《空间解析几何》教学指南.pdf
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1、空间 解析几何教学指南 说明: 1课程性质 空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。 是高等数学的基石。线性代数,数学分析,微分方程,微分几何,高等几何等课程的学习都离不 开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法,把数学的基本对象与数量 关系密切联系起来,它对整个数学的发展起了很大作用。 2教学目的 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力,并为以后学习其他数学 课程作准备,也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 (1)对空间的直线和平面,对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念,对于坐 标化方法能应用自如
2、,从而达到数与形的统一; (2)能具备空间想象能力,娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力,科学 地处理中学数学的有关教学内容。 3教学内容与学时安排: 第一章 矢量与坐标 20学时 第二章 轨迹与方程 6学时 第三章 平面于空间直线 18学时 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时 第五章 二次曲线的一般理论 22学时 第六章 二次曲面的一般理论 4学时 4课程教学重点与难点: 重点:基本概念;矢量计算;做图能力; 难点:一般二次曲线、曲面理论,知识的综合应用。 5教学方法 本课程以课堂讲授为主,结合课堂提问课堂讨论进行教学,同时对适合的内容以多媒体辅 助教学。 6.
3、课程考核方法与要求: 本课程考核以笔试为主,主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度,以及 学生综合应用知识的能力。 内容: 第一章矢量与坐标(20学时) 1. 主要内容 (1)矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 (2)矢量的加法及其运算法则。 (3)数量乘矢量及其运算法则。 (4)矢量的线形运算及矢量的分解。 (5)行列式与线形方程组。 (6)标架与坐标。 (7)矢量在轴上的射影。 (8)两矢量的数性积与矢性积。 (9)三矢量混合积。 (10) 三矢量的双重矢性积。 2. 基本要求 1)正确理解矢量、单位矢量的概念,相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢
4、量的 定义。决定一个矢量的两要素(模长与方向) ,标架、坐标系、矢量及点的坐标定义。方向角与方 向余弦的定义。矢量乘法(叉积,点积,混合积,双重矢性积)的定义。矢量线形相关与矢量共 线、共面之间的关系。射影矢量与射影的定义。 2)掌握横矢量的运算律。理解矢量运算的几何意义,矢量的各种运算与重要几何性质的关系 ,矢量的分解与所在空间的维数无关,矢量代数与实数代数的异同。 3)熟练掌握矢量加、减、数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算。矢量线性相关的等 价条件,三矢量线形相关的等价条件,定比分点坐标的表示。方向角与方向余弦的计算。 4)掌握用矢量法证明三点共线与三线共点,理解三矢量的双重矢性积,
5、拉格朗日恒等式。 3. 习题解答 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形? (1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点; (2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点; (4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解: (1)单位球面;(2)单位圆 (3)直线;(4)相距为 2的两点 2. 用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分. 证明:如图 1-4,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC, BD 的交点 但 OBODOCOA OBOCOAOD BCAD OBOCBC OAODAD 由于)(OCOA,AC)(OD
6、OB,BD而AC不平行于BD, 0OBODOCOA, 从而 OA=OC,OB=OD。 3.证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点, 且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍 . 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来 . 证明:设四面体 A1A2A3A4,Ai对面重心为 Gi, 欲证 AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4). 在 AiGi上取一点 Pi,使 iiP A3 iiG P, 从而 i OP 31 3 ii OGOA , 设 Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4) ,则 G1 3 , 3 , 3 432432432 zzzyyyxxx , 图 1-4 G2
7、 3 , 3 , 3 431431431 zzzyyyxxx , G3 3 , 3 , 3 421421421 zzzyyyxxx , G4 3 , 3 , 3 321321321zzzyyyxxx , 所以 P1( 31 3 3 432 1 xxx x , 31 3 3 432 1 yyy y , 31 3 3 432 1 zzz z ) P1( 4 4321 xxxx , 4 4321 yyyy , 4 4321 zzzz ). 同理得 P2 P3P4P1,所以 AiGi交于一点 P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍 . 第二章轨迹与方程(6学时) 1. 主要内容 1)曲面方程
8、、母线平行与坐标轴的柱面方程。 2)空间曲线的方程。 2. 基本要求 1)正确理解曲面方程,点球,虚曲面,曲面的参数方程、柱面、准线、曲线的一般方程,曲 线的坐标式参数方程。 2)理解曲线方程的系数的意义,掌握二次柱面的方程,曲线的矢量式参数方程。 3)熟练掌握曲面方程的导出。母线平行于坐标轴的柱面方程,F(x,y)=0,F(x,z)=0, F(y,z)=0。空间曲线的一般方程及坐标式参数方程。 4)曲面与空间的矢量式参数方程一般理论。 3. 习题解答 1、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 (1) 1 0 22 xz zyx ;(2) 01 003323 22 zy zxyzzx
9、(3) 71023 562 zyx zyx (4) 1)1()1( 1 222 222 zyx zyx 解: (1)从方程组 1 0 22 xz zyx 分别消去变量zyx,,得: 0) 1( 22 zyz 亦即:013 22 zyz() 01xz () 01 22 xyx() ()是原曲线对yoz平面的射影柱面方程; ()是原曲线对zox平面的射影柱面方程; ()是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。 第三章平面与空间直线(18学时) 1. 主要内容 1)平面方程。 2)平面与点、平面与平面的相关位置。 3)空间直线的方程。 4)直线与平面,直线与直线,直线与点的相关位置。 5)平面束。 2.
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