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1、长安一中高三级第三次教学质量检测数学试题 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分150 分,时间 120 分钟 第卷(选择题共 60 分) 一选择题 ( 本大题共10 小题,每小题5分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1. 已知集合1,1A, 10Bx ax, 若BA, 则实数a的所有可能取值的集合为 ( ) A 1,0,1 B1,1 C1 D 1 2. 若i为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.设,a b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,则“,la且“lb是“l的 (
2、) A充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4. 等差数列中,如果,则前 9项的和为 ( ) A297 B. 144 C 99 D. 66 5. 已知向量(2,1),(sincos ,sincos)ab,且ab,则cos2sin 2() A 7 5 B 7 5 C 1 5 D 1 5 6. 过(2,0)P的直线l被圆 22 (2)(3)9xy截得的线段长为2 时,直线l的斜率为() A 2 4 B. 2 2 C1 D. 3 3 7.( 理科 )已知, x y满足不等式 420, 280, 2, xy xy x 设 y z x ,则z的最大值与最小值的差为() A.
3、 4 B. 3 C. 2 D. 1 (文科) 设x、y满足约束条件: 1 0 xy yx y ,则3zxy的最大值是() A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 函数)1ln( xy与 x y 1 的图像交点的横坐标所在区间为() i i z 21 1 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 9. 若下框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是 ( ) A.B. CD. 10若 4 x时,函数( )sin()(0)f xAxA取得最小值,则() 4 yfx是() A奇函数且图像关于点(,0) 2 对称 B.偶函数且图像关于直线 2 x对称 C奇函数
4、且图像关于直线 2 x对称 D.偶函数且图像关于点(,0) 2 对称 11.(理科)已知椭圆 2 2 1 4 x y的焦点为 1 F、 2 F, 在长轴 12 A A上任取一点M, 过M作垂直于 12 A A 的直线交椭圆于P,则使得 12 0PF PF的M点的概率为() A 2 3 B 26 3 C 6 3 D 1 2 (文科) 如图所示,矩形长为6,宽为 4,在矩形内随机的撒2400 颗黄豆 , 数得落在椭圆外的黄豆数为516 颗,依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为( ) A.17.84 B. 5.16 C. 18.84 D.6.16 12 已知函数 13)( 23 xxxf, 0,
5、86 0, 4 1 )( 2 xxx x x x xg, 则方程)0(0)(aaxfg的 解的个数 不可能 是() A3 个 B.4个 C.5个 D.6个 第卷非选择题(共90 分) 二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,满分 20 分,把答案填写在答题纸相应的位置.) 13一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积 为_ _ 35Sk 7k6k6k6k 14已知ABC面积S和三边cba,满足:8,)( 22 cbcbaS,则ABC面积S的最大值 为_ 15已知分别是圆锥曲线和的离心率,设 ,则的取值范围是 16.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 1 24 357 68
6、1012 911131517 141618202224 设, ij ai jN是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、 从左往右数第j个数,如 52 11a 则 87 a 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共6 小题,共 70 分) 17 (本小题满分12 分) 已知 n a是正项数列, 1 1a,且点 1 (,) nn aa ( * nN)在函数 2 1yx的图像上 . (1)求数列 n a的通项公式; (2)若列数 n b满足 1 1b, 1 2 n a nn bb,求证: 2 21nnn b bb. 18.(本题满分12 分) 如图,设四棱锥SABCD的底面为菱形
7、, 且60ABC,2ABSC,2SASB。 (1)求证:平面SAB平面ABCD; (理科)(2)求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值 (文科) ( 2) 设 P 为 SD 的中点 ,求三棱锥SACP的体积 19 (本题满分12 分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动. 为了了解本 12 0, ,abe e 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 12 lglgmeem 成绩(分) 频率 组距 y 0.010 0.040 x 0.016 1009080706050O y x B A O F 次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(
8、得分取正整数,满分为100 分)作为样本(样 本容量为n)进行统计 . 按照50, 60),60, 70),70, 80),80, 90),90,100的分组作出频率分布 直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50, 60),90,100的数据) (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值; (理科)(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80 分以上(含80 分)的学生中随机抽取3 名学生参 加“中国汉字听写大会”,设随机变量X表示所抽取的3 名学生中得分在80, 90)内的学生人数,求 随机变量 X的分布列及数学期望 (文科)(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80 分以上(含8
9、0 分)的学生中随机抽取2 名学生参 加“中国汉字听写大会”,求所抽取的2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率 20. (本题满分12 分) 如图,椭圆C : 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B,且 5 | 2 ABBF. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若斜率为2 的直线 l 过点(0, 2),且 l 交椭圆 C 于 P、Q两点,OPOQ. 求直线 l的方程及椭圆C的方程 . 21 (本题满分12 分) 已知函数 2 ( ) x f xexa , x R 的图像在点0x处的切线为 ybx (2 . 7 1 8 2e). (1)求函
10、数( )f x的解析式; 5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4 (理科)(2)若 kZ ,且 21 ( )(352 )0 2 f xxxk对任意 xR 恒成立,求k 的最大值 . (文科)(2)若( )f xkx对任意的(0,)x恒成立,求实数k 的取值范围 . 请考生在第22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22(本小题满分10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点 C 在圆上, ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直 BE 交圆于点D. (1)证明: DBDC; (2)设圆的半
11、径为1,BC3,延长 CE 交 AB 于点 F,求 BCF 外接圆的半径 23(本小题满分10 分)选修 44:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为 45cos , 55sin xt yt (t 为参数 ),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1与 C2交点的极坐标 ( 0,0 2) 24(本小题满分10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数f(x) |2x1|2xa|,g(x)x3. (1)当 a 2 时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)设 a 1,且当 x 1 , 2
12、 2 a 时, f(x)g(x),求 a 的取值范围 长安一中高三级第三次教学质量检测数学答题纸 二填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 25 分将答案填写下面的横线上 13;14;15; 16. . 三解答题:本大题共6 小题,共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分12 分) 18. (本题满分12 分) 19. (本题满分12 分) 20. (本题满分12 分) 21. (本题满分12 分) 请考生在第22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号(本题满分10 分)。 数学参考答案 第卷(选择题共 60 分) 一
13、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1. A 2.D 3C 4 C 5.B 6A 7. A 8. B 9D 10 D 11 C 12 A 第卷(非选择题共 90 分) 二填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 25 分将答案填写在题中的横线上 13 2 3 ;14 17 64 ;15 (-,0) ; 16. 38; 三解答题:本大题共6 小题,共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分12 分) 解: ()由已知得 1 1 nn aa,即 1 1 nn aa,又 1 1a, 所以数列 n a是
14、以 1 为首项,公差为1 的等差数列,故1(1) 1 n ann.,4 分 ()由()知: n an,从而 1 2 n nn bb. 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb 12 12 222121 12 n nnn . ,8 分 因为 2212 21(21)(21)(21) nnn nnnb bb 2222 25 2124 21 nnnn 20 n 2 21nnn b bb. ,12 分 18. (本题满分12 分) (1)证明:连接AC,取AB的中点E,连接SE、EC, 2SASB,SEAB,2AB, 1SE, 又四棱锥SABCD的底面为菱形 , 且 60ABC,ABC是
15、是等边三角形, 2AB3CE,又2SC, 222 SCCESE,SEEC, SE面ABCD (理科)(2)由()知,分别以,EC EB ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标 系 。 则 面ABS的 一 个 法 向 量m(1,0,0),(0, 1,0)A,(0,0,1)S,(3, 2,0)D, ( 3,1,0),(0,1,1)ADAS, 设面ADS的法向量n( , )x y z, 则ADn30xy, AS n0yz,令3y,则1,3xz,由n(1, 3,3),设平面ADS与平面 ABS所夹角的大小为,则 cos m n m n 17 7 17 (文科)() SACP V= PACS
16、 V= DACS V- DACP V= DACS V 2 1 = 6 3 12 4 3 3 1 2 12 19 (本小题满分12 分) 解: (1)由题意可知,样本容量 8 50 0.016 10 n , 2 0.004 50 10 y , 0.1000.0040.0100.0160.0400.030x . ,4 分 (理科)(2)由题意可知,分数在80, 90)内的学生有5 人,分数在90,100内的学生有2 人,共 7 人. 抽取的 3 名学生中得分在80, 90)的人数 X的可能取值为 1,2, 3,则 12 52 3 7 51 (1) 357 C C P X C , 21 52 3 7
17、 204 (2) 357 C C P X C , 30 52 3 7 102 (3) 357 C C P X C . 所以X的分布列为 ,10 分 所以 14215 123 7777 EX. ,12 分 (文科)(2)由题意可知,分数在80, 90)内的学生有5人,记这 5 人分别为 1 a, 2 a, 3 a, 4 a, 5 a, 分数在90,100内的学生有2 人,记这 2 人分别为 1 b, 2 b. X1 2 3 P 1 7 4 7 2 7 抽取的 2 名学生的所有情况有21 种,分别为: ( 1 a, 2 a) , ( 1 a, 3 a) , ( 1 a, 4 a) , ( 1 a,
18、 5 a) , ( 1 a, 1 b) , ( 1 a, 2 b) , ( 2 a, 3 a) , ( 2 a, 4 a) , ( 2 a, 5 a) , ( 2 a, 1 b) , ( 2 a, 2 b) , ( 3 a, 4 a) , ( 3 a, 5 a) , ( 3 a, 1 b) , ( 3 a, 2 b) , ( 4 a, 5 a) , ( 4 a, 1 b) , ( 4 a, 2 b) , ( 5 a, 1 b) , ( 5 a, 2 b) , ( 1 b, 2 b).8 分 其中 2 名同学的分数都不在90,100内的情况有10 种,分别为: ( 1 a, 2 a) , ( 1
19、 a, 3 a) , ( 1 a, 4 a) , ( 1 a, 5 a) , ( 2 a, 3 a) , ( 2 a, 4 a) , ( 2 a, 5 a) , ( 3 a, 4 a) , ( 3 a, 5 a) , ( 4 a, 5 a). 所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率 1011 1 2121 P. ,12 分 20 (本小题满分12 分) 解: (1)由已知 5 | 2 ABBF, 即 22 5 2 aba, 222 445aba, 2222 44()5aaca, 3 2 c e a . ,4 分 (2)由()知 22 4ab,椭圆C: 22 22 1 4 x
20、y bb . 设 11 (,)P xy, 22 (,)Q xy, 直线 l 的方程为22(0)yx,即220xy. 由 222 22 22 220 4(22)40 1 4 xy xxb xy bb , 即 22 17321640xxb. 222 17 3216 17(4)0 17 bb. 12 32 17 xx, 2 12 164 17 b x x. ,8 分 OPOQ,0OP OQ, 即 1212 0x xy y, 1212 (22)(22)0x xxx, 1212 54()40x xxx. 从而 2 5(164)128 40 1717 b ,解得1b, 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x
21、y. ,12 分 21. (本题满分12 分) 解: (1) 2 ( ) x f xexa,( )2 x fxex. 由已知 (0)101 (0)11 faa fbb , 2 ( )1 x f xex. ,4 分 (理科)(2) 21 ( )(352 )0 2 f xxxk对任意 xR 恒成立, 2 15 10 22 x exxk对任意 xR 恒成立, 215 1 22 x kexx对任意 xR 恒成立 . ,6 分 令 215 ( )1 22 x h xexx, 5 ( ) 2 x h xex,易知( )h x在R上单调递增, 又 3 (0)0 2 h, 3 (1)0 2 he, 1 2 1
22、 ()20 2 he, 333 442 3777512771 ( )2.561.620 4444125444 he, 存在唯一的 0 13 (,) 24 x,使得 0 ()0h x, ,8 分 且当 0 (,)xx时,( )0h x, 0 (,)xx时,( )0h x. 即( )h x在 0 (,)x单调递减,在 0 (,)x上单调递增, 0 2 min000 15 ( )()1 22 x h xh xexx,又 0 ()0h x,即 0 0 5 0 2 x ex, 0 0 5 2 x ex. 22 000000 5151 ()1(73) 2222 h xxxxxx, 0 13 (,) 24
23、x, 0 271 ()(,) 328 h x. 215 1 22 x kexx对任意 x R 恒成立, 0 ()kh x,又 kZ , max 1k. ,12 分 (文科) (2)( )f xkx对任意的(0,)x恒成立 ( )f x k x 对任意的(0,)x恒成立,令 ( ) ( ),0 f x g xx x , 2 222 ( )( )(2 )(1)(1)(1) ( ) xxx xfxf xx exexxex g x xxx . 易证:当(0,)x时,10 x ex恒成立,,8 分 令( )0gx,得1x;( )0g x,得 01x. ( )g x的增区间为(1,),减区间为(0,1).
24、 min ( )(1)0g xg. min ( )(1)0kg xg,实数 k的取值范围为(, 0). , 12 分 22(本小题满分10 分) (1)证明: 连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,ABE BCE. 而 ABE CBE,故 CBE BCE,BE CE. 又因为 DBBE, 所以 DE 为直径, DCE 90 , 由勾股定理可得DBDC. (2)解: 由(1)知, CDE BDE, DBDC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以BG 3 2 . 设 DE 的中点为O,连结 BO,则 BOG60 . 从而 ABE BCE CBE 30 , 所以 CFBF,故 RtBCF
25、 外接圆的半径等于 3 2 . 23(本小题满分10 分) 解: (1)将 45cos , 55sin xt yt 消去参数t,化为普通方程(x4)2(y5) 225, 即 C1:x2y28x10y160. 将 cos , sin x y 代入 x2y28x10y160 得 28 cos 10 sin 160. 所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160. (2)C2的普通方程为 x2y22y0. 由 22 22 810160, 20 xyxy xyy 解得 1, 1 x y 或 0, 2. x y 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2, 4 , 2, 2 . 24(本小题满分10 分) 解: (1)当 a 2 时,不等式f(x) g(x)化为 |2x1|2x 2| x30. 设函数 y|2x1|2x2|x3, 则 y 1 5 , 2 1 2,1, 2 36,1. x x xx xx 其图像如图所示从图像可知,当且仅当x (0,2)时, y0. 所以原不等式的解集是x|0x2 (2)当 x 1 , 2 2 a 时, f(x)1a. 不等式 f(x)g(x)化为 1ax3.所以 xa2 对 x 1 , 2 2 a 都成立 故 2 a a2,即 4 3 a.从而 a 的取值范围是 4 1, 3 .
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