[数学]高中数学复习全套知识点.pdf
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1、集合 一定义 集合是高中数学中最原始的不定义的概念,只给出描述性的说明。某些确定的且不同的 对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。 二集合的抽象表示形式 用大写字母A, B,C 表示集合;用小写字母a,b,c 表示元素。 三元素与集合的关系 有属于,不属于关系两种。元素a 属于集合 A,记作aA;元素 a 不属于集合A,记 作aA。 四几种集合的命名 有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无限个元素的集合; 空集:不包含任何元素的集合叫做空集,用表示; 自然数集: N;正整数集:N *或 N +;整数集: Z; 有理数集: Q;实数集: R。 五集合的表示方法 (一) 列举法:
2、把元素一一列举在大括号内的表示方法, 例如: a,b,c 。 注意:凡是以列举法形式出现的集合,往往考察元素的互异性。 (二) 描述法:有以下两种描述方式 1代号描述: 【例】方程 2 x3x+2=0的所有解组成的集合,可表示为x|x 2-3x+2=0 。 x 是集合中元素的代号,竖线也可以写成冒号或者分号,竖线后面的式子的作用是描述集合 中的元素符合的条件。 2文字描述:将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】 大于 2 小于 5 的整数 ; 描述法表示的集合一旦出现,首先需要分析元素的意义,也就说要判断元素到底是什么。 (三) 韦恩图法:用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关 系。 1
3、 子集:如果属于A 的所有元素都属于B,那么 A 就叫做 B 的子 图 1-1 集 , 记 作 :AB, 如 图1-1所 示 。 子集有两种极限情况:(1)当 A 成为空集时,A 仍为 B 的子集; (2)当 A 和 B 相等时, A 仍为 B 的子集。 真子集: 如果所有属于A 的元素都属于B,而且中至少有一个元素不属于A,那么 A 叫做 B 的真子集,记作AB?或AB。 真子集也是子集,和子集的区别之处在于AB。对于同一个集合,其真子集的个数 比子集少一个。 (1)求子集或真子集的个数,由n 各元素组成的集合, 有 2n个子集,有2n -1 个真子集; (2)空集的考查:凡是提到一个集合是
4、另一个集合的子集,作为子集的集合首先可以是 空集,AB的等价形式主要有:BBAABA,。 2交集:由两个集合的公共元素组成的集合,叫做这两个集合的交集,记作BA, 读作 A 交 B,如图 1-2 所示。 图 1-2 图 1-3 图 1-4 3并集:由两个集合所有元素组成的集合,叫做这两个集合的并集,记作BA,读 作 A 并 B,如图 1-3 所示。 4补集:由所有不属于的元素组成的集合,叫做在全集中的补集,记作 U C A, 读作 A 补,如图1-4 所示。 德摩根公式: ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. (四) 区间表示法:数轴上的一段数组成的集合可以用区间
5、表示,区间分为开区间和闭 区间, 开区间用小括号表示,是大于或小于的意思;闭区间用中括号表示,是大于等于或小 于等于的意思; 【例】 (2,3),2,3 ,(2,3,2,3 第二章函数 一映射与函数的基本概念 (一) 映 射 A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应,这 种对应关系叫做从A 集合到 B 集合的映射。 A 中的元素叫做原象,B 中的相应元素叫做象。 在 A 到 B 的映射中,从A 中元素到B 中元素的对应,可以多对一,不可以一对多。 图2-1是 映 射 图2-2是 一 一 映 射 图 2-3 不是映射 ( ) 求 映射 (或一 一映射 )的个数,
6、m 个元 素的集合到n 个元素的 集合 的映射的个数是 n m。 ()判断是映射或不是映射:可以多对一,不可以一对多。 (二) 函数的概念 定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段,函数用f(x)来表示:即x 按照对 应法则 f 对应的函数值为f(x) 函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表 示函数。 函数三要素:定义域A:x 取值范围组成的集合。值域B:y 取值范围组成的集合。 对应法则f: y 与 x 的对应关系。 有解析式和图像和映射三种表示形 式 函数与普通映射的区别在于: (1)两个集合必须是数集; (2)不能有剩余的象,即每个函数值y 都能找到相应的自变量x
7、与其对应。 图 2-4 二定义域题型 (一) 具体函数:即有明确解析式的函数,定义域的考查有两种形式 直接考查:主要考解不等式。利用:在( )f x中( )0f x;在 ( ) ( ) g x fx 中,( )0f x; 在log ( ) a f x中,( )0f x;在tan( )f x中,( ) 2 f xk;在 0 ( )fx中,( )0fx; 在 x a与logax中0a且1a,列不等式求解。 (二)抽象函数:只要对应法则相同,括号里整体的取值范围就完全相同。 三 值域题型 (一) 常规函数求值域:画图像,定区间,截段。 常规函数有: 一次函数, 二次函数, 反比例函数, 指数对数函数
8、, 三角函数, 对号函数。 (二) 非常规函数求值域:想法设法变形成常规函数求值域。 解题步骤: (1)换元变形; (2)求变形完的常规函数的自变量取值范围; (3)画图像,定区间,截段。 (三) 分式函数求值域:四种题型 (1) cxd y axb (0)a:则 c y a 且yR。 (2)(2) cxd yx axb :利用反表示法求值域。先反表示, 再利用 x 的范围解不等式求 y 的范围。 (3) 2 2 232 61 xx y xx : (21)(2)21 () (21)(31)312 xxx yx xxx , 则 1 y1 3 y且且yR。 (4)求 2 21 1 x y xx 的
9、值域,当xR时,用判别式法 求值域。 2 21 1 x y xx 2 (2)10yxyxy, 2 (2)4 (1)0yy y值域 (四) 不可变形的杂函数求值域:利用函数的单调性画出函数趋势图像,定区间, 截段。 判断单调性的方法:选择填空题首选复合函数法,其次求导数;大题首选求导数,其 次用定义。详情见单调性部分知识讲解。 (五) 原函数反函数对应求值域:原函数的定义域等于反函数值域,原函数值域等于反 函数定义域。 (六) 已知值域求系数:利用求值域的前五种方法写求值域的过程,将求出的以字母形 式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。 四函数运算法则 (一)指数运算法则 mnm n aa
10、a mnm n aaa () mnmn aa() mmm a bab 运用指数运算法则,一般从右往左变形。 (二)对数运算法则 同底公式: logab ab logloglog () aaa MNMN logloglog aaa M MN N loglog n aa MnM 运用对数运算法则,同底的情况,一般从右往左变形。 不同底公式: log log log m a m N N a loglog m n a a n bb m 1 log log a b b a 运用对数运算法则,不同底的情况,先变成同底。 五函数解析式 (一) 换元法:如f(2x + 3)=x 2 + 3x + 5,求 f(
11、3-7x) , (设 2x + 3=3-7t) 。 (二) 构造法:如 2 2 1 ) 1 ( x x x xf,求 f(x) 。 (三) 待定系数法:通过图像求出y=Asin( x +) + C 中系数 (四) 递推:需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。 (五) 求原函数的反函数:先反表示,再x、y 互换。 六常规函数的图像 常规函数图像主要有: 指数函数:逆时针旋转,对数函数:逆时针旋转, 底数越来越大底数越来越小 幂函数:逆时针旋 转,指数越来越大。其 他象限图象看函数奇偶 性确定。 七 函数的单调性 (一) 定义:在给定区间范围内,如果x 越大 y 越大,那么原函数为增函
12、数;如果x 越 大 y 越小,那么原函数为减函数。 (二) 单调性题型: 1.求单调性区间:先找到最基本函数单元的单调区间,用复合函数法判断函数在这个区 间的单调性,从而确定单调区间。 复合函数法: 2 1 1 x : 当 0 0 时,有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa或xa. 无理不等式: (1) ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . (2) 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. (3) 2 ( )0 ( )( )( )0 (
13、) ( ) f x f xg xg x f xg x (三)指数不等式对数不等式 不等号两边同时取指数或同时取对数,变成相同的形式后,再换元成有理不等式求解。 (1)当1a时, ( )() ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2)当01a时, ( )() ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 三 线性规划 线性规划,出题现象如下: 设变量 ,x y满足约束条
14、件 1, 1, 33, xy xy xy 则目标函数4zxy的最大值为( ) A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤: (1)把不等式组中的一次式看成直线,在平面直角坐标系中画直线, 标明直线序号 (2)依据以下结论确定平面区域: ( )yf x是点在直线上方(包括直线) ( )yf x是点在直线下方(包括直线) ; ( )yf x是点在直线上方(不包括直线) ( )yf x是点在直线下方(不包括直线) (3)确定目标函数函数值的几何意义 (4) 1若目标函数值 z 表示截距,在已知区域内平移目标函数直线,找出使截距取最大值和最小值 的端点,求出端点坐标代入目标函数, 得出 z 的最值
15、。 2若目标函数 z 表示距离或者距离的平方, 精 确作图,在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离, 用距 离公式直接求最值。3 若目标函数 z 表示斜率,精确画图,利用求斜率取值范围结论,求最值。 导数 一导数的概念 (一)导数的定义 1.导数的原始定义:设函数)(xfy在 0 xx处附近有定义, 如果0x时,y与x 的比 x y (也叫函数的平均变化率)有极限即 x y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫 做函数)(xfy在 0 xx处的导数, 记作 0 / xx y,即 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 / 2 导函数的
16、定义: 如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数,此时对于每 一个),(bax,都对应着一个确定的导数)( / xf,从而构成了一个新的函数)( / xf, 称这 个函数)( / xf为函数)(xfy在开区间内的导函数,简称导数。 (二)导数的实际意义: 1.导数的几何意义: / 0 ()fx是曲线)(xfy上点 ()(, 00 xfx)处的切线的斜率 因此,如果)(xfy在点 0 x 可导,则曲线)(xfy在点 ()(, 00 xfx)处的切线方程为)()( 00 / 0 xxxfxfy 2.导数的物理意义: 导数是物体变速直线运动的瞬时速度,也叫做瞬时变化率。 (三)概念部分
17、题型: 1.利用定义求函数)(xfy的导数 主要有三个步骤: (1)求函数的改变量)()(xfxxfy (2)求平均变化率 x xfxxf x y)()( (3)取极限,得导数 / y( )fx x y x0 lim 2.利用导数的实际意义解题 主要有两种:求切线方程和瞬时速度,考试重点为求切线方程。 二导数的运算 (一)常见函数的导数 1 0C 2 1 )( nn nxx 3 xx ee )( 4aaa xx ln)( 5 1 (ln)x x 6 ax e x x aa ln 1 log 1 )(log 7xxcos)(sin 8xxsin)(cos (二)导数的四则运算 1和差:()u v
18、uv 2积: vuvuuv)( 3商: 2 )( v vuvu v u (三)复合函数的导数: 1运算法则复合函数导数的运算法则为: ( )( )( )fg xfgg x 2复合函数的求导的方法和步骤: 求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节,然后应用法则,由外向里一 层层求导,注意不要漏层。 求复合函数的导数的方法步骤: (1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量 (2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求 导数 (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成 自变量的函数 三导数的应用 (一)利用导数判断函数单
19、调性及求解单调区间。 1.导数和函数单调性的关系: (1)若 f (x)0 在(a,b)上恒成立,则f(x)在 (a,b)上是增函数,f (x)0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间; (2)若 f (x)0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应区 间为增区间;f (x)0 时,和 s 总是趋向于一个定值,则该定值便称为函 数( )f x在 ,a b 上的定积分 ,记为 b a dxxf)(,即( ) b a f x dx n i ii xf 1 0 )(lim 其中 , xi n i i f)( 1 称为函数( )f x在区间, a b的积分和 . 2、定积分的几何意义 定积分 b
20、a dxxf)(在几何上 ,当( )0fx时 ,表示由曲线( )yf x、直线xa、直线 xb与x轴所围成的曲边梯形的面积;当( )0f x时,表示由曲线( )yf x、 直线xa、 直线xb与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值;一般情况下,表示介于曲线( )yf x、 两条直线xa、xb与x轴之间的个部分面积的代数和 (二)微积分基本定理 1、基本定理 若函数( )f x在ba,上连续, 且存在原函数( )F x,即baxxfxF,,则f 在ba,上可积,且.aFbFdxxf b a 这称为牛顿一莱布尼茨公式,它也常写成 . b a b a xFdxxf 二、常用的不定积分公式: 1. Cdx
21、0 2. Cxdxx 1 1 1 (1 ) 3. Cxdx x ln 1 4. Ca a dxa xx ln 1 (0a,1a) 5. Cedxe xx 6. Cxxdxcossin 7. Cxxdxsincos 8. Cxxdxtansec 2 9. Cxxdxcotcsc 2 10.Cxxdxxsectansec 12.Cxxdxxcsccotcsc 13.CxCxdx x arccosarcsin 1 1 2 14.CxCxdx x cotarcarctan 1 1 2 本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。 复数 一复数的概念 1.虚数单位i: (1)它的平方等于-1,即 2 1i;
22、(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2. i与 1 的关系 : i就是 1 的一个平方根,即方程x 2=1 的一个根,方程 x 2= 1 的 另一个根是i 3. i的周期性:i 4n+1 =i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1 4. 复数的定义: 形如( ,)abi a bR的数叫复数,a叫复数的实部, b叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示 * 5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示,即( ,)zabi a bR, 把复数表示成a+bi 的形式,叫做复数的代数形式 6.复数与实数、虚数、纯虚数及0 的
23、关系:对于复数( ,)abi a bR,当且仅当b=0 时,复数a+bi(a、bR)是实数 a;当 b0 时,复数z=a+bi 叫做虚数;当a=0 且 b 0时, z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0 时, z 就是实数0 7. 复数集与其它数集之间的关系:NZQRC 二复数与复平面 1. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等 即:如果a,b,c,dR,那么 a+bi=c+dia=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数,就 可以比较大小也只有当两个复数全是实数时才能比较大小 2.复平面、实轴、虚轴:
24、点 Z 的横坐标是a,纵坐标是b,复数 z=a+bi(a、 bR)可用 点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y轴叫做虚 实轴上的点都表示实数 b Z(a ,b) a o y x 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z=0+0i=0 表示是 实数 故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数zabi 一一对应 复平面内的点( , )Z a b 这是因为, 每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来, 复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数
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