三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题07平面解析几何(选择题、填空题)文(含解析).pdf
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1、专题 07 平面解析几何(选择题、填空题) 1【 2019 年高考浙江卷】渐近线方程为xy=0 的双曲线的离心率是 A 2 2 B1 C 2 D2 【答案】 C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0xy,所以ab,则 22 2caba ,所以双曲线的离 心率2 c e a . 故选 C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得ab,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双 曲线基础知识、基本计算能力的考查. 理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求. 部分考生易出 现理解性错误 . 2【 2019 年高考全国卷文数】双曲线C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线的倾
2、斜角为130,则 C的离心率为 A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 【答案】 D 【解析】由已知可得tan130 ,tan50 bb aa , 2 222 2 22 sin 50sin 50cos 501 11tan 501 cos 50cos 50cos50 cb e aa , 故选 D 【名师点睛】对于双曲线: 22 22 10 ,0 xy ab ab ,有 2 1 cb e aa ; 对于椭圆 22 22 10 xy ab ab ,有 2 1 cb e aa ,防止记混 3【 2019 年高考全国卷文数】已知椭圆C的焦点为 12 1,01,0FF()
3、,(),过F2的直线与C交于A,B两 点若 22 | 2 |AFF B, 1 | |ABBF,则C的方程为 A 2 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 【答案】 B 【解析】法一:如图,由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFnBFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 AF B中,由余弦定理推论得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 12 AF F 中,由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn,解得 3 2 n 222 242 3 ,3
4、,312 ,anabac所求椭圆方程为 22 1 32 xy ,故选 B 法二:由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFnBFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 12 AF F 和12 BF F 中,由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn , 又 2121 ,AF FBF F互补, 2121 coscos0AF FBF F,两式消去 2121 coscosAF FBF F,,得 22 3611nn,解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,312 ,anabac所求椭圆
5、 方程为 22 1 32 xy ,故选 B 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地 落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 4【 2019 年高考全国卷文数】若抛物线y 2=2px( p0)的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点,则p= A2 B3 C4 D8 【答案】 D 【解析】因为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点(,0) 2 p 是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点, 所以 2 3() 2 p pp, 解得8p,故选 D 【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养解答时,利用抛 物线与椭
6、圆有共同的焦点即可列出关于 p的方程,从而解出p, 或者利用检验排除的方法, 如2p时, 抛物线焦点为(1,0) ,椭圆焦点为( 2, 0) ,排除 A,同样可排除B,C,从而得到选D 5【 2019 年高考全国卷文数】设F为双曲线C: 22 22 1 xy ab (a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以 OF为直径的圆与圆x 2+y2=a2 交于P,Q两点若 |PQ|=|OF| ,则C的离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 【答案】 A 【解析】设PQ与x轴交于点 A,由对称性可知 PQx轴, 又|PQOFc,|, 2 c PAPA为以 OF 为直径的圆的半径, | 2 c OA, , 2
7、 2 c c P, 又P点在圆 222 xya上, 22 2 44 cc a,即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e ,故选 A 【名师点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中, 审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法, 避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强 化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c与a的关系,可求双曲线的离心率 6 【2019 年高考全国卷文数】已知F是双曲线C: 22 1 45 xy 的一个焦点, 点P在C上,O为坐标原点, 若=OP
8、OF,则OPF的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 【答案】 B 【解析】设点 00 ,P xy,则 22 00 1 45 xy 又453OPOF, 22 009xy 由得 2 0 25 9 y,即 0 5 3 y, 0 1155 3 2232 OPF SOFy , 故选 B 【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅. 设 00 ,P xy, 由 =OPOF ,再结合双曲线方程可解出 0 y ,利用三角形面积公式可求出结果. 7【 2019 年高考北京卷文数】已知双曲线 2 2 2 1 x y a (a0)的离心率是 5,则 a= A 6
9、B 4 C2 D 1 2 【答案】 D 【解析】双曲线的离心率5 c e a , 2 1ca , 2 1 5 a a ,解得 1 2 a, 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义,双曲线中a,b,c的关系,方程的数学思想等知 识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8 【 2019年 高 考 天 津 卷 文 数 】 已 知 抛 物 线 2 4yx的 焦 点 为F, 准 线 为l. 若l与 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别交于点A和点B,且| | 4 |ABOF (O为原点),则双曲 线的离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 【答案
10、】 D 【解析】抛物线 2 4yx的准线l的方程为1x, 双曲线的渐近线方程为 b yx a , 则有( 1,),( 1,) bb AB aa , 2b AB a , 2 4 b a ,2ba, 22 5 cab e aa . 故选 D. 【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度 . 解答时, 只需把4ABOF用, ,a b c表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 9【 2018 年高考全国卷文数】已知椭圆C: 22 2 1 4 xy a 的一个焦点为 (2 0), ,则C的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3 【答
11、案】 C 【解析】由题可得2c,因为 2 4b,所以 222 8abc,即2 2a , 所以椭圆C的离心率 22 22 2 e,故选 C 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是 数学运算 . 在求解的过程中,一定要注意离心率的公式,再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的 量,结合椭圆中, ,a b c的关系求得结果. 10 【2018 年高考全国卷文数】已知 1 F, 2 F 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若12 PFPF ,且 21 60PF F,则C的离心率为 A 3 1 2 B2 3 C 31 2 D 31 【答案】 D 【解析】
12、在 12 F PF 中,1221 90 ,60F PFPF F , 设 2 PFm, 则 121 22 ,3cF Fm PFm, 又由椭圆定义可知 12 2( 31)aPFPFm, 则 22 31 2( 31) ccm e aam ,故选 D 【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质,考查考生的数形结合能力、运算求解能力, 考查的数学核心素养是直观想象、数学运算 . 结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分 析,关键是寻找椭圆中a,c满足的关系式 . 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦 点三角形的周长、面积、椭圆的弦
13、长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识 点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义. 11 【2018 年高考全国卷文数】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3,则其渐近线方程为 A2yxB3yx C 2 2 yxD 3 2 yx 【答案】 A 【解析】因为3 c e a ,所以 222 2 22 13 12 bca e aa ,所以2 b a ,因为渐近线方程为 b yx a ,所以渐近线方程为2yx,故选 A 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养 是数学运算 . (1)
14、焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ,焦点坐标为( c,0) ,实轴长为 2a,虚轴长为2b,渐近线方程为 b yx a ; (2) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 22 22 1(0,0) yx ab ab , 焦点坐标为 (0 ,c) ,实轴长为 2a,虚轴长为2b,渐近线方程为 a yx b . 12 【 2018 年高考全国卷文数】直线 20xy 分别与 x 轴, y 轴交于A,B两点,点P在圆 22 (2)2xy上,则 ABP 面积的取值范围是 A 26, B 48, C23 2,D2 23 2, 【答案】 A 【解析】直线20xy分别与x
15、轴,y轴交于 A,B两点, 2,0 ,0, 2AB, 则2 2AB. 点P在圆 22 (2)2xy上, 圆心为( 2,0) ,则圆心到直线的距离 1 202 2 2 2 d. 故点P到直线20xy的距离 2 d 的范围为 2,32,则 22 1 22,6 2 ABP SAB dd . 故答案为A. 【名师点睛】本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题. 先求出A,B两点坐标得到AB,再计算圆心到直线的距离,得到点P到直线距离的范围,由面积公式计 算即可 . 13 【2018 年高考全国卷文数】已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心
16、率为 2 ,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A 2 B2 C 3 2 2 D 2 2 【答案】 D 【解析】 2 1()2 cb e aa , 1 b a ,所以双曲线C的渐近线方程为 0xy ,所以点 (4,0) 到渐近线的距离 4 2 2 1 1 d,故选 D 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式,考查考生的运算求解能力、化归与 转化能力、逻辑思维能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象. 熟记结论:若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 是等轴双曲线,则a=b,离心率e=2,渐近线方程为 y=x,且两条渐近线互相垂直. 14 【201
17、8 年高考浙江卷】双曲线 2 2 1 3 x y的焦点坐标是 A( - 2 ,0) ,( 2 ,0) B( -2,0),(2 ,0) C(0 ,- 2 ) ,(0 , 2 ) D(0 ,- 2),(0 ,2) 【答案】 B 【解析】设 2 2 1 3 x y的焦点坐标为 (,0)c ,因为 222 314cab,2c, 所以焦点坐标为 ( 2,0) ,故选 B 【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养 是数学运算 . 解答本题时, 先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴,然后根据基本量之间的关系 进行运算 . 15 【2018 年高考天津卷
18、文数】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2, 过右焦点且垂直于 x轴 的直线与双曲线交于 A,B两点设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1 d 和2 d , 且12 6dd , 则双曲线的方程为 A 22 1 39 xy B 22 1 93 xy C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 【答案】 A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为 ( ,0)(0)F cc ,则 AB xxc, 由 22 22 1 cy ab 可得 2 b y a , 不妨设 2 ( ,) b A c a , 2 (), b B c a , 双曲线的一条渐近线方程为0bxa
19、y, 据此可得 2 1 22 |bcb d ab 2 bcb c , 22 2 22 |bcbbcb d c ab , 则 12 2 26 bc ddb c ,则 3b , 2 9b , 双曲线的离心率 2 22 9 112 cb e aaa ,据此可得 2 3a ,则双曲线的方程为 22 1 39 xy 故选 A 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形,再定量,即先确定 双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值如果已知双 曲线的渐近线方程, 求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 22 22 0 xy ab
20、, 再由条件求出 的值即可 . 解答本题时,由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求 得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程. 16【 2017 年高考全国卷文数】已知F是双曲线C:1 3 2 2y x的右焦点, P是C上一点,且PF与x轴 垂直,点A的坐标是 (1 , 3) ,则APF的面积为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 2 【答案】 D 【解析】由 222 4cab得 2c , 所以 (2,0)F , 将2x代入 2 2 1 3 y x, 得 3y , 所以 3| PF , 又点A的坐标是 (1 ,3) ,故APF的面积为 13 3(21) 22 ,故选
21、D 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算,属容易题由双曲线方程得)0 ,2(F,结合PF与 x轴垂直,可得3|PF,最后由点A的坐标是 (1,3) ,计算APF的面积 17【 2017 年高考全国卷文数】设A,B是椭圆C: 22 1 3 xy m 长轴的两个端点,若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是 A(0,19,)B(0,39,) C(0,14,)D(0,34,) 【答案】 A 【解析】当0 3m 时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足 120AMB , 则t a n 6 03 a b , 即 3 3 m ,得01m; 当3m时, 焦点在 y轴上, 要使 C上存在点
22、M满足 120AMB , 则t a n 6 03 a b , 即3 3 m , 得 9m ,故m的取值范围为(0,19,), 故选 A 【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题解答问题的关键是利用条件 确定ba,的关系,求解时充分借助题设条件 120AMB 转化为360tan b a ,这是简化本题求 解过程的一个重要措施,同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论 18【 2017 年高考全国卷文数】若1a,则双曲线 2 2 2 1 x y a 的离心率的取值范围是 A( 2,)B( 2, 2) C(1, 2)D(1,2) 【答案】 C 【解析】由题意得 22 2 22
23、2 11 1 ca e aaa ,因为 1a ,所以 2 1 112 a ,则1 2e , 故选 C. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不 等式,再根据 , ,a b c的关系消掉 b得到 ,a c的关系式, 而建立关于, ,a b c的方程或不等式, 要充分利用椭 圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 19【 2017 年高考全国卷文数】过抛物线 2 :4Cyx的焦点F,且斜率为 3的直线交C于点M (M 在x的轴上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为 A 5 B2 2 C2 3D3 3 【答案】
24、 C 【解析】由题知 :3(1)MFyx , 与抛物线 2 4yx联立得 2 31030xx, 解得 12 1 ,3 3 xx, 所以(3,2 3)M,因为MNl,所以( 1,2 3)N,因为(1,0)F,所以:3(1)NFyx. 所以M到直线NF的距离为 22 |3(31)2 3 | 2 3 ( 3)1 . 故选 C. 【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用 根与系数的关系或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求 法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的 问题,
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