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1、(一)平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系; 高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: 线线线面面面 公理 4 (a/b,b/c ac/ / ) 线面平行判定 / , / ab ab 面面平行判定1 ab ab a / , / 面面平行性质 ab abA ab , /,/ / 线面平行性质 a a b ab / / 面面平行性质1 / / a a 面面平行性质 / / / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: 线线线面面面 三垂线定理、
2、逆定理 PAAOPO a a OAaPO a POa AO ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b abO l a lb l , , a a 线面垂直定义 l a l a 面面垂直性质,推论2 b aab a , a a 面面垂直定义 ll,且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化: 线线线面面面 线面垂直判定2 面面平行判定2 线面垂直性质2 面面平行性质3 ab a b / / a b ab/ / a a / / / / a a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角:0
3、 90 ( 2)直线与平面所成的角:0 90 ( 3)二面角:二面角的平面角,0 180 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即: (1)找出或作出有关的角;( 2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角;(4)计算大小。 【典型例题】 (一)与角有关的问题 例 1. (1)如图, E、F 分别为三棱锥PABC 的棱 AP、BC 的中点, PC10,AB 6,EF7,则异 面直线 AB 与 PC 所成的角为() A. 60B. 45C. 30D. 120 解: 取 AC 中点 G,连结 EG、FG,则 EGPCFGAB, 1 2 1 2 EGF 为 AB 与 PC 所成的角
4、在 EGF 中,由余弦定理, cos EGF EGFGEF EGFG 222222 2 537 253 1 2 AB 与 PC 所成的角为180 120 60 选 A (2)已知正四棱锥以棱长为1 的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面积,则这一正 四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为() ABCD 13 13 3 6 3 3 26 26 解: 设正四棱锥的高为,斜高为hhh 2 2 1 2 由题意: 1 2 41 1 2 161 2 2 22 h h 2 6 侧棱长 PBhOB 22 2 6 2 2 26 2 cosPBO OB PB 2 2 26 2 13 13 选 A ( )如
5、图,在正方体中, 为上的一个定点,为3 111111 ABCDA B C DPA DQ A BEFCDEF 11上的任意一点, 、 为上任意两点,且的长为定值,有下列命题: 点 P 到平面 QEF 的距离为定值; 直线 PQ 与平面 PEF所成的角为定值; 二面角P EFQ 的大小为定值; 三棱锥PQEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是_。 解: 平面即是平面QEFA B CD 11 上定点到面的距离为定值A DPA B CD 1111 对,错 二面角,即面与面所成的角,且平面角为定PEFQPDFA B CDPDA 111 值,对 因为,且为定值,为定值A BDCEFS QEF11 又 点到平面的距离为定值,为定值,对PQEFV P QEF 综上,正确。 例 2. 图是一个正方体的表面展开图,MN 和 PQ 是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN , PQ 画出来,并就这个正方体解答下列各题: (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比;
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