方向的支反 力。 整体刚度方程为 (4) 边界条件的处理及刚度方程求解 边界条件 BC(u)为:u1=v1=v2=u4=v4=0,代入整体刚度方程中,经化简后有 对该方程进行求解,有 则所有的节点位移为 (5) 各单元应力的计算 其中 T 为坐标转换矩阵;同理,可求出其它单元的应力。 (6) 支反力的计算 将节点位移的结果代入整体刚度方程中,可求出 2
8、D杆单元的有限元分析程序(Bar2D2Node) 编写平面桁架单元的单元刚度矩阵、单元组装、单元应力的计算程序。编写的平面桁架单元的四个MATLAB 函数如下。 Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha) 该函数计算单元的刚度矩阵, 输入弹性模量 E,横截面积 A,第一个节点坐标 (x1,y1),第二个节点坐标 (x2,y2) 和角度 alpha(单位是度),输出单元刚度矩阵k(4 4)。 Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j) 该函数进行单元刚度矩阵的组装,输入单元刚度矩阵k,单元的节点编号 i、j,输出整体刚度矩阵 KK。 B
9、ar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2,y2,alpha,u) 该函数计算单元的应力,输入弹性模量E,第一个节点坐标(x1,y1),第二个节点坐标(x2,y2),角度 alpha (单位是度)和单位节点位移矢量u,返回单元应力标量。 Bar2D2Node_Forces(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha,u) 该函数计算单元的应力,输入弹性模量E,横截面积 A,第一个节点坐标( x1,y1),第二个节点坐标( x2,y2), 角度alpha(单位是度)和单元节点位移矢量u,返回单元节点力。 基于2D杆单元的基本公式,可以编写出具体实现以上每个函数的MATLAB 程序如下
10、。 % Bar2D2Node % begin % function k=Bar2D2Node_Stiffness(E, A, x1,y1, x2, y2, alpha) %该函数计算单元的刚度矩阵 %输入弹性模量 E,横截面积 A %输入第一个节点坐标( x1, y1),第二个节点坐标( x2, y2),角度 alpha(单位是度) %输出单元刚度矩阵 k(4 4) %- L=sqrt(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1); x=alpha*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); k=E*A/L*C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C
11、*S -S*S; -C*C -C*S C*C C*S; -C*S -S*S C*S S*S; % function z = Bar2D2Node_Assembly(KK, k, i, j) %该函数进行单元刚度矩阵的组装 %输入单元刚度矩阵 k,单元的节点编号 i、j %输出整体刚度矩阵 KK %- DOF(1)=2*i-1; DOF(2)=2*i; DOF(3)=2*j-1; DOF(4)=2*j; for n1=1:4 for n2=1:4 KK(DOF(n1), DOF(n2)= KK(DOF(n1), DOF(n2)+k(n1, n2); end end z=KK; %- functi
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