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1、第1页(共 19页) 2016 年 07 月 22 日相似三角形与解直角三角形试题 一选择题(共12 小题) 1 (2016?南海区校级模拟)两个相似三角形的对应边分别是15cm 和 23cm,它们的周长相 差 40cm,则这两个三角形的周长分别是() A75cm,115cm B 60cm,100cm C 85cm,125cm D45cm, 85cm 2 (2016?新都区模拟) 将一个三角形改成与它相似的三角形,如果面积扩大为原来的9 倍, 那么周长扩大为原来的() A9 倍 B3 倍C81 倍 D18 倍 3 ( 2015?江都市一模)如图,ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 ABC
2、 DBA ,则下列 结论一定正确的是() AAB 2=BC?BD BAB2=AC ?BD C AB?AD=BC ?BD DAB ?AC=AD ?BC 4 ( 2015?祁阳县三模)如图,河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:,堤高 BC=10m ,则 坡面 AB 的长度是( A15m B20m C20m D10m 5 (2015 秋?北塘区期中) 如图, RtABC 中,C=90 ,D 是 AC 边上一点, AB=5 ,AC=4 , 若 ABC BDC ,则 CD=() A2 BCD 6 ( 2012?新营区校级模拟)如图,已知ADE 与ABC 的相似比为1:2,则 ADE 与四 边形 DBCE
3、的面积比为() 第2页(共 19页) A1:2 B1: 4 C1:3 D4:1 7 (2015 秋?黄浦区期中) 如图, ABC= CDB=90 ,BC=3 ,AC=5 ,如果 ABC 与CDB 相似,那么BD 的长() ABCD或 8 ( 2016?东营)如图,在平面直角坐标系中,已知点A( 3,6) ,B( 9, 3) ,以原 点 O 为位似中心,相似比为,把 ABO 缩小,则点A 的对应点A 的坐标是() A ( 1,2)B ( 9,18)C ( 9,18)或( 9, 18)D ( 1,2)或( 1, 2) 9 ( 2016?承德模拟)如图,把COD 扩大后得到 AOB ,若点 C,D,
4、B 的坐标分别为C (1,2) ,D(2,0) ,B(5,0) 则点 A 的坐标为() A (2,5)B (2.5,5) C ( 2,5)D (3,6) 10 (2015?咸宁)如图,以点O 为位似中心,将ABC 放大得到 DEF若 AD=OA ,则 ABC 与DEF 的面积之比为() A1:2 B1: 4 C1:5 D1:6 11 (2015?铁岭一模)某学习小组在讨论“ 变化的鱼 ” 时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图 所示) 则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点() 第3页(共 19页) A ( 2a, 2b)B ( a, 2b) C ( 2b, 2a)D ( 2a, b) 12 (20
5、16?平武县一模)如图, ABC 中, A,B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是 ( 1,0) 以点 C 为位似中心,在x 轴的下作 ABC 的位似图形 A B C,并把 ABC 的 边长放大到原来的2 倍设点 A 的对应点 A 的纵坐标是1.5,则点 A的纵坐标是() A3 B 3 C 4 D4 二填空题(共14 小题) 13 (2016?河西区模拟)计算cos245 +tan60 cos30 的值为 14 (2016?天桥区一模) 如图,ABC 中,ACB=90 , tanA=, AB=15 , AC= 15 (2016?富顺县校级模拟)已知ABC ,若有 |sinA|与( tanB
6、) 2 互为相反数, 则 C 的度数是 16 (2014?同安区质检)如图,已知在直角三角形ABC 中, C=90 ,AC=4, AB=8, 则 B= 17 (2013 秋?七里河区校级期末)化简= 第4页(共 19页) 18 (2015?桂林) 如图, 在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=8 ,BC=6 ,CDAB ,垂足为 D, 则 tanBCD 的值是 19 (2016?虹口区一模) 如图, 在四边形ABCD 中,B=D=90 ,AB=3 , BC=2 ,tanA=, 则 CD= 20 (2015?青岛模拟)如图,每个小正方形的边长为1,ABC 的顶点都在方格纸的格点 上,则 si
7、nA= 21( 2015 秋?太仓市期末) 在ABC 中, 若 BC=, AB=, AC=3 , 则 cosA= 22( 2015?丹东一模)如图,ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,则 tanA= 23 (2014?汉川市模拟)如图, ABC 中, cosB=,sinC=,AC=5 ,则 ABC 的面积 是 24 (2016?岳阳)如图,一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A 出发,沿山坡向上走了 200 米到达点B,则小辰上升了米 25 (2016?徐汇区一模)如图所示,一皮带轮的坡比是1:2.4,如果将货物从地面用皮带轮 送到离地10 米的平台,那么该货物经过的路程是米 第5页(共 19
8、页) 26 (2016?费县二模) 如图, 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面 BC 上, 量得 CD=8 米, BC=20 米, CD 与地面成30 角,且此时测得1 米杆的影长为2 米,则电线 杆的高度为米 三解答题(共1 小题) 27 (2016?荆门)如图,天星山山脚下西端A 处与东端 B 处相距 800(1+)米,小军和 小明同时分别从A 处和 B 处向山顶C 匀速行走已知山的西端的坡角是45 ,东端的坡角 是 30 ,小军的行走速度为米 /秒若小明与小军同时到达山顶C 处,则小明的行走速度 是多少? 第6页(共 19页) 2016 年 07 月 22 日相似三角形
9、与解直角三角形试题 参考答案与试题解析 一选择题(共12 小题) 1 (2016?南海区校级模拟)两个相似三角形的对应边分别是15cm 和 23cm,它们的周长相 差 40cm,则这两个三角形的周长分别是() A75cm,115cm B 60cm,100cm C 85cm,125cm D45cm, 85cm 【分析】 根据题意两个三角形的相似比是15: 23,可得周长比为15:23,计算出周长相差 8 份及每份的长,可得两三角形周长 【解答】 解:根据题意两个三角形的相似比是15:23,周长比就是15:23, 大小周长相差8 份,所以每份的周长是40 8=5cm, 所以两个三角形的周长分别为5
10、 15=75cm,5 23=115cm故选 A 【点评】 本题考查对相似三角形性质的理解: (1)相似三角形周长的比等于相似比; (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方; (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 2 (2016?新都区模拟) 将一个三角形改成与它相似的三角形,如果面积扩大为原来的9 倍, 那么周长扩大为原来的() A9 倍 B3 倍C81 倍 D18 倍 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,根据相似三角形周长的比 等于相似比解答即可 【解答】 解: 两个相似三角形的面积比为1: 9, 这两个相似三角形的相似比为1:3,
11、这两个相似三角形的周长比为1:3, 周长扩大为原来的3 倍, 故选: B 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面 积的比等于相似比的平方 3 ( 2015?江都市一模)如图,ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 ABC DBA ,则下列 结论一定正确的是() AAB 2=BC?BD BAB2=AC ?BD C AB?AD=BC ?BD DAB ?AC=AD ?BC 【分析】 根据相似三角形的对应边成比例进行判断,要注意相似三角形的对应边和对应角 【解答】 解: ABC DBA , 第7页(共 19页) =; AB 2=BC?BD,AB ?AC=A
12、D ?BC; 故选 AD 【点评】 此题主要考查的是相似三角形的性质,正确地判断出相似三角形的对应边和对应角 是解答此题的关键 4 ( 2015?祁阳县三模)如图,河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:,堤高 BC=10m ,则 坡面 AB 的长度是( A15m B20m C20m D10m 【分析】 在 Rt ABC 中,已知了坡面AB 的坡比以及铅直高度BC 的值,通过解直角三角 形即可求出斜面AB 的长 【解答】 解:在 RtABC 中, BC=10m,tanA=1 :, AC=BC tanA=10m, AB=20(m) 故选: C 【点评】 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用
13、能力,熟练运用勾股定理是 解答本题的关键 5 (2015 秋?北塘区期中) 如图, RtABC 中,C=90 ,D 是 AC 边上一点, AB=5 ,AC=4 , 若 ABC BDC ,则 CD=() A2 BCD 【分析】 根据 ABC BDC,利用相似三角形对应边成比例解答即可 【解答】 解: C=90 ,AB=5 ,AC=4 BC=3 ABC BDC CD= 第8页(共 19页) 故选 D 【点评】 此题考查了相似三角形的性质,相似三角形的对应角相等,对应边的比相等,还考 查了勾股定理 6 ( 2012?新营区校级模拟)如图,已知ADE 与ABC 的相似比为1:2,则 ADE 与四 边形
14、 DBCE 的面积比为() A1:2 B1: 4 C1:3 D4:1 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,求出ADE 与ABC 的面积比,计 算得到答案 【解答】 解: ADE 与ABC 的相似比为1:2, ADE 与ABC 的面积比为1:4, ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:3, 故选: C 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解 题的关键 7 (2015 秋?黄浦区期中) 如图, ABC= CDB=90 ,BC=3 ,AC=5 ,如果 ABC 与CDB 相似,那么BD 的长() ABCD或 【分析】 分两种情况: ABC C
15、DB , ABC BDC;根据相似三角形的对应成 比例,从而可求得BD 的长 【解答】 解:分两种情况: ABC CDB , AC:BC=BC : BD, 即 5:3=3:BD , 5BD=9, BD=; 由勾股定理得:AB=4, ABC BDC , 第9页(共 19页) , 即, 解得: BD=; 综上可知: BD 的长为或; 故选: D 【点评】 本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理; 熟练掌握相似三角形的性质,分两 种情况讨论是解决问题的关键 8 ( 2016?东营)如图,在平面直角坐标系中,已知点A( 3,6) ,B( 9, 3) ,以原 点 O 为位似中心,相似比为,把 ABO
16、缩小,则点A 的对应点A 的坐标是() A ( 1,2)B ( 9,18)C ( 9,18)或( 9, 18)D ( 1,2)或( 1, 2) 【分析】 利用位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比 等于 k 或 k 进行求解 【解答】 解: A( 3,6) ,B( 9,3) ,以原点 O 为位似中心,相似比为,把 ABO 缩小, 点 A 的对应点 A 的坐标为( 3 ,6 )或 3 () ,6 () ,即 A 点的坐 标为( 1, 2)或( 1, 2) 故选 D 【点评】 本题考查了位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k,那么位
17、似图形对应点的坐标的比等于k 或 k 9 ( 2016?承德模拟)如图,把COD 扩大后得到 AOB ,若点 C,D,B 的坐标分别为C (1,2) ,D(2,0) ,B(5,0) 则点 A 的坐标为() 第10页(共 19页) A (2,5)B (2.5,5) C ( 2,5)D (3,6) 【分析】 利用已知图形结合B,D 点坐标得出两三角形的位似比,进而得出A 点坐标 【解答】 解: 把COD 扩大后得到 AOB ,点 C, D, B 的坐标分别为C( 1,2) ,D( 2, 0) , B(5,0) , COD 与AOB 的位似比为:2:5, 则点 A 的坐标为:(2.5,5) 故选:
18、B 【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质,得出两图形的位似比是解题关键 10 (2015?咸宁)如图,以点O 为位似中心,将ABC 放大得到 DEF若 AD=OA ,则 ABC 与DEF 的面积之比为() A1:2 B1: 4 C1:5 D1:6 【分析】 利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比 【解答】 解: 以点 O 为位似中心,将ABC 放大得到 DEF,AD=OA , OA:OD=1 :2, ABC 与DEF 的面积之比为:1:4 故选: B 【点评】 此题主要考查了位似图形的性质,得出位似比是解题关键 11 (2015?铁岭一模)某学习小组在讨论“ 变化的鱼
19、” 时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图 所示) 则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点() A ( 2a, 2b)B ( a, 2b) C ( 2b, 2a)D ( 2a, b) 第11页(共 19页) 【分析】 位似变换中对应点的坐标的变化规律:在平面直角坐标系中,位似变换是以原点为 位似中心,相似比为1: 2 【解答】 解:根据题意图形易得,两个图形的位似比是1:2, 对应点是( 2a, 2b) 故选 A 【点评】 本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律 12 (2016?平武县一模)如图, ABC 中, A,B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是 ( 1,0) 以点 C 为位似中
20、心,在x 轴的下作 ABC 的位似图形 A B C,并把 ABC 的 边长放大到原来的2 倍设点 A 的对应点 A 的纵坐标是1.5,则点 A的纵坐标是() A3 B 3 C 4 D4 【分析】 根据位似变换的性质得出ABC 的边长放大到原来的2 倍,进而得出点A的纵坐 标 【解答】 解: 点 C 的坐标是( 1,0) 以点 C 为位似中心,在x 轴的下方作 ABC 的位 似图形 AB C, 并把 ABC 的边长放大到原来的2 倍 点 A的对应点A 的纵坐标是1.5, 则点 A的纵坐标是:3 故选: B 【点评】 此题主要考查了位似变换的性质,根据已知得出纵坐标的绝对值是2 倍关系是解决 问题
21、的关键 二填空题(共14 小题) 13 (2016?河西区模拟)计算cos245 +tan60 cos30 的值为2 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】 解: cos245 +tan60 cos30 =() 2+ =+ =2 故答案为: 2 【点评】 此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键 14 (2016?天桥区一模)如图, ABC 中, ACB=90 ,tanA=,AB=15 ,AC=9 第12页(共 19页) 【分析】 根据锐角三角函数的定义先设BC=4x ,得出 AC=3x ,再根据勾股定理求出求出x 的值,从而得出AC 【解答】 解: A
22、CB=90 ,tanA=, 设 BC=4x ,则 AC=3x , AB=15, 15=, 解得: x2=9, x1=3 或 x2=3(不合题意,舍去) , AC=3x=9 ; 故答案为: 9 【点评】 此题考查了解直角三角形,用到的知识点是锐角三角函数和勾股定理;求锐角的三 角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值 15 (2016?富顺县校级模拟)已知ABC ,若有 |sinA|与( tanB) 2 互为相反数, 则 C 的度数是90 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质得出A,B 的度数 进而得出答案 【解答】 解: |sinA|与(
23、tanB) 2 互为相反数, sinA=0,tanB=0, 则 sinA=,tanB=, A=30 ,B=60 , 则 C 的度数是: 90 故答案为: 90 【点评】 此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质等知识,正确应 用绝对值以及偶次方的性质是解题关键 16 (2014?同安区质检)如图,已知在直角三角形ABC 中, C=90 ,AC=4, AB=8, 则 B=60 第13页(共 19页) 【分析】 根据图形可得sin B=,代入计算出sinB 的值,然后即可得出B 的度数 【解答】 解: sinB=, B=60 故答案为: 60 【点评】 本题考查了特殊角的三角函数
24、值,解答本题的关键是根据直角三角形,求出 sinB 的值 17 (2013 秋?七里河区校级期末)化简= 【分析】 利用(a 0) 、 tan30 =计算即可 【解答】 解: tan30 =1, 原式 =1 tan30 =1= 【点评】 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的 关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握二次根式等考点的运算 18 (2015?桂林) 如图, 在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=8 ,BC=6 ,CDAB ,垂足为 D, 则 tanBCD 的值是 【分析】 先求得 A=BCD,然后根据锐角三角函数的概念求解即可 【解答】 解:在
25、RtABC 与 RtBCD 中, A+ B=90 ,BCD+ B=90 A= BCD tan BCD=tanA= 故答案为 【点评】 本题考查了解直角三角形,三角函数值只与角的大小有关,因而求一个角的函数值, 可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值 第14页(共 19页) 19 (2016?虹口区一模) 如图, 在四边形ABCD 中,B=D=90 ,AB=3 , BC=2 ,tanA=, 则 CD= 【分析】 延长 AD 和 BC 交于点 E,在直角 ABE 中利用三角函数求得BE 的长,则EC 的 长即可求得,然后在直角CDE 中利用三角函数的定义求解 【解答】 解:延长 AD 和 BC
26、交于点 E 在直角 ABE 中, tanA=,AB=3 , BE=4, EC=BE BC=4 2=2, ABE 和CDE 中, B= EDC=90 ,E=E, DCE= A, 直角 CDE 中, tanDCE=tanA=, 设 DE=4x ,则 DC=3x , 在直角 CDE 中, EC2=DE 2+DC2, 4=16x 2+9x2, 解得: x=, 则 CD= 故答案是: 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质,含30 度直角三角形的性质,熟练掌握相似 三角形的判定与性质是解本题的关键 20 (2015?青岛模拟)如图,每个小正方形的边长为1,ABC 的顶点都在方格纸的格点 上,则 si
27、nA= 第15页(共 19页) 【分析】 根据勾股定理,可得AC 的长,根据锐角三角函数的正弦于等对边比斜边,可得答 案 【解答】 解:如图:, 由勾股定理,得 AC=2, sinA=, 故答案为: 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义,锐角三角函数的正弦等于对边比斜边,余弦等于 邻边比斜边,正切等于对边比邻边 21 (2015 秋?太仓市期末)在ABC 中,若 BC=,AB=,AC=3 ,则 cosA= 【分析】 根据勾股定理的逆定理得出ABC 为直角三角形,再根据余弦函数的定义得出答 案即可 【解答】 解: BC=,AB=,AC=3 , () 2+( ) 2=32, BC 2+AB2=A
28、C2, ABC 为直角三角形, cosA=, 故答案为 【点评】 本题考查了解直角三角形以及勾股定理的逆定理,熟记三角函数的求法是解题的关 键 22 (2015?丹东一模)如图,ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,则tanA=1 【分析】 根据勾股定理逆定理,可得 C 的度数, 根据正切函数值是对边比邻边,可得答案 【解答】 解:由 AC 2+BC2=5+5=10 ,AB2=9+1=10 , 第16页(共 19页) AC 2+BC2=AB2, C=90 tanA=1, 故答案为: 1 【点评】 本题考查了特殊角三角函数值,利用了勾股定理,正切函数的定义,注意锐角三角 函数的定义前提是在直角三
29、角形中 23 (2014?汉川市模拟)如图, ABC 中, cosB=,sinC=,AC=5 ,则 ABC 的面积 是 【分析】 根据已知作出三角形的高线AD ,进而得出AD ,BD ,CD,的长,即可得出三角 形的面积 【解答】 解:过点 A 作 AD BC, ABC 中, cosB=,sinC=,AC=5 , cosB=, B=45 , sinC=, AD=3 , CD=4, BD=3 , 则 ABC 的面积是: AD BC= 3 (3+4)= 故答案为: 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的知识,作出 AD BC,进而得出相关线段的长度是 解决问题的关键 24 (2016?岳阳)如图,
30、一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A 出发,沿山坡向上走了 200 米到达点B,则小辰上升了100米 第17页(共 19页) 【分析】 根据坡比的定义得到tanA=,A=30 ,然后根据含30 度的直角三角形三 边的关系求解 【解答】 解:根据题意得tanA=, 所以 A=30 , 所以 BC=AB= 200=100(m) 故答案为100 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用:坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比,又 叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i 表示,常写成i=1:m 的形式 25 (2016?徐汇区一模)如图所示,一皮带轮的坡比是1:2.4,如果将货物从地
31、面用皮带轮 送到离地10 米的平台,那么该货物经过的路程是26米 【分析】 首先根据题意画出图形,根据坡度的定义,由勾股定理即可求得答案 【解答】 解:如图,由题意得:斜坡AB 的坡比 i=1:2.4,AE=10 米, AEBD , i=, BE=24 米, 在 Rt ABE 中, AB=26(米) 故答案为: 26 【点评】 此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题此题比较简单, 注意掌握数形结 合思想的应用,注意理解坡比的定义 26 (2016?费县二模) 如图, 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面 BC 上, 量得 CD=8 米, BC=20 米, CD 与地面成30
32、角,且此时测得1 米杆的影长为2 米,则电线 杆的高度为14+2米 第18页(共 19页) 【分析】 构造相应的直角三角形,利用勾股定理及影长与实物比求解 【解答】 解:如图,延长AD 交 BC 的延长线于点F,过点 D 作 DEBC 的延长线于点E DCE=30 ,CD=8 米, CE=CD?cosDCE=8=4(米), DE=4 米, 设 AB=x ,EF=y, DEBF,AB BF, DEF ABF, =,即= , 1 米杆的影长为2 米,根据同一时间物高与影长成正比可得, = , 联立,解得x=14+2(米) 故答案为: 14+2 【点评】 此题主要考查学生对坡角及坡度问题的掌握情况
33、三解答题(共1 小题) 27 (2016?荆门)如图,天星山山脚下西端A 处与东端 B 处相距 800(1+)米,小军和 小明同时分别从A 处和 B 处向山顶C 匀速行走已知山的西端的坡角是45 ,东端的坡角 是 30 ,小军的行走速度为米 /秒若小明与小军同时到达山顶C 处,则小明的行走速度 是多少? 【分析】 过点 C 作 CDAB 于点 D,设 AD=x 米,小明的行走速度是a 米/秒,根据直角三 角形的性质用x 表示出 AC 与 BC 的长, 再根据小明与小军同时到达山顶C 处即可得出结论 【解答】 解:过点 C 作 CDAB 于点 D,设 AD=x 米,小明的行走速度是a 米/秒, A=45 ,CDAB , AD=CD=x 米, AC=x 在 RtBCD 中, B=30 , 第19页(共 19页) BC=2x, 小军的行走速度为米/秒若小明与小军同时到达山顶C 处, =,解得 a=1 米/秒 答:小明的行走速度是1 米/秒 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题,根据题意作出辅助线,利用锐 角三角函数的定义求解是解答此题的关键
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