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1、1 高考明方向 1. 了解任意角的概念 2.了解弧度制的概念 ,能进行 弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 备考知考情 1. 三角函数的定义与三角恒等变换等相结合, 考查三角函数求值 问题 2. 三角函数的定义与向量等知识相结合, 考查三角函数定义 的应用 3.主要以选择题、填空题为主,属中低档题. 一、知识梳理 名师一号 P47 知识点一角的概念 (1)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合S | k 360 ,kZ. 名师一号 P47 对
2、点自测 1 、2 2 注意: 1、 名师一号 P48 问题探究问题 1、2 相等的角终边相同,终边相同的角也一定相等吗? 相等的角终边一定相同 , 但终边相同的角却不一定相 等, 终边相同的角有无数个, 它们之间 相差 360 的整数倍 角的表示形式是唯一的吗? 角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y轴的 负半轴上的角的集合可以表示为x|xk 360 90 ,k Z,也可以表示为 x|xk 360 270 ,kZ ( 补充) 2、正角 零角 负角 3、下列概念应注意区分 小于 90 的角;锐角;第一象限的角;0 90 的角 4、(1) 终边落在坐标轴上的角 1)终边落在 x 轴非负半轴上
3、的角 x|x2k ,kZ 2)终边落在 x 轴非正半轴上的角 x|x2k + ,kZ 终边落在 x 轴上的角 x|xk ,kZ 3)终边落在 y轴非负半轴上的角 x|x2k + 2,kZ 4)终边落在 y轴非正半轴上的角 x|x2k + 3 2 ,kZ 3 终边落在 y 轴上的角 x|xk + 2,kZ (2) 象限角(自己课后完成) 知识点二弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于 半径长 的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角,弧度记作rad. (2)公式:弧度与角度的换算: 360 2 弧度; 180 弧度; 弧长公式: l| |r; 扇形面积公式: S扇形1 2lr 和 1 2| |r 2
4、. 关键: 基本公式180rad 名师一号 P47 对点自测 3 注意: 1、 名师一号 P48 问题探究问题 3 在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用? 不能 在同一个式子中,采用的度量制度是一致的, 不可混用 2、弧长公式与扇形面积公式 (扇形的圆心角为弧度,半径为 r ) 4 弧长公式|lr扇形面积公式 1 2 Slr ( 补充)(将扇形视为曲边三角形,记l为底,r为高) 知识点三任意角的三角函数 (1)定义: 设 是一个任意角,它的 终边与单位圆交 于点 P(x,y),则 sin ,cos ,tan (x0) ( 补充) 1 、广义的三角函数定义 三角函数的定义 让角的顶点与原点
5、O 重合,始边与 x轴的 非负半轴重合,在角的终边上任取一点,则 角的三角函数值如下: 22 0OrPrxy 22 sin yy r xy 22 cos xx r xy tan0 y x x 特别地,当时 22 1OPrxy sinycosx tan0 y x x 2、各象限角的三角函数值符号规律: (补充) 关键: 立足定义 正弦一二正, 横为零 余弦一四正, 纵为零 5 正切一三正, 横为零,纵不存在 3、特殊角的三角函数值 (自己课后完成) 知识点三任意角的三角函数 (2)几何表示: 三角函数线可以看作是三角函数的几何表 示正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都
6、是 (1,0) 如图中有向线段MP,OM,AT 分别叫做角 的 正弦线,余弦线和正切线 名师一号 P47 对点自测 6 注意: 名师一号 P48 问题探究问题 4 如何利用三角函数线解不等式 及比较三角函数值的大小? (1)先找到“正值”区间,即02间满足条件的范围, 然后再加上周期 (2)先作出角,再作出相应的三角函数线,最后进行比较 6 大小,应注意三角函数线的有向性 也可以利用相应图象求解 二、例题分析: (一)角的表示及象限角的判定 例 1. 名师一号 P48 高频考点例 1 (1)写出终边在直线 y3x 上的角的集合; (2)已知 是第三象限角,求 2所在的象限 【思维启迪】(1)角
7、的终边是射线,应分两种情况求解 (2)把 写成集合的形式,从而 2的集合形式也确定 解:(1)当角的终边在第一象限时,角的集合为 | 2k 3,kZ, 当角的终边在第三象限时,角的集合为 | 2k 4 3 ,kZ, 故所求角的集合为 | 2k 3,kZ | 2k 4 3 ,kZ 7 | k 3,kZ (2)2k 0, cos 0, 所以 为第二象限角 (2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心 的初始位置在 (0,1),此时圆上一点 P 的位置在 (0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 (2,1)时,OP 的坐 标为_ 解: (2)如图,连接 AP,分别过 P,A
8、 作 PC, AB 垂直 x 轴于 C,B 点,过 A 作 ADPC 于 D 点, 由题意知 BP 的长为 2. 11 圆的半径为 1, BAP2. 故 DAP2 2. DPAP sin 2 2 cos2. PC1cos2 ,DAAPcos2 2 sin2. OC2sin2,故OP (2sin2,1 cos2) 注意: 名师一号 P48 高频考点例 2 规律方法 1.利用定义求三角函数值 在利用三角函数的定义求 角 的三角函数值时,若角 终边上点的坐标是以参数的 形式给出的,则要根据问题的实际及解题的需要对参数进 行分类讨论任意角的三角函数值仅与角的终边位置有 关,而与角 终边上点 P 的位置
9、无关 2三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角 的三角函数值 (sin ,cos ,tan )中任意两个的符号,可 分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角 的终边位置, 注意终边在坐标轴上的特殊情况 3与向量等问题形成的交汇问题,抓住问题的实质, 寻找相应的角度,然后通过解三角形求得解 12 练习: 若一个角 的终边在直线3yx上, 求 3 10sin cos 的值。 答案: 0 注意: 立足定义是根本! 三角函数的定义是三角函数的基础, 由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系 及各象限角的三角函数值符号等。 利用三角函数的定义解题时应 先确定点的坐标及点的位置。 (四)以三
10、角函数的定义为载体的创新问题 名师一号 P49 特色专题 三角函数的概念是考查三角函数的重要工具, 在高考 命题中很少单独考查, 但常结合三角函数的基础知识、三 角恒等变换和向量等知识综合考查,涉及的知识点较多, 且难度不大 13 【典例】如图所示,质点P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d关于时间 t 的函数 图象大致为 () ABCD 【规范解答】用 t 表示出 OP 与 x 轴正方向所成的 角,然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可 P0( 2,2), P0Ox 4. 按逆时针转时间t 后,得 POP0t
11、, POxt 4. 由三角函数定义,知点P 的纵坐标为 2sin t 4 . 因此 d2 sin t 4 . 14 令 t0,则 d2 sin 4 2,当 t 4时,d0, 故选 C. 【名师点评】解决本题的关键有以下两点: (1)结合圆周运动,准确理解题意, 根据三角函数定义,表示出d2sint 4是关键 (2)涉及函数图象判定问题, 结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径 练习:名师一号 P49 对应训练 如图,已知 l1l2,圆心在 l1上、半径为 1 m 的圆 O 在 t0 时与 l2相切于点 A, 圆 O 沿 l1以 1 m/s的速度匀速向上移动, 圆被直线 l2所截上方圆弧长记为x, 令 ycos x,则 y与时间 t(0t1,单位:s)t) 的图象大致为 () ABCD 15 解析圆半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角为 ,则 x,如图所示, cos 21t,即 cos x 21t,则 ycos x 2cos 2x 212(1t) 212(t1)21(0t1)其图象 为开口向上,在 0,1上的一段抛物线 课后作业 计时双基练 P241 基础 1-11、培优 1-4 课本 P48-49 变式思考 1、2、3;对应训练 预习 第三章第二节同角三角函数的基本关系 16
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