小升初衔接——20、二元一次方程组的应用..pdf
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1、中国领先的教育品牌 1 聚能教育学科教师辅导讲义 学员编号:年级:课 时 数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师:陈芳芳 授课主题小升初衔接二元一次方程组的应用 教学目标 学会利用列二元一次方程组解决各类实际问题。 授课日期及时段2016年 5 月 10 日 教学内容 1、若 2, 1 x y 是二元一次方程组 3 5, 2 2 axby axby 的解,求 a2b 的值 2、已知 |a2b9|(3ab+1)20,求 a,b 的值 3、已知某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑,其价格分别为A 型每台 6 000 元,B 型 每台 4 000 元,C 型每台 2 500 元某市东坡
2、中学计划将100 500 元钱全部用于从该公司购进其中两种 不同型号的电脑共 36 台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由 小升初衔接二元一次方程组的应用 课前热身 中国领先的教育品牌 2 知识点一:列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系 起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方 程两边表示的是同类量; (2)同类量的单位要统一; (3)方程两边的数值要相等 . 知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题: (1)追击问题:追击问题是
3、行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画 线 段 ,用 图 便 于 理 解 与 分 析 。 其 等 量 关 系 式 是 : 两 者 的 行 程 差 开 始 时 两 者 相 距 的 路 程 ; ; (2)相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。 这类问题也比较直观, 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和总路程。 (3)航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度; 船在静水中的速度水速船的逆水速度; 顺水速度逆水速度 2水速。 注意: 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类
4、 似。 2工程问题: 工作效率工作时间 =工作量 . 3商品销售利润问题: (1)利润售价成本 (进价);(2);(3)利润成本(进价)利润率; 标价成本 (进价)(1利润率 );(5)实际售价标价打折率; 注意: “商品利润售价成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标 价的十分之几或百分之几十销售。 (例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十) 4储蓄问题: (1)基本概念 本金:顾客存入银行的钱叫做本金。利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和:本金与利息的和叫做本息和。期数:存入银行的时间叫做期数。 利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税:利
5、息的税款叫做利息税。 知识梳理 中国领先的教育品牌 3 (2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数 ) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息(1利息税率 ) 年利率月利率 12 。 注意: 免税利息 =利息 5配套问题: 解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 6增长率问题: 解这类问题的基本等量关系式是:原量(1增长率 )增长后的量; 原量 (1减少率 )减少后的量 . 7和差倍分问题: 解这类问题的基本等量关系是:较大量较小量多余量,总量倍数倍量. 8数字问题: 解决这类问题,首先要正确掌握自然数
6、、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整数 时,奇数可表示为2n+1(或 2n-1),偶数可表示为2n 等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十 位数字10+个位数字 9浓度问题: 溶液质量浓度 =溶质质量 . 10几何问题: 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11年龄问题: 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会 变的 12优化方案问题: 在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅 行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。 注意: 方案选择题的题目较长,有时方案不止
7、一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方 案。 知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤: 1审题 :弄清题意及题目中的数量关系;2设未知数 :可直接设元,也可间接设元; 3找出题目中的等量关系;4列出方程组 :根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并 组成方程组; 5解所列的方程组,并检验解的正确性;6写出答案 . 中国领先的教育品牌 4 要点诠释: (1)解实际应用问题必须写“答” ,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是 否合理,不符合题意的解应该舍去; (2)“设” 、 “答”两步,都要写清单位名
8、称; (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系;审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;注意 用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不 要带单位;正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条 件; 列方程组解应用题一定要注意检验。 例 1甲、乙两地相距160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1 小时 20 分相 遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小 时后追
9、上了拖拉机 . 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 思路点拨: 画直线型示意图理解题意: (1) 这里有两个未知数:汽车的行程;拖拉机的行程. (2) 有两个等量关系: 相向而行:汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米; 同向而行:汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 . 解:设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米. 根据题意,列方程组解这个方程组,得 : 例题选讲 中国领先的教育品牌 5 . 答:汽车行驶了 165 千米,拖拉机行驶了85 千米. 总结升华: 根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的 常用的解决策略。 【变式
10、 1】甲、乙两人相距36 千米,相向而行,如果甲比乙先走2 小时,那么他们在乙出发2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走2 小时,那么他们在甲出发3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少 千米? 【变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用 20 小时,求船在静水 中的速度和水流速度。 类型二:列二元一次方程组解决工程问题 例 2 一家商店要进行装修, 若请甲、乙两个装修组同时施工, 8 天可以完成,需付两组费用共 3520 元;若先请甲组单独做6 天,再请乙组单独做12 天可完成,需付两组费用共3480元,问: (1) 甲、乙 两组工作一天,商店应各付多少元?(2
11、) 已知甲组单独做需12 天完成,乙组单独做需24 天完成,单独 请哪组,商店所付费用最少? 思路点拨: 本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:若请甲、乙两个装修组同时施工, 8 天可以完成,需付两组费用共3520 元;第二层含义:若先请甲组单独做6 天,再请乙组单独做12 天可完成,需付两组费用共 3480 元。设甲组单独做一天商店应付x 元,乙组单独做一天商店应付y 元, 由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480. 解:(1) 设甲组单独做一天商店应付x 元,乙组单独做一天商店应付y 元,依题意得: 解得 中国领先的教育品牌 6 答:甲
12、组单独做一天商店应付300 元,乙组单独做一天商店应付140 元。 (2) 单独请甲组做,需付款300123600 元,单独请乙组做,需付款241403360 元, 故请乙组单独做费用最少。 答:请乙组单独做费用最少。 总结升华: 工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工 作总量设为 1,也可设为 a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分 析。 【变式】 小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱 5.2 万元;若 甲公司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需9 周完成,需工钱 4.8 万元. 若只选一个
13、公司单独完 成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题 例 3有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利 46 元。价格调整 后,甲商品的利润率为4% ,乙商品的利润率为5% ,共可获利 44 元,则两件商品的进价分别是多少元? 思路点拨 :做此题的关键要知道 :利润进价利润率 解:甲商品的进价为x 元,乙商品的进价为y 元,由题意得: ,解得: 答:两件商品的进价分别为600 元和 400 元。 【变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000
14、元, 其中甲种蔬菜每亩获利2000 元,乙种蔬菜每亩获利1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多 少亩? 【变式 2】某商场用 36万元购进 A、B两种商品,销售完后共获利6 万元,其进价和售价如下表: A B 中国领先的教育品牌 7 进价(元 / 件)1200 1000 售价(元 / 件)1380 1200 (注:获利 = 售价 进价)求该商场购进A、B两种商品各多少件; 类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题 例 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱, 一种是年利率为 2.25 的教育储蓄,另一种是年利率为2.25 的一年定期存款,一
15、年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税利息金额20% ,教育储蓄没有利息所得税) 思路点拨:设教育储蓄存了x 元,一年定期存了y 元,我们可以根据题意可列出表格: 解:设存一年教育储蓄的钱为x 元,存一年定期存款的钱为y 元,则列方程: ,解得: 答:存教育储蓄的钱为1500 元,存一年定期的钱为500 元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出 其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮 现出来. 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和 1000元,一年
16、后全部取出,扣除利息所得税可得 利息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民 应缴利息所得税 =利息金额 20% ) 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱. 第一 中国领先的教育品牌 8 种,一年期整存整取, 共反复存了 3 次,每次存款数都相同, 这种存款银行利率为年息2.25%;第二种, 三年期整存整取, 这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75 元( 不计利息税 ),问 小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题 例
17、 5某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 ( 不考虑布料的损耗 ),应分别用多少布料才能使做的衣身 和衣袖恰好配套? 思路点拨: 本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为132米;第二个相 等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍( 注意:别把 2 倍的关系写反了 ). 解:设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得: 答:用 60 米布料做衣身,用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 总结升华: 生产中
18、的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配 套、衣身与衣袖的配套等 . 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关 系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键. 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一 个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子? 【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓 14个或螺母 20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母
19、刚好配套。 中国领先的教育品牌 9 【变式 3】 一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成,如果 1 立方米木料可以做桌面50 个,或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和 桌腿,恰好配成方桌?能配多少张方桌? 类型六:列二元一次方程组解决增长率问题 例 6. 某工厂去年的利润(总产值总支出)为200 万元,今年总产值比去年增加了20% ,总支出 比去年减少了 10% ,今年的利润为 780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元? 思路点拨 :设去年的总产值为x 万元,总支出为 y 万元,则有 总产值(万元)总支出(万元)利润
20、(万元) 去年x y 200 今年120%x 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量,可以列 出两个等式。 解:设去年的总产值为x 万元,总支出为 y 万元,根据题意得: ,解之得: 答:去年的总产值为2000 万元,总支出为 1800 万元 总结升华: 当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析。 【变式 1】若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元? 【变式 2】某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加 1.1%,这样全市人 口增加 1% ,求这个城市的城镇人口与农村人口。 中国领先的教育品牌
21、 1 0 类型七:列二元一次方程组解决和差倍分问题 例 7. (2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷 共 9 千顶,现某地震灾区急需帐篷14 千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此,全体职工加班 加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6 倍、1.5 倍,恰好 按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千 顶? 思路点拨: 找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后, 倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组。 解:设原
22、计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶, “温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶,由题意得: , 解得: 所以: 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6 答:“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶, “温暖”帐篷厂生产帐篷6 千顶. 【变式 1】 (2011 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提 出的一项倡议 号召个人、 社区、企业和政府在每年3 月最后一个星期六20 时 30分21 时 30 分熄灯 一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活中国内 地去年和今年共有 119 个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年
23、的3 倍少 13 个,问 中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动 【变式 2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝 色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍,你知道男孩与女孩各有多 少人吗? 类型八:列二元一次方程组解决数字问题 例 8. 两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在 较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数。 思路点拨 :设较大的两位数为x,较小的两位数为y。 问题 1:在较大的两位数的右边写
24、上较小的两位数,所写的数可表示为:100xy 中国领先的教育品牌 1 1 问题 2:在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为: 100y x 解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y。依题意可得: ,解得: 答:这两个两位数分别为45,23. 【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的3 倍,结果是 23;这个两位数除以它的各位数 字之和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少? 【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字 交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数? 【变式 3】某三位数,中间数字为0,其余两个数
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