刚体的平面运动动力学课后答案.pdf
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1、刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式,可视为刚体的平移与转动的合成。 本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动,以及如何计算刚体上点的速度和 加速度。 一、刚体的平移(平动) 刚体在运动过程中, 如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行,则称该刚体 作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同,加速度相同,运动轨迹的形状也相同。因此研究 刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、刚体的定轴转动 刚体在运动过程中,若其上(或刚体的延展体上)有一直线保持不动,且刚体 绕此直线转动,则称该刚体作定轴转动。 (1)定轴转动刚体的运动方程: )(tf (2)定
2、轴转动刚体的角速度: )(tf (3)定轴转动刚体的角加速度: )(tf (4)定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度: rv(71) 加速度: vraaa nt (72) 其中: , 为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量, r是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中, 若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变,则称该刚体 作平面运动。 研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运 动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、 B, 过这两点的连线某一基准线的夹角为(如图 7-2) 。 当刚体运动时这个夹角将随时
3、间变化 )(t ,刚体平面运动的角速度和角加速度分别 定义为: ,(73) (74) 2、刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度,其运动方程为: )(),(),( 321 tftfytfx AA (75) 其中:A点称为基点(如图7-3 所示) 。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图 71 r P 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式,可视为刚体的平移与转动的合成。 本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动,以及如何计算刚体上点的速度和 加速度。 一、刚体的平移(平动) 刚体在运动过程中, 如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行,则称该刚体 作平移或平动。 平移刚体上各点
4、的速度相同,加速度相同,运动轨迹的形状也相同。因此研究 刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、刚体的定轴转动 刚体在运动过程中,若其上(或刚体的延展体上)有一直线保持不动,且刚体 绕此直线转动,则称该刚体作定轴转动。 (1)定轴转动刚体的运动方程: )(tf (2)定轴转动刚体的角速度: )(tf (3)定轴转动刚体的角加速度: )(tf (4)定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度: rv(71) 加速度: vraaa nt (72) 其中: , 为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量,r是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中, 若
5、其上任一点到某一固定平面的距离保持不变,则称该刚体 作平面运动。 研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运 动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、 B, 过这两点的连线某一基准线的夹角为(如图 7-2) 。 当刚体运动时这个夹角将随时间变化 )(t ,刚体平面运动的角速度和角加速度分别 定义为: ,(73) (74) 2、刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度,其运动方程为: )(),(),( 321 tftfytfx AA (75) 其中:A点称为基点(如图7-3 所示) 。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 移和绕基点转动的合成
6、,而刚体的平面平移( c ,其中c为常量)和定轴转动 图 71 r P ( , 21 cycx AA 其中 21,c c 为常量)又是刚体平面运动的特殊情况。 同一平面运动刚体, 若选取得不同的基点, 则基点的运动方程会有所不同,刚体 绕不同基点转过的角度只相差一个常量,因此刚体的角速度和角加速度与基点的选 取无关,根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义(73)式和( 74)式也可 得到这一结论。 3、平面图形上各点的速度 基点法公式 : BAAB vvv (76) 基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。 速度投影定理 :平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相
7、等,即: ABABBA vv (77) 该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。 速度瞬心法: 只要平面图形的角速度不为零,就必定存在唯一的一点,其速度 在该瞬时为零,该点称为平面图形的速度瞬心,用 v c 表示。平面图形上任一点M的 速度可表示成 M v CM rv (78) 其中: M v C r 是从速度瞬心 v c 引向 M点的矢径,为平面图形的角速度矢量。 4、平面图形上各点的加速度 基点法公式: nt BABAAB aaaa (79) 其中: )(, nt ABAB rara BABA 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速 度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要
8、平面图形的角速度和角加速度不 同时为零,则其上必存在唯一的一点,其加速度在该瞬时为零,该点称为平面图形 的加速度瞬心 ,用 a C 表示。 33 取套筒 B 为动点, OA 杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理 图 72 图 73 A B x y A B a v e v A v rea vvv 可得: lvv e 0 a 30cos , lvvv BCB 3 32 a 研究 AD 杆,应用速度投影定理有: 0 30cos DA vv , lvD 3 34 再取套筒D 为动点, BC 杆为动系,根据点的复合运动速度合成定理 rDBCD vvv 将上式在x 轴上投影有: rDBCD vvv ,
9、lvvv BCDD 3 32 r 34 AB 构件(灰色物体)作平面运动,已知A 点的速度 sAOvA/0cm45 10 AB 的速度瞬心位于C,应用速度瞬心法有: rad/s 2 3 AC vA AB BCv ABB, 设 OB 杆的角速度为,则有 rad/s 4 15 OB vB 设 P点是 AB 构件上与齿轮I 的接触点, 该点的速度: CPv ABP 齿轮 I 的角速度为: rad/s6 1 r vP I 36 AB 杆作平面运动,取A 为基点 根据基点法公式有: BAAB vvv A v B v P v C ABI B v BA v A v 将上式在AB 连线上投影,可得 0, 0
10、1B OB v 因此, 0 4 1 AB vA AB 因为 B 点作圆周运动,此时速度为零, 因此只有切向加速度(方向如图)。 根据加速度基点法公式 nt BABAAB aaaa 将上式在AB 连线上投影,可得 n0 60cos BAAB aaa , raB 2 0 5.2 2 0 1 2 3 1 BO aB BO (瞬时针) 37 齿轮 II 作平面运动,取A 为基点有 nt BABAAB aaaa nt 1BABA aaaa 将上式在x 投影有: n 1 cos BA aaa 由此求得: 2 1 2 n 2 cos 2r aa r aBA II 再将基点法公式在y 轴上投影有: 2 t 2
11、sinraa IIBA, 由此求得 2 2 sin r a II 再研究齿轮II 上的圆心,取A 为基点 ntnt 2222 AOAOAOO aaaaa 将上式在y 轴上投影有 A a B a t BA a n BA a t 2A O a n 2AO a x y n 2 O a t 2 O a 2 sin 2 tt 22 a raa IIAOO , 由此解得: )(2 sin 2121 t 2 21 rr a rr aO OO 再将基点法公式在x 轴上投影有: n 1 n 22 AOOaaa 由此解得: 2 cos 1n 2 aa aO , 又因为 2 21 n 212 )( OOO rra
12、由此可得: )(2 cos 21 1 21 rr aa OO 39 卷筒作平面运动,C 为速度瞬心,其上D 点的速度为 v,卷筒的角速度为: rR v DC v 角加速度为: rR a rR v 卷筒 O 点的速度为: rR vR RvO O 点作直线运动,其加速度为: rR aR rR Rv va OO 研究卷筒,取O 为基点,求B 点的加速度。 n 0 t BBOOB aaaa 将其分别在x,y 轴上投影 nt BOByBOOBxaaaaa 422 2 22 )(4 )( vrRa rR R aaa ByBxB 同理,取O 为基点,求C 点的加速度。 n 0 t CCOOC aaaa O
13、a n CO a O t CO a C B t BO a n BO a 将其分别在x,y 轴上投影 nt 0COCyCOOCxaaaaa 2 2 )(rR Rv aa CyC 310 图示瞬时, AB 杆瞬时平移,因此有: m/s2OAvv AB AB 杆的角速度: 0 AB 圆盘作平面运动,速度瞬心在P 点,圆盘的 的角速度为: m/s4 r vB B 圆盘上 C 点的速度为: m/s22PCv BC AB 杆上的 A、B 两点均作圆周运动,取A 为基点 根据基点法公式有 tnt BAABBB aaaaa 将上式在x 轴上投影可得: 0 t B a 因此: 2 2 n m/s8 r v aa
14、 B BB 由于任意瞬时,圆盘的角速度均为: r vB B 将其对时间求导有: r a r v BB B t , 由于 0 t B a ,所以圆盘的角加速度 0 BB 。 圆盘作平面运动,取B 为基点,根据基点法公式有: nnt CBBCBCBBC aaaaaa 22n2n m/s28)()( CBBC aaa 313 滑块 C 的速度及其加速度就是DC 杆的速度 B t BA a t B a A a n B a B C B a n BC a A v B v B P C v B v e v r v v P a a r a e a K a 和加速度。 AB 杆作平面运动,其速度瞬心为P, AB
15、杆的角速度为: rad/s1 AP vA AB 杆上 C 点的速度为: m/s2 .0PCv ABC 取 AB 杆为动系,套筒C 为动点, 根据点的复合运动速度合成定理有: rea vvv 其中: C vve ,根据几何关系可求得: m/s 15 3 ra vv AB 杆作平面运动,其A 点加速度为零, B 点加速度铅垂,由加速度基点法公式可知 ntnt BABABABAAB aaaaaa 由该式可求得 2 0 n m/s8 .0 30sin BA B a a 由于 A 点的加速度为零,AB 杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布,AB 杆中点的加速度为: 2 m/s4.05.0 BC
16、aa 再取 AB 杆为动系,套筒C 为动点, 根据复合运动加速度合成定理有: Krea aaaa 其中: aK表示科氏加速度;牵连加速度就是AB 杆上 C 点的加速度,即: 2 e m/s4 .0a 将上述公式在垂直于AB 杆的轴上投影有: K 0 e 0 a 30cos30cosaaa 科氏加速度 rK2vaAB ,由上式可求得: 2 a m/s 3 2 a 3-14 :取圆盘中心 1 O为动点,半圆盘为动系,动点的绝对运动为直线运动;相对运动为圆周运动;牵连运动为 B a t BA a n BA a C a 直线平移。 由速度合成定理有: rea vvv 速度图如图A所示。由于动系平移,所
17、以 uve , 根据速度合成定理可求出: u v vu v vvO2 sin ,3 tan e r e a 1 由于圆盘O1 在半圆盘上纯滚动,圆盘O1相对半圆盘的角速度为: r u r v2 r 由于半圆盘是平移,所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。 再研究圆盘,取 1 O为基点根据基点法公式有: 11 BOOB vvv urvv BOBx 00 30sin30sin 1 uvvv BOOBy 3230cos 0 11 uvvv ByBxB 13 22 为求 B 点的加速度,先求 1 O点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心 1 O为动点,半圆盘为动系,根据加速 度合成定理有 t r
18、n rea aaaa(a) 其加速度图如图C所示, r u rR v a 2n rn r , 将公式( a)在x和 y 轴上投影可得: sincos: cossin0: n r t ra n r t r aaay aax O 1 o A u B 1 O v 1 BO v 图 B v a v O A B u e v 1o 图 A t r a n r a O y x 图 C 1 o a a 由此求出: r u aa r u a O 2 a 2 t r 2 , 3 1 ,圆盘的角加速度为: 2 2t r 3 r u r a 下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象, 1 O为基点,应用基点法公式有
19、: nt 111 BOBOOB aaaa (b) 将( b)式分别在yx,轴上投影: 0t0n 0t0n 30cos30sin 30sin30cos 111 11 BOBOOBy BOBOBx aaaa aaa 其中: r u raBO 2 2n4 1 , r u raBO 2 t 3 1 由此可得: r u aB 2 37 315(b)取 BC 杆为动系(瞬时平移) , 套筒 A 为动点(匀速圆周运动)。 根据速度合成定理有: rea vvv 由上式可解得: rvv 3 3 30tan 0 ae 因为 BC 杆瞬时平移,所以有: rvvCD 3 3 e 315(d)取 BC 杆为动系(平面运
20、动) , 套筒 A 为动点(匀速圆周运动)。 BC 杆作平面运动,其速度瞬心为P,设其角速度为 BC 根据速度合成定理有: t 1 BO a A a O 1 o B x y n 1 BOa 图 D a v e v r v a v e v C v P r v y x BC rea vvv 根据几何关系可求出: rCPrPO 3 16 , 3 8 2 将速度合成定理公式在x,y 轴上投影 : BCyyyy BCxxx AOvvvv POvvvv 2erea 2rrea 由此解得 : rvr BC ) 2 3 3 2 (, 4 1 DC 杆的速度 rCPv BCC 3 4 3-16(b) BC 杆作
21、平面运动 ,根据基点法有: ntntnt CBCBBBCBCBBC aaaaaaaa 由于 BC 杆瞬时平移 , 0 BC ,上式可表示成: tnt CBBBC aaaa 将上式在铅垂轴上投影有: 0tn 30sin0 CBB aa 由此解得 : 2 6 1 BC 再研究套筒A,取 BC 杆为动系(平面运动) ,套筒 A 为动点(匀速圆周运动) Krea aaaaaA (a) 其中 : K a 为科氏加速度,因为 0 AB ,所以 0 K a 动点的牵连加速度为: t e n eeCCC aaaa 由于动系瞬时平移,所以 0 n eC a , ACa BCC t e 牵连加速度为 t eeCC
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