《32一元二次不等式及其解法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《32一元二次不等式及其解法.pdf(9页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 教学目标 :理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式 的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 重点 :从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 难点 :理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 教学过程 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教 师 引 导 学 生 分 析 问 题 、 解 决 问 题 , 最 后 得 到 一 元 二 次 不 等 式 模 型 : 2 50xx,(1) 2.
2、讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象 2 50xx这样, 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式, 称为一元二次不等 式 2)探究一元二次不等式 2 50xx的解集 怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 2 5yxx的图象,如图,观察函数图象,可知: 2 50xx;当 x5 时,函数图象位于x 轴上方,此时,y0, 即 当 00 与cbxax2 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方 程cbxax 2 =0的判别式acb4 2 三种取值情况(
3、0,=0, 0 分 O ,=0, 0 与cbxax 2 0(或0) 计算判别式,分析不等式的解的情况: .0 时,求根 1 x0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆) 与创造的价值y(元)之间有如下的关系: 2 2220yxx 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生 产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车,根据题意,我们得到 2 22206000xx 移项整理,得 2 11030000xx 因为1000,所以方程 2
4、11030000xx有两个实数根 12 50,60xx 由二次函数的图象,得不等式的解为:500,b0, 我们用分别代替a、b ,可得2abab, 通常我们把上式写作:(a0,b0) 2 ab ab 2 )从不等式的性质推导基本不等式 2 ab ab 用分析法证明: 要证 2 ab ab (1) 只要证 a+b (2) 要证( 2) ,只要证 a+b- 0 (3) 要证( 3) ,只要证( - ) 2 (4) 显然, (4)是成立的。当且仅当a=b 时, ( 4)中的等号成立。 3)理解基本不等式 2 ab ab的几何意义 探究:课本第110 页的“探究” 在右图中, AB是圆的直径,点C 是
5、 AB上的一点, AC=a,BC=b 。过点 C作垂直于 AB的弦 DE,连接 AD 、 BD 。你能利用这个图形得出基本不等式 2 ab ab的几 何解释吗? 易证tADtD B,那么D 2 AB 即Dab. 这个圆的半径为 2 ba ,显然,它大于或等于CD,即ab ba 2 ,其中当且仅当点C与圆心重合, 即ab时,等号成立 . 因此:基本不等式 2 ab ab几何意义是“半径不小于半弦” 评述: 1. 如果把 2 ba 看作是正数a、b的等差中项, ab看作是正数a、b的等比中项,那么该定 理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 2. 在数学中,我们称 2 ba 为a、
6、b的算术平均数,称ab为a、b的几何平均数 . 本节定理还 可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 补充例题 例 1 已知x、y都是正数,求证:(1) y x x y 2; (2) (xy) (x 2 y 2) ( x 3 y 3) x 3y3. 分析:在运用定理:ab ba 2 时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质( 把握好每 条性质成立的条件),进行变形 . 解:x,y都是正数 y x 0, x y 0,x 20, y 20,x30, y 30 (1) x y y x x y y x 22 即 x y y x 2. (2)xy2xy0 x 2 y 2222 yx0
7、x 3y3233 yx0 (xy) (x 2 y 2) ( x 3 y 3) 2 xy2 22 yx2 33 yxx 3y3 即(xy) (x 2 y 2) ( x 3 y 3) x 3y3. 3. 随堂练习 1. 已知a、b、c都是正数,求证: (ab) (bc) (ca)abc 分析:对于此类题目,选择定理:ab ba 2 (a0,b0)灵活变形,可求得结果. 解:a,b,c都是正数 ab2ab 0 bc2bc 0 ca2ac 0 (ab) (bc) (ca) 2ab2bc2acabc 即(ab) (bc) (ca)abc. 4.课时小结 本节课,我们学习了重要不等式a 2 b 22ab;
8、 两正数 a、b的算术平均数( 2 ba ) , 几何平均数(ab) 及它们的关系( 2 ba ab)a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数 . 它们既是不等式变形 的基本工具,又是求函数最值的重要工具( 下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面 的等价变形来解决问题:ab 2 22 ba ,ab( 2 ba ) 2. 5.评价设计 课本第 113 页习题 A 组的第 1 题 3.4 基本不等式 2 ab ab 第 2 课时 教学目标 : 进一步掌握基本不等式 2 ab ab;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一 些简单的实际问题: 重点 : 基本不等式 2 ab ab的应
9、用 教学过程 1.课题导入 1重要不等式:如果 )“(2R, 22 号时取当且仅当那么baabbaba 2基本不等式:如果a,b 是正数,那么).“( 2 号时取当且仅当 baab ba 我们称ba ba , 2 为的算术平均数,称 baab,为 的几何平均数 ab ba abba 2 2 22 和成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数, 而后者要求a,b 都是正数。 2.讲授新课 例 1(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,
10、菜 园的面积最大,最大面积是多少? 解: (1)设矩形菜园的长为x m , 宽为 y m , 则 xy=100,篱笆的长为2 (x+y) m。由 2 xy xy, 可得2 100xy,2()40xy。等号当且仅当x=y 时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m. (2)解法一:设矩形菜园的宽为xm ,则长为( 36 2x)m ,其中 0x 2 1 ,其面积S x(362x) 2 1 2x( 362x) 2 1 2 2 236236 () 28 xx 当且仅当2x36 2x,即x9 时菜园面积最大, 即菜园长9m, 宽为 9 m时菜园面积
11、最大为81 m 2 解法二: 设矩形菜园的长为x m., 宽为 y m , 则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2 。 由 18 9 22 xy xy,可得81xy 当且仅当x=y, 即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积是81m 2 归纳: 1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,bR ,且 abM,M为定值, 则ab 4 2 M ,等号当且仅当ab时成立 . 2. 两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,bR ,且 abP,P为定值, 则ab2P,等号当且仅当ab时成立 . 例 2 某工
12、厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3, 深为 3m ,如果池底每 1m 2 的造价为 150 元,池壁每1m 2 的造价为120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的 最值,其中用到了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为xm ,水池的总造价为l元,根据题意,得 ) 1600 (720240000 x xl 297600402720240000 1600 2720240000 x x 当.2976000,40, 1600 有最小值时即lx x x 因此,当水池的底面是边长为40m
13、的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600 元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不 等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1) 先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2) 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3) 在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4) 正确写出答案 . 3.随堂练习 : 1. 已知x0,当x取什么值时,x 2 2 81 x 的值最小 ?最小值是多少 ? 2课本第113 页的练习1、2、3、4 4. 课时小结:本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值 问题。在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列 三个条件: (1) 函数的解析式中,各项均为正数;(2) 函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须 有一个为定值;(3) 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数 的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 5.评价设计 : 课本第 113 页习题 A 组的第 2、 4 题
链接地址:https://www.31doc.com/p-5244507.html