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1、第 14 章相对论基础习题 14.1 一观察者测得运动着的米尺长为0.5m,问此米尺以多大的速度接近观 察者? 解:米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为1m ,当米尺沿长度方向相对 观察者运动时,由于“长度收缩”效应,观察者测得尺的长度与相对运动的速度 有关。 设尺的固有长度为L,由长度收缩效应 2 2 1 c LL,得 18 2 2 sm106. 21 L L c 14.2 一张正方形的宣传画边长为5m ,平行地贴在铁路旁边的墙上,一高速 列车以 18 sm102的速度接近此宣传画,问若是高速列车上的乘客测量该画的 边长为多少? 解:由题意得,在垂直于相对运动的方向上,画的高度不变,在平行于
2、相对 运动的方向上,长度变短。由长度收缩效应公式 m7.31 2 2 c LL 乘客测量的尺寸为 2 m7. 35。 14.3 从地球上测得, 地球到最近的恒星半人马座 S星的距离为m1034 16 .。 某宇宙飞船以速率=0.99c 从地球向该星飞行,问飞船上的观察者将测得地球与 该星间的距离为多大? 解:飞船上的观察者认为地球与 S星的距离是运动的,故长度收缩。 即 m101 .61 15 2 2 0 c ll 14.4 如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得 的一半,求彗星相对于地面的速率是多少? 解:根据长度缩短公式,有 2 2 0 1 c v ll,又已知 2
3、1 0 l l 所以 18 sm106.22/3c 14.5 一根米尺静止在 S系中,与 o x 轴成30角,如果在 S系中测得米尺与 ox 轴成45角,S 相对于 S的速率(沿 ox 轴正向运动) 必须是多少? S系测得的 米尺的长度是多少? 解:设米尺在 S系中的长度为 0 l ,坐标为 00, y x,在S系中长度为l,坐标 为yx,。在S系中看来,米尺仅在x 方向缩短 2 1倍,y方向上长度不变。 故有 m5.030sin 00 lyy m5. 045 0 yyctgx 所以m707.0 22 yxl 由 2 2 0 1 c xx,并将 0 yx, 00 3yx代入上式,得 c 3 2
4、 14.6 一个在实验室中以0.8 c 的速率运动的粒子,飞行3m后衰变,实验室 中的观察者测量,该粒子存在了多长时间?由一个与该粒子一起运动的观察者来 测量,这粒子衰变前存在多长时间? 解:在实验室(S系)测量,该粒子存在的时间为 s1025.1 1038.0 3 8 8 s t 在与该粒子一起运动的参考系( S系)中测量,该粒子衰变前存在的时间为 s105 .71 9 2 2 c tt 14.7 在惯性系 S中观察到有两个事件发生在某一地点, 其时间间隔为 4.0s , 从另一惯性系S 中观察到这两个时间间隔为 6.0s 。求从 S 系测量到这两个事 件的空间间隔是多少?设S 系以恒定速率
5、相对于 S系沿 xx 轴运动。 解:由相对论时间膨胀效应可知, 在 S系中测得在S系中的同一地点发生的 两个事件的时间间隔 t要比在S系中测得的t长,即有: 2 2 1 c t t 由此可得 S系相对于S系的速率为: c t t c 3 5 1 2 此两事件在 S系中的空间间隔为 m1034.1 9 tx 14.8 一观察者看到 A、B两宇宙飞船以 0.99 c 的速率彼此离开,求从一个飞 船上看到另一个飞船的速率为多大? 解:设观察者静止于S系, S系固定于船 A,并以船 A的飞行方向为 x 轴正 向,由题意, S系相对于S系的速率为c99.0,S系的观察者测得船B的速率 为cux99.0,
6、由洛仑兹速度变换式得 c u c u u x x x 99995. 0 1 2 所以从一个飞船上看到另一个飞船的速率为c99995.0 14.9 火箭A以 0.8c的速率相对于地球向正北飞行,火箭 B以 0.6c的速率 相对于地球向正西飞行,求由火箭B测得火箭 A的速度大小和方向。 解:设S系固定于地球, S系固定于火箭 B,正东为 x 轴正方向,正北为y 轴正方向,火箭 A为运动物体。根据题意, S系相对于S系的速度为c6.0, 且0 zx uu,cuy8. 0,由洛仑兹速度变换式得 c u c u u x x x 6.0 1 2 ,c u c u u x y y 64.0 1 1 2 2
7、所以火箭 B测得火箭 A的速度 u的大小为 cuuu yx 877.0 2 2 与 x 轴(正东)的夹角为:83.46)/(cos 1 uux 14.10 S系中有一原长为 L0的棒沿 x 轴放置,并以速率u沿 xx 轴运动,有 一 S系以速率 v 相对于 S系沿 xx 轴运动。求从 S系测量此棒的长度为多少? 解: 设棒相对于 S系的速率为 u, 由于棒和S系相对于 S系的运动方向相同, 根据洛仑兹速度变换式,有 u c u u 2 1 (1) 由长度收缩公式可知,在 S系中测得速率为 u的运动直棒的长度为 2 2 0 1 c u ll(2) 将(1)代入( 2)中,得 2222 2 0 2
8、 2 02 2 0 )( 11 cuc uc l uc uc l c u ll 14.11 两个婴儿 A、B 分别在相距m100.2 3 的两所医院里同时出生。若一 宇宙飞船沿两医院的连线方向由 A向B飞行时,测得A、B出生地相距为 m100.1 3 。求宇航员认为A、B是同时出生的吗? 解:将S系和 S系分别固定于地面和飞船,并使xx 轴正向沿飞行方向。将 m100 .2 3 x和m100.1 3 x代入相对论长度收缩公式 2 2 1 c v xx 得飞船的速率为c 2 3 又根据公式 22 2 1 / cv cxt t,得s1015.1 5 t 负号表示离坐标原点近的婴儿A 后出生。 14
9、.12 静止时测得一立方体的体积为V0 ,质量为 m 0 。现沿某一棱的方向以 速率运动进行测量,求其体积和密度各为多少? 解:静止观察者测得的长、宽、高分别为 000 zyx 有相对运动时,测量值为 2 2 0 1 c v xx, 0 yy, 0 zz 则相应的体积为 2 0 22 000 11VcvzyxxyzV 相应密度为 22 0 0 2 0 2 0 1 1 1 cV m V m V m 14.13 当电子的运动速率达到=0.98c 时,求(1)其质量 m等于多少?(2) 此时电子的动能等于多少? 解: (1)由相对论质量公式,有 kg1082.45 1 31 2 2 0 c m m
10、(2)由相对论动能公式,有 J1030.3 132 0 2 cmmcEk 14.14 一被加速器加速的电子,其能量为eV100.3 9 。试问( 1)这时电子 的质量是其静止质量的多少倍?(2)此时电子的速率是多少? 解: (1)根据质能关系,被加速的电子的运动质量为 2 c E m,故此时电子 质量 m与其静止质量 0 m 之比为 3 2 00 1086.5 cm E m m (2)由相对论的质量公式 2 2 0 1 c m m,得 cc m m 999999985.01 2 2 0 14.15 一个粒子的动量为非相对论动量的2倍,问该粒子的速率是多少? 解:按题意有 2 1 0 2 2 0
11、 m c m P P 非 解之得 18 sm106 .2 2 3 c 14.16 把一个静质量为 m0的粒子,从静止加速到 0.01c的速率时, 外力需对 粒子做多少功?又从0.89 c 加速到 0.9 c 时,外力需做多少功?比较两种情况下 的结果,说明了什么? 解:由动能定理,得 2 0 2 0 2 2 0 2 111 005.01 01. 0 1 1 cmcm c c cmcmEA 2 0 2 0 22 2 2 2 322 1 .0 89.0 1 1 9. 0 1 1 cmcm c c c c cmcmEA 结果说明在高速情况下,要想提高粒子的速度需要更多的能量。 14.17 若一电子的
12、总能量为5.0MeV,求该电子的静能、动能、动量和速率。 解:粒子的静能 0 E 是指粒子在相对静止的参考系中的能量。由相对论质能 关系得 MeV512. 0 2 00 cmE 由相对论动能定义可得电子的动能为 MeV488.4 0 EEEk 由相对论动量与能量关系式 2 0 222 EcpE,得电子的动量为 1212 0 2 smkg1066.2 1 EE c p 由 2 2 0 1 c EE,可得电子速率为 c E EE c995.0 2 2 0 2 14.18 中子星质量 m 1.510 30kg,半径 R 5 100.1,设想双生子甲、 乙 生活在上面,甲在表面,乙在距中心坐标2R 处
13、,求在甲 70 岁时,乙的年龄是 多大? 解: 应用引力时间延缓公式 Rc Gm dt dt 2 2 1 乙 乙 甲 甲 Rc Gm dtdt Rc Gm dtdt 22 2 1 2 1 乙 甲 乙 甲 Rc Gm Rc Gm dt dt 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1)()( 甲 乙 乙 甲 Rc Gm dt Rc Gm dt 应用泰勒公式忽略高阶无穷小 )()( 甲 乙 乙 甲 Rc Gm dt Rc Gm dt 22 2 2 1 1 2 2 1 1 )()( 甲 乙 乙 甲 Rc Gm dt Rc Gm dt 22 11 )()( 乙甲 516 3011
14、516 3011 10109 105 .11067.6 1 102109 105.11067.6 1dtdt )()( 乙甲 23 10112.1110558. 51dtdt 99444.0 98888.0 乙甲dt dt 岁 甲4 .70 99444.0 98888.0 70dt 14.19 珠峰 8.4km 高处放置一只钟,比放置在海平面的钟走得快,不计地 球转动影响, 只考虑引力, 求珠峰上的钟 100 年内快多少时间?已知: 地球质量 me = 5.9810 24 kg , 地球半径 Re = 6.37810 6 m , 山顶距地心 R 山= 6.386106 m 。 解:应用引力时间
15、延缓公式 Rc Gm dt dt 2 2 1 山 山 Rc Gm dtdt Rc Gm dtdt e e 22 2 1 2 1 山 山 Rc Gm Rc Gm dt dte e 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1)()( 山 山e e Rc Gm dt Rc Gm dt 应用泰勒公式忽略高阶无穷小 )()( 山 山e e Rc Gm dt Rc Gm dt 22 2 2 1 1 2 2 1 1 )()( 山 山e e Rc Gm dt Rc Gm dt 22 11 )()( 山 616 2411 616 2411 10378.6109 1098.51067.6 1 10386.6109 1098.51067.6 1dtdte )()( 山 99 10695.0110694.01dtdte )1 10695.01 10694.01 ( 9 9 ee dtdtdt 山 =3.13610 90.110-11=3.110-3 s
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