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1、函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中 xk+/2 ;y=cotx 中 xk等等。 ( 6 ) 0 x中 x0 二、值域是函数y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法:(1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法(4)配方法 (5)换元法(包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法(8)判别式法 (9)复合函数法(10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学
2、的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例 1 求下列函数的定义域: 2 1 )( x xf;23)(xxf; x xxf 2 1 1)( 解: x-2=0 ,即 x=2 时,分式 2 1 x 无意义, 而2x时,分式 2 1 x 有意义,这个函数的定义域是2| xx. 3x+2 3 7 定义域为: 3 7 |xx 2 定义域的逆向问题 例 3 若函数 a axaxy 1 2 的定义域是R, 求实数 a 的取值范围(定义域的逆向问题) 解:定义域是R, 恒成立,0 12 a axax 20 0 1 4 0 2 a a aa a 等价于 练习: 3 2 2 log mxxy 定义域是一切实数
3、,则m 的取值范围; 3 复合函数定义域的求法 例 4 若函数)(xfy的定义域为 1, 1,求函数) 4 1 (xfy) 4 1 (xf的定义域 解: 要使函数有意义,必须: 4 3 4 3 4 5 4 3 4 3 4 5 1 4 1 1 1 4 1 1 x x x x x 函数 ) 4 1 (xfy) 4 1 (xf 的定义域为: 4 3 4 3 |xx 例 5 已知 f(x)的定义域为 1,1,求 f(2x1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在 1,1 内取值,则法则作用在2x 1 上必也要求2x1 在 1,1 内取值,即12x 11, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者
4、从 位置上思考f(2x 1)中 2x1 与 f(x) 中的 x 位置相同,范围也应一样,1 2x1 1, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意: f(x)中的 x 与 f(2x 1) 中的 x 不是同一个x,即它们意义不同。 ) 解: f(x)的定义域为 1, 1 , 1 2x11,解之 0 x1, f(2x 1) 的定义域为 0 ,1 。 例 6已知已知 f(x)的定义域为 1,1,求 f(x2)的定义域。 答案: 1x21 x2 1 1x1 练习:设)(xf的定义域是 3,2,求函数)2(xf的定义域 解: 要使函数有意义,必须: 223x 得: 221x x 0 220x
5、2460x 函数 )2(xf 的定域义为: 2460|xx 例 7 已知 f(2x1)的定义域为 0,1,求 f(x)的定义域 因为 2x 1 是 R上的单调递增函数,因此由2x1, x 0,1求得的值域 1,1 是 f(x)的定义域。 练习: 1 已知 f(3x1)的定义域为 1,2) ,求 f(2x+1)的定义域。2 , 2 5 ) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知 f(x 2)的定义域为 1,1,求 f(x)的定义域 3 若yfx的定义域是0,2,则函数121fxfx的定义域是() 1,1 2 1 , 2 1 1 , 2 1 1 0, 2 4 已知函数 1 1 x fx x 的定义域为,函数yffx的定义域为,则() ABB BAABBAB 求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数 y=ax+b(a0) 的定义域为R,值域为R; 反比例函数 )0(k x k y 的定义域为 x|x0 ,值域为 y|y0 ; 二次函数 )0()( 2 acbxaxxf 的定义域为R,
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