[创新设计,教师用书](人教A版,理科)2016年高考数学第一轮复习细致讲解练-第五篇数列.pdf
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1、WORD 格式整理版 学习好帮手 第五篇数列A 第 1 讲数列的概念与简单表示法 最新考纲 1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式 ) 2了解数列是自变量为正整数的一类函数. 知 识 梳 理 1数列的概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排 在第一位的数称为这个数列的第1 项,通常也叫做首项 (2)数列的通项公式 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公 式叫做这个数列的通项公式 (3)数列的前 n 项和 在数列 an 中,Sna1a2 an叫做数列的前 n 项和 2数列的表示方法
2、(1)表示方法 列表法列表格表达 n 与 f(n)的对应关系 图象法把点(n,f(n)画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法 递推 公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1,a2和 an1f(an,an1)等表达数列 的方法 WORD 格式整理版 学习好帮手 (2)数列的函数特征:上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法,数列可以 看作是定义域为正整数集(或它的有限子集 1,2,n的函数 anf(n)当自变量 由小到大依次取值时所对应的一列函数值 * 3数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 单 调 性
3、 递增数列an1an 其中 nN * 递减数列an1an 常数列an1an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它 的前一项,有些项小于它的 前一项的数列 周期性? nN * ,存在正整数常数 k,ankan 4.an与 Sn的关系 若数列 an 的前 n 项和为 Sn,则 an S1,n1, SnSn1,n2. 辨 析 感 悟 1对数列概念的认识 (1)数列 1,2,3,4,5,6与数列 6,5,4,3,2,1表示同一数列 () (2)1,1,1,1,不能构成一个数列() 2对数列的性质及表示法的理解 (3)(教材练习改编 )数列 1,0,1,0,1,0,的通项公式,只能是an1 1 n1 2
4、.() (4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列() WORD 格式整理版 学习好帮手 (5)(2013 开封模拟改编 )已知 Sn3 n1,则 a n2 3 n1.() 感悟 提升 1一个区别“数列”与“数集” 数列与数集都是具有某种属性的数的全体,数列中的数是有序的, 而数集中的元 素是无序的,同一个数在数列中可以重复出现, 而数集中的元素是互异的, 如(1)、 (2) 2三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列, 如(4) 二是数列的通项公式不唯一,如(3)中还可以表示为an 1,n为奇数, 0,n为偶数 . 三是已知 Sn求 an时,一定要验证 n1 的特殊情
5、形,如 (5). 学生用书第 79 页 考点一由数列的前几项求数列的通项 【例 1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)1,7,13,19,; (2)2 3, 4 15, 6 35, 8 63, 10 99,; (3)1 2,2, 9 2,8, 25 2 ,; (4)5,55,555,5 555 ,. 解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(1)n,观察各项的绝 对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an (1)n(6n5) (2) 这 是 一 个 分 数 数 列 , 其 分 子 构 成 偶 数 数 列 , 而 分 母 可 分
6、 解 为 13,35,57,79,911,每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列 的一个通项公式为an 2n 2n1 2n1 . WORD 格式整理版 学习好帮手 (3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观 察即 1 2, 4 2, 9 2, 16 2 , 25 2 ,从而可得数列的一个通项公式为ann 2 2 . (4)将原数列改写为 5 99, 5 999, 5 9999,易知数列 9,99,999,的通项为 10 n1, 故所求的数列的一个通项公式为an5 9(10 n1) 规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面 的特征:分式中
7、分子、分母的各自特征;相邻项的变化特征;拆项后的各部分特 征;符号特征应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想 【训练 1】 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)1 2, 1 4, 5 8, 13 16, 29 32, 61 64,; (2)3 2,1, 7 10, 9 17,. 解(1)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 23 2 ,原数列可化为 2 13 2 1 , 2 23 2 2 ,2 33 2 3 ,2 43 2 4 , 因此可得数列的一个通项公式为an(1)n 2 n3 2
8、 n . (2)将数列统一为 3 2, 5 5, 7, 10 , 9 17,对于分子 3,5,7,9,是序号的 2 倍加 1, 可得分子的通项公式为bn2n1,对于分母2,5,10,17,联想到数列 1,4,9,16,即数列 n 2,可得分母的通项公式为 cnn 21,因此可得数列的 一个通项公式为 an2n1 n 21. 考点二由 an与 Sn的关系求通项 an 【例 2】 (2013 广东卷节选 )设数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 a11,2S n n an1 WORD 格式整理版 学习好帮手 1 3n 2n2 3,nN * . (1)求 a2的值; (2)求数列 an 的通项公
9、式 解(1)依题意, 2S1a21 31 2 3, 又 S1a11,所以 a24; (2)由题意 2Snnan11 3n 3n22 3n, 所以当 n2 时, 2Sn1(n1)an1 3(n1) 3(n1)22 3(n1) 两式相减得 2annan1(n1)an1 3(3n 23n1)(2n1)2 3, 整理得 (n1)annan1n(n1), 即 an1 n1 an n 1,又 a2 2 a1 1 1, 故数列 an n 是首项为 a1 1 1,公差为 1 的等差数列, 所以 an n 1(n1)1n,所以 ann2. 规律方法给出 Sn与 an的递推关系,求an,常用思路是:一是利用SnS
10、n1 an(n2)转化为 an的递推关系, 再求其通项公式; 二是转化为 Sn的递推关系, 先 求出 Sn与 n 之间的关系,再求an. 【训练 2】 设数列 an的前 n 项和为 Sn,数列 Sn的前 n 项和为 Tn,满足 Tn 2Snn 2,nN*. (1)求 a1的值; (2)求数列 an 的通项公式 解(1)令 n1 时,T12S11, T1S1a1,a12a11,a11. (2)n2 时,Tn12Sn1(n1) 2, 则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1. WORD 格式整理版 学习好帮手 因为当 n1 时,a1S11 也满足上式, 所
11、以 Sn2an2n1(n1), 当 n2 时,Sn12an12(n1)1, 两式相减得 an2an2an12, 所以 an2an12(n2),所以 an22(an12), 因为 a1230, 所以数列 an2是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列 所以 an232n 1,a n32 n12, 当 n1 时也成立, 所以 an32n 12. 学生用书第 80 页 考点三由递推公式求数列的通项公式 【例 3】 在数列 an中, (1)若 a12,an1ann1,则通项 an_; (2)若 a11,an13an2,则通项 an_. 审题路线(1)变形为 an1ann1? 用累加法,即 ana1(a
12、2a1)(a3a2) (anan1)? 得出 an. (2)变形为 an113(an1)? 再变形为 an11 an1 1 3? 用累乘法或迭代法可求 an. 解析(1)由题意得,当 n2 时,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2 (23n)2 n1 2n 2 n n1 2 1. 又 a12 1 11 2 1,符合上式, 因此 an n n1 2 1. (2)an13an2,即 an113(an1),即 an11 an1 3, WORD 格式整理版 学习好帮手 法一 a21 a11 3, a31 a213, a41 a313, an11 an1 3.将这些等式两边分别相 乘得 an
13、11 a11 3n. 因为 a11,所以 an11 11 3 n,即 a n123 n1(n1),所以 a n23 n1 1(n2),又 a11 也满足上式,故 an23 n11. 法二由 an11 an1 3,即 an113(an1), 当 n2 时,an13(an11), an13(an11)3 2(a n21)3 3(a n31)3 n1(a 11)23 n1, an23 n11; 当 n1 时,a1123 111 也满足 an23 n11. 答案(1)n n1 2 1(2)23 n11 规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关 系可以依次写出这个数列的各项,
14、 由递推关系求数列的通项公式, 常用的方法有: 求出数列的前几项, 再归纳猜想出数列的一个通项公式;将已知递推关系式 整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项 【训练 3】 设an是首项为1 的正项数列,且 (n1)a2 n1na 2 nan1 an0(n 1,2,3,),则它的通项公式an_. 解析 (n1)a2n1an1 anna2n0, (an1an)(n1)an1nan0, 又 an1an0,(n1)an1nan0, WORD 格式整理版 学习好帮手 即 an1 an n n1, a2 a1 a3 a2 a4 a3 a5 a4 an an1 1 2 2 3 3
15、4 4 5 n1 n ,an1 n. 答案 1 n 1求数列通项或指定项,通常用观察法(对于交错数列一般用 (1) n 或(1) n1 来区分奇偶项的符号 );已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项, 若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 2 由 Sn求 an时,an S1n1 , SnSn1n2 , 注意验证 a1是否包含在后面 an的公式 中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与 Sn的关系的数列题均可考虑上 述公式 3已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握一般 有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)“an1panq”这种形式通常转化为
16、an1 p(an ),由待定系数法求出 ,再化为等比数列; (3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法 4用函数的思想解决数列问题 【典例】(2013新课标全国卷 )等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 S100, S1525,则 nSn的最小值为 _ 解析由题意及等差数列的性质, 知 a1a100,a1a1510 3 . WORD 格式整理版 学习好帮手 两式相减,得 a15a1010 3 5d,所以 d2 3,a13. 所以 nSnn na1 n n1 2 d n 310n2 3 . 令 f(x) x 310x2 3 ,x0, 则 f(x) 1 3x(3x20),由
17、函数的单调性,可知函数 f(x)在 x 20 3 时取得最小值, 检验 n6 时,6S648,而 n7 时,7S749,故 nSn的最小值为 49. 答案49 反思感悟 (1)本题求出的 nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的 三次函数,因此可以采用导数法求解 (2)易错分析:由于n 为正整数,因而不能将 20 3 代入求最值,这是考生容易忽略 而产生错误的地方 【自主体验】 1设 an3n 215n18,则数列 a n 中的最大项的值是 () A. 16 3 B.13 3 C4 D0 解析 an3 n5 2 23 4,由二次函数性质,得当 n2 或 3 时,an最大,最 大为
18、0. 答案D 2已知an是递增数列,且对于任意的nN *,a nn 2n 恒成立,则实数 的 取值范围是 _ 解析设 f(n)ann2n ,其图象的对称轴为直线n 2,要使数列 an 为递 增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,故只需满足 2 3 2,即 WORD 格式整理版 学习好帮手 3. 答案(3, ) 对应学生用书 P285 基础巩固题组 (建议用时: 40 分钟) 一、选择题 1(2014 深圳中学模拟 )数列 0,2 3, 4 5, 6 7,的一个通项公式为 ( ) Aann1 n1(nN *) Ban n1 2n1(nN *) Can2 n1 2n1 (nN *)
19、Dan 2n 2n1(nN *) 解析将 0 写成 0 1,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表 示为 2(n1),nN *;分母为奇数列,可表示为 2n1,nN *,故选 C. 答案C 2若 Sn为数列 an的前 n 项和,且 Sn n n1,则 1 a5( ) A. 5 6 B.6 5 C. 1 30 D30 解析当 n2 时,anSnSn1 n n1 n1 n 1 n n1 ,1 a55(51)30. 答案D 3 (2014 贵阳模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn, 且 Sn2n 21, 则 a 3() A10 B6 C10 D14 解析a3S3S223 21(
20、2221)10. 答案C 4已知 a11,ann(an1an)(nN * ),则数列 an 的通项公式是 () WORD 格式整理版 学习好帮手 A2n1 B. n1 n n1 Cn 2 Dn 解析法一(构造法 )由已知整理得 (n1)annan1, an1 n1 an n ,数列 an n 是常数列 且 an n a 1 1 1,ann. 法二(累乘法 ):n2 时, an an1 n n1, an1 an2 n1 n2. a3 a2 3 2, a2 a1 2 1, 两边分别相乘得 an a1n,又因为 a11,ann. 答案D 5已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a11,Sn2an1
21、,则 Sn() A2 n1 B. 3 2 n1 C. 2 3 n1 D. 1 2 n1 解析 Sn2an1,当n2 时,Sn12an, anSnSn12an12an(n2), 即 an1 an 3 2(n2), 又 a21 2,an 1 2 3 2 n2(n2) 当 n1 时,a111 2 3 2 11 3, an 1,n1, 1 2 3 2 n2,n2, WORD 格式整理版 学习好帮手 Sn2an121 2 3 2 n1 3 2 n1. 答案B 二、填空题 6 (2013 蚌埠模拟 )数列an 的通项公式 ann 210n11, 则该数列前 _ 项的和最大 解析易知 a1200,显然要想使
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