实数大小比较的常用方法..pdf
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1、实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间: 2012 年 11 月 23 日 浏览: 53 次 顿悟教育数学培优训练营来自 :顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难。“实数”是初中数学 的重要内容之一,也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识,本讲介绍几 种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a,b 为任意两个实数,先求出a 与 b 的差, 再根据当ab 0 时,得到 ab。当 ab0 时,得到 ab。当 ab0,得到 a=b。 例 1:( 1)比较与的大小。(2)比较 1与 1的大小。 解 0 , 。 解 ( 1
2、)( 1)=0 , 11。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a,b 为任意两个正实数,先求出 a 与 b 得商。 当1 时, ab;当1 时, ab;当=1 时, a=b。来比较 a 与 b 的大小。 例 2:比较与的大小。 解:=1 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a,b 为任意两个正实数,先分别求出a 与 b 的倒数, 再根据当时, ab。来比较a 与 b 的大小。 例 3:比较与的大小。 解=+,=+ 又+ 四【平方法】 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a0,b0 时,可由得到 ab 来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。 例 5:比较与的大小 解:,
3、=8+2。 又8+28+2。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a,b 为任意两个正实数,先估算出a,b 两数或两数中某部分的取 值范围,再进行比较。 例 4:比较与的大小 解: 34 31 六【移动因式法】(穿墙术) 移动因式法的基本是思路是,当a0,b 0,若要比较形如a的大小,可先把根 号外的因数a 与 c 平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。 例 6:比较 2与 3的大小 解:2=,3=。 又28 27, 23。 七【取特值验证法】 比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。 例 7:当时,的大小顺序是_。 解:(特殊值法)取=,则:=,=2。 2,。 例(常德市)设a2
4、 0,b( 3)2,c ,d,则 a、b、c、d 按由小到大的顺 序排列正确的是() A.c ad b B.b dac C.a cd b D.b cad 分析可以分别求出a、 b、c、d 的具体值,从而可以比较大小. 解因为 a2 01,b( 3)2 9,c ,d2,而12 9, 所以 c adb. 故应选 A. 除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等 比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人 满意的结果。 比较实数大小的八种方法 张德军 生活中, 我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与
5、前年的国 民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实 数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值 大的反而小。 例 1 比较与 5的大小。 析解:由于 5|5| ,| ,且 5,所以5 。 说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它 转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、 b有:baba 22 。 例 2 比较73与37的大小。 析解:由于 147)37( ,63)73( 2
6、2 ,而 14763 ,所以 3773 。 说明: 本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目 的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上, 右边的点表示的数总比左边的点 表示的数大。 例 3 若有理数a、b、c 对应的点在数轴上的位置如图1 所示,试比较a、 a、 b、 b、c、 c 的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、 a、b、 b、c、 c 表示的点画 出来,容易得到结论: . cbaabc 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是:对任意
7、两个正实数a、b,先估算出a、 b两数 的取值范围,再进行比较。 例 4 比较5 3512 与3 3 的大小。 析解:由于 8. 13 ,故 6.0 3 3 , 6.08.14. 234. 2 5 3512 ,所以 . 3 3 5 3512 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是:对任意正实数a、b 有: . ba b 1 a 1 例 5 比较 20072008 与 20062007 的大小 析解:因为 20072008 20072008 1 , ,20062007 20062007 1 又因为 2006200720072008 , 所以 , 20062007 1 20072008 1 所
8、以.2006200720072008 说明:对于两个形如nkn( 0k,0n ,且 k 是常数)的实数,常采用倒数法来 比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是:对任意实数a、b 有: ;ba0ba;ba0ba .ba0ba 例 6 比较 2008 2007 与 2008 2008 11112008 11112007 的大小。 析解:设 2008 1111c,2008b,2007a , 则 b a cb ca 2008 2007 11112008 11112007 2008 2008 ,0 )cb(b )ab(c ) cb(b acabbcab 所以 . 2008 2007
9、 11112008 11112007 2008 2008 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是:对任意正数a、 b有: ; ba1 b a ; ba1 b a . ba1 b a 例 7 比较12008 12008 222 111 与12008 12008 333 222 的大小。 析解:设12008 12008 n, 12008 12008 m 333 222 222 111 , 111 2008a,则,2008a,2008a 33332222 , nm , 1 1a2a 1aaa n m , 1a2a1aaa ,a2aa ,0)1a(aa2aa , 1a2a 1aaa 1a 1a 1
10、a 1a n m , 1a 1a n, 1a 1a m 24 34 434 23 223 24 34 2 3 2 3 2 2 即 . 12008 12008 12008 12008 333 222 222 111 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩 小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。 例 8 比较 10000 1 3 1 2 1 1 与 198 的大小。 析解:由于 , n2 1 n1n 1 n1n 所以 ).n1n(2 n 1 取 n 2,3,410000 代入上式,并将所得的不等式相加得: ),1000010001
11、3423(2 10000 1 3 1 2 1 即 ,197)5. 1100(2)210001(2 10000 1 3 1 2 1 所以 .198 10000 1 3 1 2 1 1 两个实数大小的比较,方法多种多样, 在实际操作时, 根据要比较的数的特点来选择适当 的方法进行比较,才能方便快捷地取得准确的结果。 编辑本段1.数轴比较法 数轴的基本性质:实数与数轴上的点一一对应。 利用这条性质,将实数的大小关系转化为点的位置关系。 设数轴的正方向指向右方,则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数 要大。 如图,点A 表示数a,点 B 表示数b。因为点A 在点 B 的右边,所以数a 大于数
12、b,即 ab. 数轴 编辑本段2.作差比较法 若 a-b0 ,则ab; 若 a-b=0 ,则a=b; 若 a-b0,有 若 a/b1 ,则ab; 若 a/b=1 ,则a=b; 若 a/b1, 则 ab 编辑本段4.倒数比较法 若 ab0 ,则 1/a1/b ; 若 a0,b0时,如果 ab,那么。也就是说, 两个正数, 较大的正数的算术平方根也较大,其立方根也较大。反之也成立。 例 1、比较大小:( 1);(2)。 解析:若要比较形如的两数的大小,可先把根号外的因数a 与 c 移入 根号内,再根据被开方数的大小进行比较。 (1)因为,且,所以,因 此,。 (2)因为,且,所以,所 以。因此,。
13、 二、添加根号法 若 a0,则。在比较一个有理数和一个无理数的大小时,常选用此式。 例 2、比较的大小。 解析:因为,又因为,于是,即。 三、乘方法(平方法或立方法) 如果 a0,b0,若,那么 ab;若,那么 ab。 例 3、比较大小:( 1);(2)。 解析:( 1)因为,而 12b;当时,得到 ab;当时,a=b。 例 6、比较的大小。 解析:因为,所以。 七、放缩法(中间值法) 如果 a0,则 ab0,所以,为正数。所以。 十二、根式定义法 该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。 例 12、比较的大小。 解析:根据平方根的定义可知。所以,故。而 。 十三、倒数法 倒数法的基本思路是,
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