十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析).pdf
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1、专题 04 导数及其应用 历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 导数研究函数的单调性2019 年新课标1 文科 05 单选题2018 导数研究函数的切线方 程2018 年新课标1 文科 06 单选题2017 导数研究函数的单调性2017 年新课标1 文科 08 单选题2017 导数研究函数的单调性2017 年新课标1 文科 09 单选题2016 导数研究函数的单调性2016 年新课标1 文科 09 单选题2016 导数研究函数的单调性2016 年新课标1 文科 12 单选题2014 导数综合问题2014 年新课标1 文科 12 单选题2013 导数研究函数的单调性2013 年新
2、课标1 文科 09 单选题2010 导数研究函数的切线方 程2010 年新课标1 文科 04 填空题2019 导数研究函数的切线方 程2019 年新课标1 文科 13 填空题2017 导数研究函数的切线方 程2017 年新课标1 文科 14 填空题2015 导数研究函数的切线方 程2015 年新课标1 文科 14 填空题2012 导数研究函数的切线方 程2012 年新课标1 文科 13 解答题2019 导数综合问题2019 年新课标1 文科 20 解答题2018 导数综合问题2018 年新课标1 文科 21 解答题2017 导数综合问题2017 年新课标1 文科 21 解答题2016 导数综合
3、问题2016 年新课标1 文科 21 解答题2015 导数综合问题2015 年新课标1 文科 21 解答题2014 导数综合问题2014 年新课标1 文科 21 解答题2013 导数综合问题2013 年新课标1 文科 20 解答题2012 导数综合问题2012 年新课标1 文科 21 解答题2011 导数综合问题2011 年新课标1 文科 21 解答题2010 导数综合问题2010 年新课标1 文科 21 历年高考真题汇编 1 【 2019 年新课标1 文科 05】函数f(x)在 , 的图象大致为() A B C D 【解答】解:f(x),x , , f(x)f(x) , f(x)为 , 上的
4、奇函数,因此排除A; 又f(),因此排除B,C; 故选:D 2 【 2018 年新课标1 文科 06】设函数f(x)x 3+( a1)x 2+ax若 f(x)为奇函数,则曲线yf(x) 在点( 0,0)处的切线方程为() Ay 2xByxCy2xDyx 【解答】解:函数f(x)x 3+( a1)x 2+ax,若 f(x)为奇函数, 可得a1,所以函数f(x)x 3+x,可得 f(x) 3x 2+1, 曲线yf(x)在点( 0,0)处的切线的斜率为:1, 则曲线yf(x)在点( 0,0)处的切线方程为:yx 故选:D 3 【 2017 年新课标1 文科 08】函数y的部分图象大致为() A B
5、C D 【解答】解:函数y, 可知函数是奇函数,排除选项B, 当x时,f(),排除A, x 时,f( ) 0,排除D 故选:C 4 【 2017 年新课标1 文科 09】已知函数f(x)lnx+ln(2x) ,则() Af(x)在( 0, 2)单调递增 Bf(x)在( 0, 2)单调递减 Cyf(x)的图象关于直线x1 对称 Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称 【解答】解:函数f(x)lnx+ln(2x) , f(2x)ln(2x)+lnx, 即f(x)f(2x) , 即yf(x)的图象关于直线x1 对称, 故选:C 5 【 2016 年新课标1 文科 09】函数y2x 2 e | x|
6、在 2,2 的图象大致为() AB CD 【解答】解:f(x)y2x 2 e |x| , f(x) 2(x) 2 e | x| 2x 2 e |x| , 故函数为偶函数, 当x 2时,y 8e 2( 0,1) ,故排除 A,B; 当x 0 ,2 时,f(x)y 2x 2 e x, f(x) 4xe x 0 有解, 故函数y2x 2 e | x| 在0 ,2 不是单调的,故排除C, 故选:D 6 【 2016 年新课标1 文科 12】若函数f(x)xsin2x+asinx在(, +)单调递增,则a的取值范 围是() A 1,1 B 1, C, D 1, 【解答】解:函数f(x)xsin2x+as
7、inx的导数为f(x) 1cos2x+acosx, 由题意可得f(x) 0 恒成立, 即为 1cos2x+acosx 0, 即有cos 2x+acos x 0, 设t cosx( 1t 1) ,即有 54t 2 +3at0, 当t 0 时,不等式显然成立; 当 0t1 时, 3a4t, 由 4t在( 0, 1 递增,可得t 1 时,取得最大值1, 可得 3a 1,即a; 当 1t0 时, 3a 4t, 由 4t在 1,0)递增,可得t 1 时,取得最小值1, 可得 3a1,即a 综上可得a的范围是 , 另解:设tcosx( 1t1) ,即有 5 4t 2+3at 0, 由题意可得54+3a 0
8、,且 543a0, 解得a的范围是 , 故选:C 7 【 2014 年新课标1 文科 12】已知函数f(x)ax 33x2 +1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则 实数a的取值范围是() A ( 1,+)B (2,+)C (, 1)D (, 2) 【解答】解:f(x)ax 3 3x2+1, f(x) 3ax 26x3x(ax2) , f(0) 1; 当a0时,f(x) 3x 2+1 有两个零点,不成立; 当a0时,f(x)ax 33x2+1 在(, 0)上有零点,故不成立; 当a0时,f(x)ax 33x2+1 在( 0,+)上有且只有一个零点; 故f(x)ax 33x2+1 在(,
9、 0)上没有零点; 而当x时,f(x)ax 33x2+1 在(, 0)上取得最小值; 故f()3?10; 故a 2; 综上所述, 实数a的取值范围是(,2) ; 故选:D 8 【 2013 年新课标1 文科 09】函数f(x)( 1cosx)sinx在 , 的图象大致为() A B C D 【解答】解:由题意可知:f(x)( 1cosx)sin (x)f(x) , 故函数f(x)为奇函数,故可排除B, 又因为当x( 0,)时, 1cosx 0,sinx0, 故f(x) 0,可排除A, 又f(x)( 1cosx) sinx+(1cosx) (sinx) sin 2x+cosxcos2xcos x
10、cos2x, 故可得f( 0) 0,可排除D, 故选:C 9 【 2010 年新课标1 文科 04】曲线yx 32x+1 在点( 1,0)处的切线方程为( ) Ayx1 Byx+1 Cy2x2 Dy 2x+2 【解答】解:验证知,点(1,0)在曲线上 yx 32x+1, y 3x 22,所以 ky |x11,得切线的斜率为1,所以k 1; 所以曲线yf(x)在点( 1, 0)处的切线方程为: y01(x1) ,即yx 1 故选:A 10 【2019 年新课标1 文科 13】曲线y3(x 2+x) e x 在点( 0,0)处的切线方程为 【解答】解:y3(x 2+x)ex, y 3e x( x
11、2+3x+1) , 当x0时,y 3, y3(x 2+x) e x 在点( 0,0)处的切线斜率k3, 切线方程为:y3x 故答案为:y3x 11 【2017 年新课标1 文科 14】曲线yx 2 在点( 1,2)处的切线方程为 【解答】解:曲线yx 2 ,可得y 2x, 切线的斜率为:k211 切线方程为:y2x1,即:xy+10 故答案为:xy+10 12 【2015 年新课标1 文科 14】已知函数f(x)ax 3+x+1 的图象在点( 1, f(1) )处的切线过点(2,7) , 则a 【解答】解:函数f(x)ax 3+x+1 的导数为: f(x) 3ax 2+1, f( 1) 3a+
12、1,而f( 1)a+2, 切线方程为:ya2( 3a+1) (x1) ,因为切线方程经过(2,7) , 所以 7a2( 3a+1) (21) , 解得a1 故答案为: 1 13 【2012 年新课标1 文科 13】曲线yx(3lnx+1)在点( 1,1)处的切线方程为 【解答】解:求导函数,可得y 3lnx+4, 当x 1 时,y 4, 曲线yx( 3lnx+1)在点( 1,1)处的切线方程为y14(x1) ,即y 4x3 故答案为:y4x3 14 【2019 年新课标1 文科 20】已知函数f(x) 2sinxxcosxx,f(x)为f(x)的导数 (1)证明:f(x)在区间( 0, )存在
13、唯一零点; (2)若x0 , 时,f(x)ax,求a的取值范围 【解答】解: (1)证明:f(x) 2sinxxcosxx, f(x) 2cosxcosx+xsinx1 cosx+xsinx1, 令g(x) cosx+xsinx1, 则g(x) sinx+sinx+xcosx xcosx, 当x( 0,)时,xcosx 0, 当x时,xcosx0, 当x时,极大值为g()0, 又g( 0) 0,g() 2, g(x)在( 0,)上有唯一零点, 即f(x)在( 0, )上有唯一零点; (2)由( 1)知,f(x)在( 0,)上有唯一零点x0, 使得f(x0) 0, 且f(x)在( 0,x0)为正
14、, 在(x0,)为负, f(x)在 0 ,x0 递增,在 x0, 递减, 结合f(0) 0,f() 0, 可知f(x)在 0 , 上非负, 令h(x)ax, 作出图示, f(x)h(x) ,a0, a的取值范围是(,0 15 【2018 年新课标1 文科 21】已知函数f(x)ae x lnx1 (1)设x2 是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a时,f(x) 0 【解答】解: (1)函数f(x)ae x lnx1 x0,f(x)ae x , x2 是f(x)的极值点, f( 2)ae 2 0,解得a, f(x)e x lnx1,f(x), 当 0x2 时,f(x
15、) 0,当x2 时,f(x) 0, f(x)在( 0,2)单调递减,在(2,+)单调递增 (2)证明:当a时,f(x)lnx1, 设g(x)lnx1,则, 由0,得x 1, 当 0x1 时,g(x) 0, 当x 1 时,g(x) 0, x1 是g(x)的最小值点, 故当x0时,g(x)g(1) 0, 当a时,f(x) 0 16 【2017 年新课标1 文科 21】已知函数f(x)e x( e x a)a 2x (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x) 0,求a的取值范围 【解答】解: (1)f(x)e x(ex a)a 2x e 2x e xa a 2x, f(x) 2e 2x ae x
16、 a 2( 2ex+a) ( e x a) , 当a0时,f(x) 0 恒成立, f(x)在 R上单调递增, 当a0时, 2e x+a 0,令f(x) 0,解得xlna, 当xlna时,f(x) 0,函数f(x)单调递减, 当xlna时,f(x) 0,函数f(x)单调递增, 当a0时,e x a 0,令f(x) 0,解得xln() , 当xln()时,f(x) 0,函数f(x)单调递减, 当xln()时,f(x) 0,函数f(x)单调递增, 综上所述,当a0 时,f(x)在 R上单调递增, 当a 0 时,f(x)在(,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增, 当a 0 时,f(x)在(
17、,ln() )上单调递减,在(ln() ,+)上单调递增, (2)当a 0 时,f(x)e 2x 0 恒成立, 当a0时,由( 1)可得f(x)minf(lna)a 2 lna 0, lna0, 0a1, 当a0时,由( 1)可得: f(x)minf(ln() )a 2ln () 0, ln(), 2a0, 综上所述a的取值范围为 2, 1 17 【2016 年新课标1 文科 21】已知函数f(x)(x2)e x+a(x1)2 ()讨论f(x)的单调性; ()若f(x)有两个零点,求a的取值范围 【解答】解: ()由f(x)(x2)e x+a(x 1)2, 可得f(x)(x 1)e x+2a(
18、 x1)(x1) (e x+2a) , 当a0时,由f(x) 0,可得x1;由f(x) 0,可得x1, 即有f(x)在(,1)递减;在( 1,+)递增(如右上图) ; 当a0时, (如右下图)若a,则f(x) 0 恒成立,即有f(x)在 R上递增; 若a时,由f(x) 0,可得x1 或xln( 2a) ; 由f(x) 0,可得 1xln( 2a) 即有f(x)在(,1) , (ln( 2a) ,+)递增; 在( 1,ln( 2a) )递减; 若a0,由f(x) 0,可得xln( 2a)或x1; 由f(x) 0,可得ln( 2a)x1 即有f(x)在(,ln( 2a) ) , ( 1,+)递增;
19、 在(ln( 2a) ,1)递减; ()由()可得当a0 时, f(x)在(,1)递减;在(1,+)递增, 且f(1)e0,x+,f(x) +; 当x时f(x) 0 或找到一个x1 使得f(x) 0 对于a0 恒成立, f(x)有两个零点; 当a0时,f(x)(x2)e x,所以 f(x)只有一个零点x2; 当a0时, 若a时,f(x)在( 1,ln( 2a) )递减, 在(, 1) , (ln( 2a) ,+)递增, 又当x1时,f(x) 0,所以f(x)不存在两个零点; 当a时,在(,ln( 2a) )单调增,在(1,+)单调增, 在( 1n( 2a) ,1)单调减, 只有f(ln( 2a
20、) )等于 0 才有两个零点, 而当x1时,f(x) 0,所以只有一个零点不符题意 综上可得,f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,+) 18 【2015 年新课标1 文科 21】设函数f(x)e 2x alnx ()讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数; ()证明:当a0 时,f(x) 2a+aln 【解答】解: ()f(x)e 2xalnx 的定义域为( 0,+) , f(x) 2e 2x 当a 0 时,f(x) 0 恒成立,故f(x)没有零点, 当a 0 时,ye 2x 为单调递增,y单调递增, f(x)在( 0,+)单调递增, 又f(a) 0, 假设存在b满足 0bln时,且b,
21、f(b) 0, 故当a0时,导函数f(x)存在唯一的零点, ()由()知,可设导函数f(x)在( 0,+)上的唯一零点为x0, 当x( 0,x0)时,f(x) 0, 当x(x0, +)时,f(x) 0, 故f(x)在( 0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增, 所欲当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0) , 由于0, 所以f(x0)2ax0+aln2a+aln 故当a0时,f(x) 2a+aln 19 【2014 年新课标1文科 21】设函数f(x)alnxx 2bx(a 1) ,曲线 yf(x)在点( 1,f(1) ) 处的切线斜率为0, (1)求b; (2)若存在x01,使
22、得f(x0),求a的取值范围 【解答】解: (1)f(x)(x0) , 曲线yf(x)在点( 1,f(1) )处的切线斜率为0, f( 1)a+( 1a) 1b 0,解得b 1 (2)函数f(x)的定义域为(0,+) ,由( 1)可知:f(x)alnx, 当a时,则, 则当x1时,f(x) 0, 函数f(x)在( 1, +)单调递增, 存在x01,使得f(x0)的充要条件是,即, 解得; 当a1 时,则, 则当x时,f(x) 0,函数f(x)在上单调递减; 当x时,f(x) 0,函数f(x)在上单调递增 存在x01,使得f(x0)的充要条件是, 而,不符合题意,应舍去 若a1时,f( 1),成
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- 十年 2010 _2019 高考 数学 分类 汇编 专题 04 导数 及其 应用文 解析
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