第六章点估计教案要点.pdf
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1、教 师 备 课 纸 1 第六章参数估计 在实际问题中 , 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参 数时, 如何根据样本来估计未知参数,这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 点估计 就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值; 区间估计 就是对于未知参数给出一个范围, 并且在一定的可靠度下使这个范围包 含未知参数 . 参数估计问题 的一般提法 : 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),( xF, 其中为未知参数 (可以是向 量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n XXX, 21 , 再依据该样本对参数作出估计 , 或估计参数的某已知函
2、数).(g 第一节 点估计问题概述 一、点估计的概念 设 n XXX, 21 是取自总体X 的一个样本 , n xxx, 21 是相应的一个样本值 . 是 总体分布中的未知参数 , 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量 ),( ? 21n XXX 然后用其观察值 ),( ? 21n xxx 来估计的值. 称),( ? 21n XXX为的估计量 . 称),( ? 21n xxx为的估计值 . 在不致混淆的情况下 , 估计量与估计值统称为 点估计 ,简称为 估计, 并简记为 ?. 注: 估计量),( ? 21n XXX是一个随机变量 , 是样本的函数,即是一个统计量, 对 教 师 备 课 纸
3、2 不同的样本值 , 的估计值 ?一般是不同的 . 例1 设 X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计 ),它服从指数分布: .0, 0 0, 1 ),( / x xe xfX x 为未知参数 , 0. 现得样本值为 168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252, 试估计未知参数. 二、评价估计量的标准 估计量的评价一般有三条标准: 无偏性 ; 有效性 ; 相合性(一致性) . 1无偏性 定义 1设),( ? 1n XX是未知参数的估计量 , 若 ,) ? (E 则称 ?为 的无偏估计量 . 注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义
4、是指估计量没有系 统偏差,只有随机偏差 . 在科学技术中 , 称 ) ? (E 为用 ?估计 而产生的系统误差 . 定理 1 设 n XX, 1 为取自总体 X 的样本 ,总体 X 的均值为, 方差为 2 .则 (1) 样本均值X是的无偏估计量 ; (2) 样本方差 2 S是 2 的无偏估计量 ; (3) 样本二阶中心矩 n i i XX n 1 2 )( 1 是 2 的有偏估计量 . 2有效性 定义 2设),( ? 111n XX和),( ? 122n XX都是参数的无偏估计量 , 若 教 师 备 课 纸 3 ) ? () ? ( 21 DD, 则称 1 ?较 2 ? 有效 . 注: 在数理
5、统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下 : 设 n XX, 1是取自总体X 的一个样本 , ),( ? 1n XX是未知参数的一个估计量 , 若 ?满足: (1) ,) ? (E即 ?为 的无偏估计 ; (2) ), ? () ? (E ? 是的任一无偏估计 . 则称 ?为 的最小方差无偏估计 (也称最佳无偏估计 ). 3相合性 (一致性 ) 定义 3 设),( ? 1n XX为未知参数的估计量 , 若 ?依概率收敛于 , 即对任 意0, 有 , 1| ? |lim P n 或 , 0| ? |lim P n 则称 ?为 的(弱)相合估计量 . 例 2 设总体), 0( 2 NX, n x
6、xx, 21 是来自这一总体的样本 . (1) 证明 n i i x n 1 22 1 ?是 2 的无偏估计 ; (2) 求). ?( 2 D 例 3 设 n XXX, 21 为来自总体 X 的样本 , X,), 2, 1(niXi均为总体均值)( XE的 无偏估计量 , 问哪一个估计量有效 ? 例 4 设总体),( 2 NX, n XX, 1 为其样本 . 试证样本方差 2 S是 2 的相合估计量 . 教 师 备 课 纸 4 课堂练习 设总体 X的 k阶矩) 1)(kXE k k 存在, 又设 n XXX, 21 是 X的一个样本 . 试证 明不论总体服从什么分布 , k 阶样本矩 n i
7、k ikX n A 1 1 是 k 阶总体矩 k的无偏估计量 . 课后作业:P137 T 3、4 第二节 点估计的常用方法( 1) 教 师 备 课 纸 5 一、矩估计法 矩估计法的基本思想 是用样本矩估计总体矩 . 因为由在大数定理知 , 当总体的k 阶矩存在时 ,样本的 k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X作为总 体均值)( XE的估计量 , 一般地 , 记 总体 k 阶矩);( k k XE 样本 k 阶矩 n i k ik X n A 1 1 ; 总体 k 阶中心矩;)( k k XEXEV 样本 k 阶中心矩.)( 1 1 n i k ik XX n B 用相应的
8、样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法 . 用矩估计法确定的估计 量称为矩估计量 . 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法: 设总体X的分布函数),;( 1k xF中含有 k 个未知参数 k , 1 , 则 (1) 求总体X的前 k 阶矩k,1,一般都是这 k 个未知参数的函数 , 记为 kig kii ,2, 1),( 1 (*) (2) 从(*)中解得kjh kjj , 2, 1),( 1 (3) 再用),2, 1(ki i 的估计量 i A分别代替上式中的 i,即可得 ),2,1(ki j 的矩 估计量: ., 2, 1),( ? 1 kjAAh
9、kjj 注: 求, 1k VV类似于上述步骤,最后用 k BB, 1 代替 k VV, 1 ,求出矩估计 j ? ), 2, 1(kI。 例 1 设总体 X 的概率密度为 其它,0 10,) 1( )( xx xf 教 师 备 课 纸 6 其中1a是未知数, n XXX, 21 是取自 X 的样本 , 求参数的矩估计 . 例 2 设总体 X 的均值及方差 2 都存在 , 且有0 2 , 但 2 ,均为未知 , 又设 n XXX, 21 是来自 X 的样本 . 试求 2 ,的矩估计量 . 例 3 设总体 X 的概率分布为 22 )1()1(2 321 k P X 其中为未知参数 .现抽得一个样本
10、, 1,2, 1 321 xxx求的矩估计值 . 课堂练习 设总体 X 在,ba上服从均匀分布,ba,未知. n XXX, 21 是来自 X 的样本 , 试求ba,的矩估计量 . 课后作业:P142 T 2 第三节 置信区间 在区间估计理论中 , 被广泛接受的一种观点是置信区间 , 它由奈曼 (Neymann)于 教 师 备 课 纸 7 1934年提出。 一、置信区间的概念 定义 1 设为总体分布的未知参数 , n XXX, 21是取自总体 X 的一个样本 , 对 给定的数) 10(1, 若存在统计量 ),(),( 2121nn XXXXXX 使得 ,1P 则称随机区间),(为的1双侧置信区间
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