高一数学直线方程知识点归纳及典型例题..pdf
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1、直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1掌握直线的一般式方程; 2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处; 3能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一:直线方程的一般式 关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0 ,这个方程 (其中 A、B 不全为零 ) 叫做直线方程的一般式 要点诠释: 1A、B 不全为零才能表示一条直线,若A、B 全为零则不能表示一条直线. 当 B0时,方程可变形为 AC yx BB ,它表示过点0, C B ,斜率为 A B 的直线 当 B=0,A0时,方
2、程可变形为Ax+C=0 ,即 C x A ,它表示一条与x 轴垂直的直线 由上可知,关于x、 y 的二元一次方程,它都表示一条直线 2在平面直角坐标系中,一个关于x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可 以对应着无数个关于x、 y 的一次方程 (如斜率为2, 在 y 轴上的截距为1 的直线,其方程可以是2xy+1=0 , 也可以是 11 0 22 xy,还可以是4x 2y+2=0 等 ) 要点二:直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表: 名称方程的形式常数的几何意义适用范围 点斜式yy 1=k(x x1) (x1,y1)是直线上一定点, k 是斜率不垂
3、直于x 轴 斜截式y=kx+b k 是斜率, b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴 两点式 11 2121 yyxx yyxx (x1,y1) , (x2,y2)是直线上两定点不垂直于x 轴和 y 轴 截距式 1 xy ab a 是直线在x 轴上的非零截距,b 是直 线在 y 轴上的非零截距 不垂直于x 轴和 y 轴, 且不过原点 一般式Ax+By+C=0 ( A2+B 20 ) A、B、C 为系数任何位置的直线 要点诠释: 在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要 求 直 线 存 在 斜 率 , 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ,
4、其 限 制 条 件 更 多 ( x1x 2, y1y2) , 应 用 时 若 采 用 (y2y1)(x x1) (x2x1)(y y1)=0 的形式,即可消除局限性截距式是两点式的特例,在使用截距式时, 首先要判断是否满足“ 直线在两坐标轴上的截距存在且不为零” 这一条件直线方程的一般式包含了平面上 的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的 方程也不同 要点三:直线方程的综合应用 1已知所求曲线是直线时,用待定系数法求 2根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程 对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同 ( 1
5、)从斜截式考虑 已知直线 111: bxkyl, 222: bxkyl, 12121212 /()llkk bb; 121212112 2 1 tancot1 2 llkk k k 于是与直线ykxb平行的直线可以设为 1 ykxb;垂直的直线可以设为 2 1 yxb k ( 2)从一般式考虑: 11112222 :0,:0lA xB yClA xB yC 1212120 llA AB B 121221 / /0llA BA B且 1221 0ACA C或 1221 0BCB C,记忆式( 111 222 ABC ABC ) 1 l与 2 l重合, 1221 0ABA B, 1221 0ACA
6、 C, 1221 0B CB C 于 是 与 直 线0AxByC平 行 的 直 线 可 以 设 为0AxByD; 垂 直 的 直 线 可 以 设 为 0BxAyD. 【典型例题】 类型一:直线的一般式方程 例 1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程 (1)斜率是 1 2 ,经过点A(8,2) ; (2)经过点B(4,2) ,平行于x 轴; (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3 2 ,3; (4)经过两点P1( 3,2) ,P2(5,4 ) 【答案】(1) x+2y4=0 (2)y2=0(3)2xy3=0 (4)10xy 【解析】( 1)由点斜式方程得 1 ( 2)(8) 2
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