高中数学解析几何大题精选.pdf
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1、* 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M到点F13 , 0 , F23 , 0的距离之和是4,点M的轨迹 是C与 x 轴的负半轴交于点A,不过点A的直线l : ykxb 与轨迹C交于不同的两点P和 Q 求轨迹C的方程; 当 APAQ0 时,求k与b的关系,并证明直线l过定点 【解析】 2 x 4 21 y y 将 ykxb 代入曲线C的方程, 整理得 222 (14k)x8kbx4b40 , P 因为直线l与曲线C交于不同的两点P和 Q , AO x 所以 222222 64k b4(14k )(4b4)16(4kb1)0 Q 且 2 8kb4b4 设 P x1, y1, Q x
2、2, y2,则 12, xxx x 2122 14k14k 22 b4k 22 yy(kxb)(kxb)k x xkb(xx )b, 121212122 14k 显然,曲线C与 x 轴的负半轴交于点A2 , 0 , 所以 APx12 , y1, AQx22 , y2 由 APAQ0 ,得 ( x2)( x2)y y0 1212 将 、 代入上式,整理得 22 12k16kb5b0 所以 (2kb)(6k5b)0 ,即b2k或 6 bk 经检验,都符合条件 5 当b2k时,直线l的方程为ykx2k 显然,此时直线l经过定点2 , 0点 即直线l经过点A,与题意不符 当 6 bk 时,直线l的方程
3、为 5 66 ykxkkx 55 显然,此时直线l经过定点 6 5 , 0点,满足题意 综上,k与b的关系是6 bk ,且直线l经过定点 5 6 5 , 0 2.已知椭圆C 22 xy :1 22 ab (ab0) 的离心率为 1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线xy60 相切 求椭圆C的方程; 设 P(4,0) ,A,B是椭圆C上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于 另一点E,证明直线AE与 x 轴相交于定点Q ; 在的条件下,过点Q 的直线与椭圆C交于M,N两点,求OMON 的取值范围 * * 【解析】 22 xy 43 1 由题意知直线PB的斜率存在,设
4、直线PB的方程为yk(x4) * yk( x4), 由x2y 2 得 1. 43 2222 (4k3)x32kx64k120 设点 B (x1,y1) , E(x2,y2) ,则A(x1,y1) 直线AE的方程为 yy 21 yy(xx ) 22 xx 21 令 y0 ,得 xx 2 y (xx ) 221 yy 21 将 y1k(x14) , y2k (x24) 代入整理,得x 2x x4(xx ) 1212 xx 12 8 22 32k64k12 由 得x x xx, 122122 4k34k3 所以直线AE与 x 轴相交于定点Q(1 ,0) 代入 整理,得x1 5 4, 4 .设椭圆 2
5、2 xy C :1(ab0) 22 ab 的一个顶点与抛物线 2 C : x43y 的焦点重合,F1, F2分 别是椭圆的左、右焦点,且离心率 点 1 e,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M 、 N两 2 求椭圆C的方程; 是否存在直线l,使得 OMON2 若存在, 求出直线l的方程; 若不存在, 说明理由 【解析】 22 xy 43 1 由题意知,直线l与椭圆必有两个不同交点 当直线斜率不存在时,经检验不合题意 设存在直线l为 yk (x1)( k0),且 M (x1,y1) , N ( x2,y2) 22 xy 1 由,得 43 yk (x1) 2222 (34k ) x8k x4k1
6、20 , 2 8k xx 122 34k , 2 4k12 x x 122 34k , 2 OMONx1x2y1y2x1x2k x1x2(x1x2)1 222 4k128k5k12 222 (1k )kk2 222 34k34k34k , 所以 k2 , 故直线l的方程为y2( x1)或 y2( x1) * * 本题直线l的方程也可设为myx1 ,此时m 一定存在,不能讨论,且计算时 数据更简单 * .如图, 椭圆 2 2 x y C1 : 2 2 1 a b 0 a b 的离心率为 3 2 , x 轴被曲线 2 C2 : y x b 截得的线 段长等于 C 的长半轴长 1 求 C1 ,C2
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