三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题10解三角形理(含解析).pdf
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1、专题 10 解三角形 1【 2018 年高考全国理数】在 ABC 中, 5 cos 25 C ,1BC,5AC,则AB A4 2B30 C 29 D2 5 【答案】 A 【解析】因为 2 253 cos2cos121, 255 C C 所以 2223 2cos1252 1 5324 2 5 ABBCACBC ACCAB ,则,故选 A. 【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理,结合已知条件,灵 活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 2【 2018 年高考全国理数】 ABC 的内角ABC,的对边分别为a,b,c,若 ABC 的面积为 222 4 a
2、bc ,则C A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】 C 【解析】由题可知 222 1 sin 24 ABC abc SabC ,所以 222 2sinCabcab , 由余弦定理 222 2cosabcabC,得sincosCC,因为 0,C,所以 4 C,故选 C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查考生的运算求解能 力,考查的核心素养是数学运算. 3【2017 年高考山东卷理数】在ABC中,角A,B,C的对边分别为,若ABC为锐角三角 形,且满足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC,则下列等式成立的是 AB C2ABD2BA
3、 a b c 2ab2ba 【答案】 A 【解析】由题意知sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC, 所以2sin cossincos2sinsin2BCACBAba, 故选 A. 【名师点睛】本题较为容易,关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的 正弦公式转化为含有A,B,C的式子,再用正弦定理将角转化为边,得到. 解答三角形中的问题 时,三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件,不容忽视. 4【 2019 年高考全国卷理数】ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c. 若 6,2 , 3 bac B,则 ABC的面积为 _ 【答
4、案】 6 3 【解析】由余弦定理得 222 2cosbacacB,所以 222 1 (2 )226 2 cccc,即 2 12c, 解得 2 3,2 3cc (舍去), 所以 24 3ac , 113 sin4 32 36 3. 222 ABC SacB 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题,关键是在明确 方法的基础上,准确记忆公式,细心计算本题首先应用余弦定理,建立关于 c的方程,应用,a c的关 系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式 子的变形及运算求解能力的考查 5【 2019 年高考浙江卷】在ABC中
5、,90ABC,4AB,3BC,点D在线段AC上,若 45BDC,则BD_,cosABD_ 【答案】 122 5 , 72 10 【解析】如图,在 ABD 中,由正弦定理有: sinsin ABBD ADBBAC ,而 3 4, 4 ABADB, 22 5AC =AB + BC= , 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ,所以 12 2 5 BD. 72 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC. 2ab 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思 想. 在 ABD 中应用正弦定理,
6、建立方程,进而得解. 解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征. 6 【2018 年高考浙江卷】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若 7a ,b=2,A=60,则 sin B=_,c=_ 【答案】 21 7 , 3 【解析】由正弦定理得 sin sin aA bB ,所以 221 sinsin, 37 7 B 由余弦定理得 2222 2cos,742 ,3abcbcAccc(负值舍去) . 【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转 化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 解答本题时,根据正弦定理得sinB,根据余弦定理 解
7、出c. 7 【2017 年高考浙江卷】 已知ABC,AB=AC=4,BC=2点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则BDC 的面积是 _,cosBDC=_ 【答案】 1510 , 24 【解析】取BC中点E,由题意:AEBC, ABE中, 1 cos 4 BE ABC AB , 1115 cos,sin1 4164 DBCDBC, 115 sin 22 BCD SBDBCDBC 2ABCBDC, 21 coscos22cos1 4 ABCBDCBDC, 解得 10 cos 4 BDC 或 10 cos 4 BDC (舍去) 综上可得,BCD面积为 15 2 , 10 cos 4 BDC
8、【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定 理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形, 先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组), 解方程(组)得出所要的解 8 【 2019年 高 考 全 国 卷 理 数 】ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c, 设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC (1)求A; (2)若 22abc ,求 sinC 【答案】(1)
9、 60A ; ( 2) 62 sin 4 C . 【解析】(1)由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC , 故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为 0180A ,所以 60A (2)由( 1)知 120BC , 由题设及正弦定理得2 sinsin 1202sinACC, 即 631 cossin2sin 222 CCC,可得 2 cos60 2 C 由于 0120C ,所以 2 sin60 2 C,故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin 60CC 62 4 【名师点睛】本题考查利用正弦定
10、理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三 角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角 之间的关系 . 9 【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinsin 2 AC abA (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围 【答案】(1)B=60; (2) 33 (,) 82 . 【解析】( 1)由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为 sinA0,所以sinsin 2 AC B 由 180ABC ,可得sincos 22 ACB ,故
11、cos 2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ,故 1 sin 22 B , 因此B=60 (2)由题设及( 1)知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形,故 090时,在 1 PPB中, 1 15PBPB. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置 . 由 ( 2 ) 知 , 要 使 得QA15 , 点Q只 有 位 于 点C的 右 侧 , 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当QA=15时 , 2222 1 5632 1C QQ AA C . 此时,线段QA上所有点到点O的
12、距离均不小于圆O的半径 . 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3 21时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+ 3 21. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3 21(百米) . 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x 2+y2=25. 从而A(4,3),B(- 4, -3),直线AB的斜率为 3 4 . 因为PBAB,所以直线PB的斜率为 4
13、 3 , 直线PB的方程为 425 33 yx. 所以P(- 13,9), 22 ( 134)(93)15PB . 因此道路PB的长为 15(百米) . (2)若P在D处,取线段BD上一点E(- 4,0),则EO=490时,在 1 PPB 中,1 15PBPB . 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置 . 由( 2)知,要使得QA 15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求. 当QA=15时,设Q(a,9), 由 22 (4)(93)15(4)AQaa ,得a=4 3 21,所以 Q( 43 21, 9),此时,线段 QA 上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 . 综上,当P(-13,9
14、),Q( 43 21, 9)时, d最小,此时P,Q两点间的距离 43 21( 13)173 21PQ. 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为 173 21(百米) . 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 14【 2018 年高考全国理数】在平面四边形 ABCD中,90ADC , 45A , 2AB , 5BD . (1)求cos ADB; (2)若 2 2DC ,求BC. 【答案】(1) 23 5 ; (2)5. 【解析】(1)在 ABD 中,由正弦定理得 sinsin BDAB AADB .
15、 由题设知, 52 sin45sinADB ,所以 2 sin 5 ADB . 由题设知, 90ADB , 所以 223 cos1 255 ADB. (2)由题设及( 1)知, 2 cossin 5 BDCADB . 在 BCD 中,由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 258252 2 5 25. 所以5BC. 【名师点睛】求解此类问题的突破口: 一是观察所给的四边形的特征,正确分析已知图形中的边角关系,判断是用正弦定理,还是用余弦定 理,求边角; 二是注意大边对大角,在解三角形中的应用. 15 【2017 年高考全国理数】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
16、c, 已知ABC的面积为 2 3sin a A . (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长 . 【答案】(1) 2 3 ; (2)3 33. 【解析】(1)由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ,即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A . 故 2 sinsin 3 BC. (2)由题设及( 1)得 1 coscossinsin 2 BCBC,即 1 cos() 2 BC. 所以 2 3 BC ,故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A
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- 三年 高考 2017 _2019 数学 真题分项 汇编 专题 10 三角形 解析
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