高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)..pdf
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1、函数的单调性和奇偶性 例 1(1)画出函数y -x 2+2x+3 的图像,并指出函数的单调区间 解:函数图像如下图所示,当 x0 时,y-x 2+2x+3 - (x-1)2+4;当 x0 时,y-x2-2x+3 - ( x+1) 2+4在( -,-1和 0,1上,函数是增函数:在 -1,0和 1,+ )上,函数是减函数 评析函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函 数有意义,都可以带上 (2)已知函数f( x) x 2+2(a-1)x+2 在区间( - ,4上是减函数,求实数 a 的取值范围 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征 解: f(
2、x) x 2+2(a-1)x+2 x+(a-1)-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是 x1-a因为 在区间( - ,1-a上 f( x)是单调递减的,若使f(x)在( -,4上单调递减,对称轴x1-a 必须 在 x=4 的右侧或与其重合,即1-a4 ,a -3 评析这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合 例 2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)- (2)f(x)( x-1) 解: (1)f(x)的定义域为R因为 f(-x) -x+1-x-1 x-1-x+1 -f(x) 所以 f(x)为奇函数 (2)f(x)的定义域为x-1x1,不关于原点对称所以
3、f(x)既不是奇函数,也不是偶 函数 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下: (1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称 (2)计算 f(-x),并与f( x)比较,判断f(-x) f( x)或 f(-x) -f(x)之一是否成立f (-x)与 -f(x)的关系并不明确时,可考查f( -x) f(x) 0 是否成立,从而判断函数的奇偶性 例 3已知函数f( x) (1)判断 f(x)的奇偶性 (2)确定 f(x)在( - ,0)上是增函数还是减函数?在区间( 0,+)上呢 ?证明你的结论 解: 因为 f(x)的定义域为R,又 f(-x)f(x), 所以 f(x)为偶函数 (2)f
4、( x)在( - ,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在( 0,+)上为减函数 其证明:取x1x2 0, f(x1)-f(x2) - 因为 x1x20,所以 x2-x10,x1+x20, x 2 1+10,x 2 2+10, 得f(x1)-f(x2) 0,即 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在( - ,0)上为增函数 评析奇函数在( a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与( -b,-a)的单 调性相反 例 4已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+)上是增函数,且f(x) 0,试问 F(x) 在( - , 0)上是增函数还是减函数?证明你
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