高中数学排列组合经典题型全面总结版..pdf
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1、高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 1 3 C 然后排首位共有 1 4 C 最后排其它位置共有 3 4 A 由分步计数原理得 113 434 288C C A 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲
2、乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522 522 480A A A种不同的排法 乙甲丁丙 练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种? 解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有 5 5 A种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有 种 4 6 A
3、 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有 54 56 A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中,且两 个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数, 则共有不同排法种数是: 73 73 /AA ( 空位法 ) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
4、 4 7 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 4 7 A 种 方法。 思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法 ) 先排甲乙丙三个人, 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有方法 练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排5 人, 要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10 C 五. 重排问题求幂策略 例 5. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步: 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推 , 由分步计数原 理共有 6 7种不同的排法 练习题
5、: 1 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 8 7 C 1 4A 3 4C 1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素
6、不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不 同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为 n m种 六. 环排问题线排策略 例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 4 4 A并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有 (8-1 ) !种排法即7! H F D C A AB CD EA B E G HGF 练习题: 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七. 多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排, 丙在后排 ,共有多少排法 解:8 人排前后两排 , 相当于
7、8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有 2 4 A种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 1 4 A种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 5 5 A种, 则共有 215 445 A A A种 前 排后 排 练习题:有两排座位,前排11 个座位,后排12 个座位,现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐,并且这2 人不左右相 邻,那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略 例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法. 解:第一步从5 个球中选出2 个组成复合元共有 2 5 C
8、种方法 .再把 4 个元素 ( 包含一个复合元素) 装入 4 个不同的盒内有 4 4 A种 方法,根据分步计数原理装球的方法共有 24 54 C A 练习题:一个班有6 名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长有且只有1 人参加 ,则不同的选法有 192 种 九. 小集团问题先整体后局部策略 例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个? 解:把 , , , 当作一个小集团与排队共有 2 2 A种排法,再排小集团内部共有 22 22 A A种排法,由分步计数原理共有
9、 222 222 A A A种排法 . 15243 练习题: . 计划展出 10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起, 并且水 彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 254 254 A A A 2. 5 男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有 255 255 A A A种 十. 元素相同问题隔板策略 例 10. 有 10个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个, 有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板,可把名额 分成份,对
10、应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 6 9 C种分法。 一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)! 种排法 .如果从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有 1 m n A n 一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究 . 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 一 班 二 班 三 班 四 班 五 班 六 班 七 班 练习题: 1 10个相同的球装5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法? 4 9 C 2 .100xyzw求这个方程组的自然数解的组数 3 103 C 十一 . 正难则反总体淘汰策略 例 1
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