三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)..pdf
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1、1 三角函数 1同角三角函数的基本关系式:1cossin 22 tan cos sin 2诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) sin)sin(cos)cos(tan)tan( sin)sin(cos)cos(tan)tan( cos) 2 sin(sin) 2 cos(cos) 2 sin( sin) 2 cos(sin)sin(cos)cos( 3两角和与差的公式 sincoscossin)sin(sincoscossin)sin( sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos( tantan1 tantan )tan( tantan1 tantan )tan( 4倍角
2、公式cossin22sin1cos2sin21sincos2cos 2222 2 tan1 tan2 2tan 5降幂公式 2 2cos1 sin 2 2 2cos1 cos 2 2sin 2 1 cossin 6幅角公式xbxacossin)sin( 22 xba,其中 a b tan 8补充公式2sin1cossin21)cos(sin 2 , 2 cos 2 sinsin1 知识点睛 一三角函数的图象与性质 图象 2 1, 11, 1 最值 当且仅当 2 2kx时取到最大值1; 当且仅当 2 2kx时取到最小值1 当且仅当kx2时取到最大值1; 当且仅当kx2时取到最小值1 周期最小正周
3、期为2最小正周期为2 奇偶性奇函数偶函数 单调性 在 2 2, 2 2kk上单调增; 在 2 3 2, 2 2kk上单调减 在2,2kk上单调增; 在2,2kk上单调减 对称轴 2 kx;对称中心)0,(k对称轴kx;对称中心)0, 2 (k 说明:表格中的k都是属于Z,在选择“代表”的区间或点时,先尽量选择离坐标原点近的,再尽量 选择正的。 正切函数xytan的图象与性质: 定义域为, 2 |Zkkxx,值域为R 最小正周期是,在) 2 , 2 (kk上单调增 没有对称轴,对称中心为)0, 2 ( k ,奇函数 二正弦型函数)sin(xAy)0,0(A的图象 方法一:先平移变换后伸缩变换 平
4、移变换:将xysin图象向左)0(或向右)0(平移个单位,得到)sin( xy的图象; 伸缩变换:纵坐标不变,将)sin( xy图象上所有点的横坐标缩短) 1(或伸长)10(到原 来的 1 倍,得到)sin(xy的图象,此时函数周期为 2 T; 振幅变换: 横坐标不变, 将)sin(xy图象上所有点的纵坐标伸长) 1(A或缩短)10(A到原 来的A倍,得到)sin(xAy的图象,此时函数的最值分别为A、A; 方法二:先伸缩变换后平移变换 3 伸缩变换: 纵坐标不变, 将xysin图象上所有点的横坐标缩短)1(或伸长)10(到原来的 1 倍,所得函数xysin的图象,此时函数的周期为 2 T;
5、平移变换: 将xysin图象向左)0(或向右)0(平移个单位, 得到)sin(xy的图象 振幅变换:同上 解三角形 1解三角形: (1)边的关系:cba,bca,acb(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:CBA,CBA、0,0sin A,CBAsin)sin(, CBAcos)cos(, 2 cos 2 sin CBA , 2 sin 2 cos CBA ,BA 2正弦定理:R C c B b A a 2 sinsinsin ,其中R为ABC的外接圆半径 3余弦定理:在ABC中,角CBA、的对边分别为cba、,则有 余弦定理: Cabbac Baccab Abccba c
6、os2 cos2 cos2 222 222 222 ,其变式为: ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 4三角形的面积公式:BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 4 三角恒等变换 例题精讲 【例 1】考查对三角函数值“知一求二”的掌握 (1)已知是第二象限角,且 5 3 sin,则cos_ ,tan_ (2)已知是第四象限角,且 12 5 tan,则sin_,cos_ (3)已知 17 8 cos,求sin、tan的值 点评:利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求
7、二”,但要注意正负符号的确定 【例 2】已知2tan,计算: ( 1) cos4sin3 cos2sin ;(2)cossin;( 3) 2 coscossin2 1 点评: 如果根据tan的值求sin、cos的值, 则需考虑的象限, 这里把1写成 22 cossin构 造关于sin、cos的齐次式,解法干净利索 【例 3】( 1) 4 5 tan 6 25 cos 3 4 sin的值是 _ (2)已知 2 1 )cos(,则_) 2 sin( (3)若记 k)80cos( ,则 100tan_ 点评:此题主要考查诱导公式的使用,关于诱导公式希望大家牢记:互补的两个角正弦值相等,余弦值、 正切
8、值互为相反数,互余的两个角正弦值、余弦值互换。 【例 4】 (1)已知 5 4 sin,), 2 (, 13 5 cos,是第三象限角,求)cos( 5 ( 2)已知 5 3 sin,是第四象限角,求) 4 sin(、) 4 cos(、) 4 tan( ( 3)若为第二象限角,且 5 4 sin,则2tan_ 【例 5】 (1)已知 4 ,求)tan)(tan(11的值 ( 2)已知 3 2 BA,求 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan BABA 的值 点评:正切的和差角公式把)tan(、tantan、tantan联系到一块,任一项都能由另两 项表示,如)tantan)(tan(
9、tantan1 【例 6】 (1)若2008 tan1 tan1 ,则 1 tan2 cos2 ( 2)若 5 23 cossin,则 tan1 sin22sin 2 _ ( 3)设 4 0,若 2 6 cossin,则 tan1 tan1 _ 点评:在三角函数的化简与求值问题中,一要尽量减少三角函数名,二要尽量减少角的个数,这里用到 “化切为弦” ,即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦 【例 7】 (1)已知是第三象限角,且 5 3 2cos,则)2 4 tan( _ ( 2)已知是第三象限角,且 5 4 cos,则 2 tan1 2 tan1 _ 【例 8】 (1)已知 3 32 2 cos
10、 2 sin,则sin的值为 _,cos2的值为 6 ( 2)已知 8 3 cossin,且 24 ,则sincos的值为 _ 点评:此题主要考查cossin与cossin之间的关系:cossin21)sin(cos 2 【例 9】若 5 1 cossin, 求值: (1)cossin; (2) 22 cossin; (3) 33 cossin 常见题型一:给角求值 在求值过程中,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行局部变 换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系,要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。 【例 1】求值: (1)sin163 sin 223s
11、in 253 sin313_;(2) 80cos15cos25sin 10sin15sin65sin _; (3) 78sin66sin42sin6sin_;(4)50cos20sin50cos20sin 22 _ 【例 2】求值:(1) 20sin135cos 20cos _;(2) )212cos4(12sin )312tan3( 2 _; 常见题型二:给值求值 解决此类问题的关键在于角的“整体代换”,找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补 等关系,另外还要注意角的范围的讨论 【例】 (1)已知 10 2 ) 4 cos(, 4 3 2 ,则sin_; (2)已知 5 3 )
12、4 cos(, 2 3 2 ,则) 4 2cos(_; (3)已知 5 2 )tan(, 4 1 ) 4 tan(,则) 4 tan(_ 7 常见题型三:给值求角 解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值,然后根据角的范围确定角的大小,此时要注意 根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件,要尽量减小角的范围。 【例 1】若 5 5 sin, 10 10 sin,且、为锐角,求 【例 2】已知、均为锐角,且 2 1 tan, 5 1 tan, 8 1 tan,求 【例 3】已知 2 1 )tan(, 7 1 tan,、),0(,求2 三角函数的图象与性质 说明: (
13、1)伸缩变换不会改变的值,只是将x变为x; ( 2)若相同,就不用做伸缩变换,若不同,就一定要做伸缩变换;若相同,就不用做平 移变换,若不同,就一定要做平移变换; ( 2)左右平移的量要看发生在自变量x上的变化。 三复合函数BxAy)sin(的性质 最值:BA和BA; 单调性:若0A,则正向讨论,即令 2 2kx 2 2k,可求得函数的单调增区间; 若0A,则反向讨论,即令 2 2kx 2 3 2k,可求得函数的单调增区间 8 周期:最小正周期是 2 T 对称性:函数BxAxf)sin()(的图象仍然是波形,它有无数条对称轴和无数个对称中心 令1)sin( 0 x,可求得函数)(xf的所有对称
14、轴 0 xx; 令0)sin( 0 x,可求得函数)(xf的所有对称中心),( 0 Bx 【例 1】考查三角函数图象的变换 (1)由函数) 3 sin(xy的图象怎么变换到函数) 3 2 2sin( xy的图象 (2)将函数sin() 3 yx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ,再将所得的 图象向左平移 3 个单位,得到的图象的对应解析式是() A 1 sin 2 yx B 1 sin() 22 yx C 1 sin() 26 yx D sin(2) 6 yx (3)要得到) 3 2sin(xy的图象,只需将函数) 6 2sin(xy的图象() A向左平移 4 单位 B向左
15、平移 2 单位 C向右平移 4 单位D向右平移 2 单位 【例 2】考查三角函数的对称轴和对称中心 (1)函数)2sin()(xxf)0(是R上的偶函数,则的值是() A0 B 4 C 2 D (2)已知函数) 3 sin()(xxf的最小正周期为, 则函数)(xf的图象() A关于(,0) 3 对称 B关于 4 x对称 C关于(,0) 4 对称 D关于 3 x对称 (3)已知函数xxaxfcossin)(的图象关于直线 4 x成轴对称图形,则实数a_ (4)若函数)2cos(3xy的图像关于点)0, 3 4 ( 中心对称,那么的最小值为() A 6 B 4 C 3 D 2 (5)已知函数)
16、3 sin()(xxf)0(,) 3 () 6 (ff,且)(xf在区间) 3 , 6 ( 上有最小值, 无最大值,则_ 9 【例 3】考查三角函数的单调性 (1)函数) 6 2sin(2)(xxf的单调减区间是 _ (2)函数) 32 cos()( x xf的单调递增区间是_ 【例 4】已知函数 xxxxxf 22 cos2cossin3sin)(, Rx (1)求函数)(xf的最小正周期; (2)求函数)(xf的最小值,并求函数)(xf取得最小值时的x的集合; (3)求函数)(xf在区间 4 , 4 上的最小值; (4)求函数)(xf的单调增区间; (5)求函数)(xf在区间 4 , 4
17、上的单调增区间; (6)求函数)(xf的所有对称轴和对称中心; (7)函数)(xf的图象可以由函数xy2sin,Rx的图象经过怎样的变换得到; 【例 5】已知函数( )cos(2)2sin()sin() 344 f xxxx (1)求函数( )f x的最小正周期和对称轴方程;(2)求函数( )f x在区间 2 , 12 上的值域 【例 6】考查三角函数的最值求法 10 (1)设M和m分别表示函数1cos 3 1 xy的最大值和最小值,则mM _ (2)若函数 xxxfcossin3)( ,0 2 x,则( )f x的最小值为 _ (3)当 6 7 , 6 x时,函数 2 3sin2cosyxx
18、的最小值是 _,最大值是 _ (4)求函数 sin sin2 x y x 的值域 (5)求函数 2cos sin x x y的值域 (6)求函数xxxxycossincossin,, 0x的最大值和最小值 (7)函数xxysinsin的值域是 _ 点拨:三角函数的值域、最值求法 (1)bxaysin( 或bxaycos) 型:利用三角函数的有界性; (2)xbxaycossin型:利用幅角公式转化为)sin(xAy形式,再利用有界性; (3)cxbxaysinsin 2 型:配方后求二次函数的最值,应注意1sin x的约束; (4) dxc bxa y sin sin 型:分离常数,利用三角函
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