管理运筹学复习要点.pdf
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1、1 管理运筹学复习 (1)某工厂在计划期内要安排, 两种产品的生产. 生产单位产品所需的设备台时及A,B 两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示: 资源限制 设备1 1 300 台时 原料 A 2 1 400kg 原料 B 0 1 250kg 工厂每生产一单位产品可获利50 元,每生产一单位产品可获利100 元,问工厂应分别 生产多少单位产品和产品才能使获利最多? 解:max z=50X 1+100X2 ; 满足约束条件:X1+X2 300 , 2X1+X2 400 , X2 250 , X1 0,X20。 (2) :某锅炉制造厂,要制造一种新型锅炉10 台,需要原材料为63.5 4mm 的
2、锅炉钢管, 每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下表所示: 规格 /mm 需要数量 / 根规格 /mm 需要数量 / 根 2640 8 1770 42 1651 35 1440 1 库存的原材料的长度只有5500mm一种规格,问如何下料,才能使总的用料根数最少?需要 多少根原材料? 解:为了用最少的原材料得到10 台锅炉,需要混合使用14 种下料方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 264 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 70 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 16 51 0 0 1 0 0 1 0 2
3、1 0 3 2 1 0 14 40 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 合 计 528 0 441 0 429 1 408 0 531 0 519 1 498 0 507 2 486 1 465 0 495 3 474 2 453 1 432 0 剩 余 220 109 0 120 9 142 0 190 309 520 428 639 850 547 758 969 118 0 设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为X1,X2,X3,X4,X5,X6 ,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14, 可列出下面的数学模型: min fX1+X2+X3+X4
4、+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14 满足约束条件:2X1X2X3 X4 80 X23X52X62X7X8X9X10 420 X3X62X8 X93X11X12X13 350 X4X7X92X10X122X133X14 10 X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14 0 2 (3)某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3,各产地的产量、 各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示: B1B2B3产量 /件 A16 4 6 200 A26 5 5 300 销量 /件150 15
5、0 200 应如何调运,使得总运输费最小? 解:此运输问题的线性规划的模型如下 min f =6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 约束条件:X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 X11+X21=150 X12+X22=150 X13+X23=200 Xij0(i=1,2;j=1,2,3) (4) 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3,各产地的产量、 各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示: B1B2B3产量 /件 A16 4 6 300 A26 5 5 300 销量 /件150 150 200 500
6、600 应如何组织运输,使得总运输费为最小? 解:这是一个产大于销的运输问题,建立一个假想销地B4,得到产销平衡如下表: B1B2B3B4产量 /件 A16 4 6 0 300 A26 5 5 0 300 销量 /件150 150 200 100 600 600 (5)某公司从两个产地A1、A2 将物品运往三个销地B1、B2、B3,各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运输单价如下表所示: B1B2B3产量 /件 A16 4 6 200 A26 5 5 300 销量 /件250 200 200 650 500 解:这是一个销大于产的运输问题,建立一个假想销地A3,得到产销平
7、衡如下表: B1B2B3产量 /件 A16 4 6 200 A26 5 5 300 A30 0 0 150 销量 /件250 200 200 650 650 3 (6)某公司在三个地方有三个分厂,生产同一种产品,其产量分别为300 箱、 400 箱、500 箱。需要供应四个地方的销售,这四地的产品需求分别为400 箱、 250 箱、350 箱、200 箱。三个分厂到四个销地的单位运价如下表所示: 甲乙丙丁 1 分厂21 17 23 25 2 分厂10 15 30 19 3 分厂23 21 20 22 应如何安排运输方案 ,使得总运费为最小 ? 如果 2 分厂的产量从 400 箱提高到了 600
8、 箱,那么应如何安排运输方案,使得总运 费为最小 ? 如果销地甲的需求从400 箱提高到 550 箱,而其他情况都同 ,那该如何安排 运输方案 ,使得运费为最小 ? 解: 此运输问题的线性规划的模型如下 minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19 X24+23X31+21X32+20X33+22X34 约束条件:X11+X12+X13 +X14=300 X21+X22+X23+X24=400 X31+X32+X33+X34=500 X11+X21+X31=400 X12+X22+X32=250 X13+X23+X33=350 X14+X2
9、4+X34=200 Xij0(i=1,2 ,3;j=1,2,3,4) 解:这是一个产大于销的运输问题,建立一个假想销地戊, 得到产销平衡如下表: 甲乙丙丁戊产量 /箱 1 分厂21 17 23 25 0 300 2 分厂10 15 30 19 0 (400)600 3 分厂23 21 20 22 0 500 销量/箱400 250 350 200 200 1400 1400 解:这是一个销大于产的运输问题,建立一个假想销地4 分厂,得到产销平衡 如下表: 甲乙丙丁产量 /箱 1 分厂21 17 23 25 300 2 分厂10 15 30 19 400 3 分厂23 21 20 22 500
10、4 分厂0 0 0 0 150 销量/箱550 250 350 200 1350 1350 4 (7)整数规划的图解法 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,这两种货物每件的体积、重量、可获利 润以及托运所受限制如下表所示: 货物每件体积 /立方英尺每件重量 /百千克每件利润 /百元 甲195 4 2 乙273 40 3 托运限制1365 140 甲种货物至多托运4 件,问两种货物各托运多少件,可使获得利润最大? 解:设 X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数,其数学模型如下所示: max z=2X1+3X2 约束条件:195X1+273X21365, 4X1+40X2140, X14, X1
11、, X20, X1, X2 为整数。 (8)指派问题 有四个工人, 要分别指派他们完成四项不同的工作,每人做各项工作所消耗的时 间如下表所示:问应如何指派工作,才能使总的消耗时间为最少? A B C D 甲15 18 21 24 乙19 23 22 18 丙26 17 16 19 丁19 21 23 17 解:引入 01 变量 Xij,并令 1,当指派第 i 人去完成第 j 项工作时; Xij= 0,当不指派第 i 人去完成第 j 项工作时; 此整数规划的数学模型为: min z=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+ 18 X24+26X31+1
12、7X32+16X33+19X34 +19X41+21X42+23X43+17X44 约束条件:X11+X12+X13 +X14=1(甲只能干一项工作) X21+X22+X23+X24=1(乙只能干一项工作) X31+X32+X33+X34=1(丙只能干一项工作) X41+X42+X43+X44=1(丁只能干一项工作) X11+X21+X31+X41=1(A 工作只能一个人干) X12+X22+X32+X42=1(B 工作只能一个人干) X13+X23+X33+X43=1(C 工作只能一个人干) X14+X24+X34+X44=1(D 工作只能一个人干) Xij为 01 变量, (i=1,2,3
13、 ,4;j=1,2,3,4) 5 (9) 有优先权的目标规划的图解法 一位投资商有一笔资金准备购买股票,资金总额为 90000元,目前可选的股票有 A、B两种(可以同时投资于两种股票) ,其价格以及年收益率和风险系数 如下表所示: 股票价格/ 元年收益/ (元/ 年)风险系数 A 20 3 0.5 B 50 4 0.2 从表可知: 股票 A的收益率为( 3/20 )100%=15%, 股票 B的收益率为( 4/50 )100%=8%, A的收益率比 B大,但同时 A的风险也比 B大,这符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案,使得一年的总投资风险不高于700,且投资收益不低于10000元。
14、解:设 X1、X2 分别表示投资商所购买的股票A和股票 B的数量。 1. 针对优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下: min d1+ 约束条件: 20X1+50X290000 0.5X1+0.2X2-d1 +d 1 - =700 3X1+4X2-d2 +d 2 - =10000 X1 , X2 , d1 + , d 2 - 0 2. 针对优先权次高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下: min d2 - 约束条件: 20X1+50X290000 0.5X1+0.2X2-d1 +d 1 - =700 3X1+4X2-d2 +d 2 - =10000 d1 +=0 X1 , X2
15、,d1 + ,d1 - ,d2+,d2-0 3. 目标规划模型的标准化 对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解,为方便,把他们用一个 模型来表达: min P1(d1 +)+P 2(d2 -) 约束条件:20X1+50X290000 , 0.5X1+0.2X2-d1 +d 1- =700, 3X1+4X2-d2 +d 2 - =10000, X1 , X2,d1 + ,d1 - ,d2+,d2-0。 0.5X1+0.2X2=700 20X1+50X2 90000 0 5000 3000 2000 1000 1000 2000 3000 4000 4000 X1 X1 20X1+50X
16、290000 1000 5000 4000 3000 2000 0 1000 2000 3000 4000 X2 6 (10)某工厂试对产品A、B进行生产,市场需求并不是很稳定,因此对每种产 品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润,这两种产品都经过甲、 乙两 台设备加工, 已知产品 A和 B分别在甲和乙设备上的单位加工时间,甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如表所示,要求首先是保证在销售较差时, 预期利 润不少于 5 千元,其次是要求销售良好时, 预期销售利润尽量达到1 万元。试建 立目标规划模型。 A B 可用时间 甲4 3 45 乙2 5 30 销售良好时的预期利润(元/ 件)8
17、 6 100 销售较差时的预期利润(元/ 件)5 5 50 解:设工厂生产A 产品X1 件,生产 B 产品 X2件。按照生产要求, 建立如下目标规划模型: min P1(d1 +)+P 2(d2 -) 约束条件: 4X1+3X245 , 2X1+5X230 5X1+5X2-d1 +d 1 - =50, 8X1+6X2-d2 +d 2 - =100, X1 , X2,di + ,di - 0.i=1,2 (11)动态规划 石油输送管道铺设最优方案的选择问题:如图所示,其中 A 为出发点, E 为目的 地,B、C、D 分别为三个必须建立油泵加压站的地区,其中的B1、B2、B3;C1、 C2、C3;
18、D1、D2分别为可供选择的各站站点。 图中的线段表示管道可铺设的位置, 线段旁的数字为铺设管线所需要的费用,问如何铺设管道才使总费用最小? 6 2 3 3 5 7 4 4 4 4 1 5 4 5 解: 第四阶段: D1E 3;D2E 4; 第三阶段:C1D1E 5; C2D2E 8; C3D1E 8; C3D2E 8; 第二阶段:B1C1D1E 11; B1C2D2E 11; B2C1D1E 8; B3C1D1E 9 ;B3C2D2E 9; 第一阶段: AB1C1D1E 14;AB1C2D2E 14; AB2C1D1E 13;AB3C1D1E 13; AB3C2D2E 13; 最优解: AB2
19、C1D1E;AB3C1D1E;AB3C2D2E 最优值: 13 4 2 3 5 3 5 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 E 7 (12 )最小生成树问题 某大学准备对其所属的7 个学院办公室计算机联网,这个网络的可能联通的途径如图所示,图 中 V1, V7 表示 7 个学院办公室,图中的边为可能联网的途径,边上的所赋权数为这条 路线的长度, 单位为百米。 请设计一个网络能联通7 个学院办公室, 并使总的线路长度为最短。 解:在 G 中找到一个圈( V1,V7,V6,V1),并知在此圈上边 V1,V6的权 数 10 为最大,在 G 中去掉边 V1,V6得图 G1 ,如上图所示
20、 在 G1中找到一个圈 (V3,V4,V5,V7,V3) ,去掉其中权数最大的边V4,V5, 得图 G2 ,如上图所示 在 G2中找到一个圈( V2,V3,V5,V7,V2) ,去掉其中权数最大的边 V5,V7,得图 G3 ,如上图所示 在 G3中找到一个圈( V3,V5,V6,V7,V3) ,去掉其中权数最大的边 V5,V6,得图 G4 ,如上图所示 在 G4中找到一个圈( V2,V3, V7,V2) ,去掉其中权数最大的边 V3,V7,得图 G5 ,如上图所示 在 G5中已找不到任何一个圈了,可知G5即为图 G 的最小生成树。 这个最小生成树的所有边的总权数为3+3+3+1+2+7=19
21、7 2 3 3 1 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G5 4 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G3 5 8 4 7 2 3 4 3 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G1 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G4 5 4 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G2 5 8 4 7 2 3 4 3 10 3 1 V7 V4 V5V6 V1 V2 V3 G 8 (13)某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料,应按照什么路线送货才能使送货时间最短。下 图给出了配
22、送中心到快餐店的交通图,图中V1, V7 表示 7 个地名,其中V1 表示配送中 心,V7 表示快餐店, 点之间的联线表示两地之间的道路,边所赋的权数表示开车送原料通过这段 道路所需要的时间(单位:分钟) 解:给起始点V1标号为( 0,S) I =V1,J= V2,V3,V4,V5,V6 ,V7 ,边的集合Vi,Vj Vi,Vj两点中一点属 于I,而另一点属于J= V1,V2, V1,V3,并有 S12=L1+C12=0+4=4 ;S13=L1+C13=0+18=18 min (S12,S13)= S12 =4 给边 V1,V2中的未标号的点 V2 标以(4,1) ,表示从 V1 到 V2 的
23、距离为 4,并且在 V1到 V2的最短路径上 V2的前面的点为 V1. 这时 I =V1,V2,J=V3,V4,V5,V6 ,V7,边的集合Vi,Vj Vi,Vj两点中一 点属于I,而另一点属于J= V1,V3, V2,V3, V2,V4,并有 S23=L2+C23=4+12=16 ;S24=L2+C24=4+16=20 ;min (S23,S24 , S13)= S23 =16 给边 V2,V3中的未标号的点 V3 标以( 16,2) 这时 I =V1,V2 ,V3,J=V4,V5,V6 ,V7,边的集合Vi,Vj Vi,Vj两点中一 点属于I,而另一点属于J= V2,V4, V3,V4,
24、V3,V5,并有 S34=L3+C34=16+2=18 ; S35=L3+C35=16+6=22 ; S24=L2+C24=4+16=20 min (S34,S35,S24)= S34 =18 给边 V3,V4中的未标号的点 V4 标以( 18,3) 这时 I =V1,V2 ,V3 ,V4,J=V5,V6 ,V7,边的集合Vi,Vj Vi,Vj两点中 一点属于I,而另一点属于J= V4,V6, V4,V5, V3,V5,并有 S46=L4+C46=18+7=25 ; S45=L4+C45=18+8=26 ;min (S46,S45 ,S35)= S35 =24 给边 V3,V5中的未标号的点
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