高中数学:求函数值域的方法十三种.pdf
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1、高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法() 二、配方法() 三、分离常数法() 四、反函数法() 五、判别式法() 六、换元法() 七、函数有界性 八、函数单调性法() 九、图像法(数型结合法)() 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、多种方法综合运用 一、观察法:从自变量 x的范围出发,推出( )yf x的取值范围。 【例 1】求函数1yx的值域。 【解析】0x,1 1x,函数1yx的值域为1,)。 【例 2】求函数 x 1 y 的值域。 【解析】 0x 0 x 1 显然函数的值域是: ),0()0,( 【例 3】已知函数 11 2 xy,2, 1 , 0,
2、 1x,求函数的值域。 【解析】因为2, 1 ,0 , 1x,而331ff,020ff,11f所以:3, 0, 1y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为Rx,则函数的值域为1| yy。 二 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 2 ( )( )( )F xafxbf xc 的函数的 值域问题,均可使用配方法。 【例 1】 求函数 2 25, 1,2yxxx的值域。 【解析】将函数配方得:由二次函数的性质可知:当x=1 -1,2时,当 时,故函数的值域是:4 ,8 【变式】 已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函
3、数配 方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间内,如图2 所示。函数的最小值为,最大值为。 图 2 【例 2】若函数 2 ( )22, ,1f xxxxt t当时的最小值为( )g t,( 1)求函数( )g t ( 2)当t-3,-2时,求 g(t)的最值。 (说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法) 【解析】 (1)函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。 图 1 图 2 图 3 如图1 所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有,此时,当时,函数取得最小值 。 如图2 所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即。当时,函数取得最小 值。
4、如图 3 所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即。当时,函数取得最小值 综上讨论, g(t)= 01 10,1 1,1)1( )( 2 2 min tt t tt xf (2) 2 2 1(0) ( )1(01) 22(1) tt g tt ttt (,0t时, 2 ( )1g tt为减函数 在 3, 2上, 2 ( )1g tt也为减函数 min ( )( 2)5g tg, max ( )( 3)10g tg 【例 3】已知 2 ( )22f xxx,当1()xtttR,时,求( )f x的最大值 【解析】由已知可求对称轴为 1x (1)当 1t 时, 2 minmax ( )( )23(
5、)(1)2f xf tttf xf tt, (2)当 11tt ,即 01t 时, 根据对称性 , 若 2 1 2 1tt 即 1 0 2 t 时, 2 max ( )( )23f xf ttt 若 2 1 2 1tt 即 1 1 2 t 时, 2 max ( )(1)2f xf tt (3)当 11t 即 0t 时, 2 max ( )( )23f xf ttt 综上, 2 1 ,32 2 1 , 2 )( 2 2 max ttt tt xf 观察前两题的解法, 为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?这些 问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上的的最
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