小学数学解题大全.pdf
《小学数学解题大全.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学解题大全.pdf(144页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、“星期”问题 我们知道,一星期有7 个星期数,按星期一,星期二星期日的顺序排列,且每过7 天,星期数就重复出现。而阳历的月 份中,最少的有28 天,最多的有31 天,因为 287=4,297=41,307=42,317=43,所以平年2 月份的 7 个星期数在 该月各出现4 次,闰年的2 月份, 2 月 1 日那天的星期数在该月出现5 次,其余的6 个星期数在该月各出现4 次,小月(即有30 天的月份)的1 号,2 号的星期数在该月各出现5 次,其余的 5 个星期数在该月各出现4 次,大月(即有31 天的月份)的13 号 的星期数在该月各出现5 次,其余的 4 个星期数在该月各出现4 次。对于
2、各月天数,16月是除 2 月特殊外奇数月31,偶数月 30, 712 月出现特殊情况, 7 月、8 月为 31 ,9 月 30,10 月 31,11月 30 ,12 月 31 这是历史遗留下的结果,我所知道是个皇帝叫什 么什么的把8 月命名为自己的名字,并加了一天。其中所要注意的是,过了多少天,和再过多少天的区别下面略举几例说明。 例 1 有一年二月份有5 个星期日,这一年的“六一”儿童节是星期几?(郑州市中原区历届“中原之星”数学竞赛题选) 解 已知二月份有5 个星期日,所以这年的2 月份有 29 天,且 2 月 1 日和 2 月 29 日都是星期日,从2 月 29 日到 6 月 1 日要经
3、过 31+30+31+1=93(天) ,937 余 2,我们把星期日看作星期“0”,0+2=2,所以这一年的“六一”节是星期二。 例 2 某年的三月份正好有4 个星期三和4 个星期六,那么这年的3 月 1 日是星期 _。 (小学数学奥林匹克A、B、C卷) 解 三月份是大月,有31 天,所以这个月的13 号这三天的星期数在该月各出现5 次,当然这三个星期数是连续的,题目又告诉 我们这个月有4 个星期三和4 个星期六,因此容易看出这个月的13 号是星期日星期二,所以这年的3 月 1 日是星期日。 例 3 某月星期日的天数比星期六多,这个月的10 日是星期几?(山东省1996 年小学数学竞赛试题)
4、解 按星期数的排列,星期日排在星期六的后面,如果出现某月星期日的天数比星期六多,那么这个月的1 号就一定是星期日且这 个月的最后一天不是星期六(即这个月不是平年的2 月份) ,也就是说如果某月的1 号是星期日,且这个月有2931 天,就会出 现这个月有5 个星期日, 4 个星期六,星期日的天数多于星期六,由上面分析,容易算出这个月的10 日是星期二。 例 4 在某一个月中,星期一多于星期二,星期日多于星期六,那么这个月的5 号是星期 _。 (第七届小学祖冲之杯数学邀请 赛试题) 解 由对例 3 的分析,根据这一个月中,星期日多于星期六,即可推知这个月的5 号是星期四,问题就解决了,但这道题却还
5、有一 个题设条件; 星期一多于星期二,按星期数的排列, 星期一排在星期二的前面,如果某月的星期一多于星期二,则有三种情况:(1) 这个月的1 号是星期一,且这个月有29 天; (2)这个月的2 号是星期一,且这个月有30 天; ( 3)这个月的3 号是星期一,且这 个月有 31 天,所以由某一个月中,星期一多于星期二这个题设条件,是不能确定这个月的5 号是星期几的,对这道试题的解答是 不起作用的,因此,这道试题存在已知条件过剩,将有用条件和无用条件混杂在一起,形成干扰因素,这类试题就是近年来出现 的开放型的问题,它的优点是有利于考查学生思维的批判性和去伪存真的鉴别能力。我们对这道试题还有一点看
6、法,如果题中的 两个已知条件都派上用场,试题可改为:在某一个月中,星期一多于星期二,星期日多于星期六,那么这个月的5 号是星期 _, 这个月的最后一天是星期_。 例 5 1968 年二月份有五个星期四,从1968 年起到 2100 年以前,还有哪几年有这样的2 月份?(即 2 月份有五个星期四) 这是道精心设计有一定难度的试题,下面作出比较详细的分析。 平年的 2 月份只有 28 天,所以平年的2 月份不可能有五个星期四,1938 年是闰年, 2 月份有 29 天,由 1968 年 2 月份有五个星期 四,即可判定这一年的2 月 1 日一定是星期四,也就是说2 月份有五个星期四的年份一定是闰年
7、是且该年的2 月 1 日是星期四。 从 1968 年到 2100 以前,每隔4 年都有一个闰年,那么1968 年后下一个符合题意的年份一定是闰年且从1968 年 2 月 1 日到该年 的 2 月 1 日所经过的天数是7 的倍数(为什么) ,从 1968 年 2 月 1 日到 1972 年 2 月 1 日要经过 3653+366(天) ,3653+366 被 7 除余 5,5 与 7 互质,所以从1968 年起经过 7 个闰年(即经过74=28 年)就又有一个年份的2 月有五个星期四,所以这道题的 答案是 1968+28=1996,1996+28=2024,2024+28=2052,2052+2
8、8=2080(即 1996 年、2024 年, 2052 年, 2080 年的 2 月份有五个星 期四) 。 抽屉原理 把 4 只苹果放到3 个抽屉里去,共有4 种放法,不论如何放,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 同样,把 5 只苹果放到4 个抽屉里去,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 更进一步,我们能够得出这样的结论:把n1 只苹果放到 n 个抽屉里去,那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结 论,通常被称为抽屉原理。 利用抽屉原理,可以说明(证明)许多有趣的现象或结论。不过,抽屉原理不是拿来就能用的,关键是要应用所学的数学知 识去寻找“抽屉”,制造“抽屉”,弄清应当把什么看作“抽屉”
9、,把什么看作“苹果”。 【例 1】一个小组共有13名同学,其中至少有2 名同学同一个月过生日。为什么? 【分析】每年里共有12 个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月。如果把这12 个月看成 12 个“抽屉”,把13 名 同学的生日看成13 只“苹果”,把13 只苹果放进 12 个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2 个苹果,也就是说,至少有2 名同学 在同一个月过生日。 【例 2 】任意 4 个自然数,其中至少有两个数的差是3 的倍数。这是为什么? 【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律:如果两个自然数除以3 的余数相同,那么这两个自然数的差是3 的倍数。而任 何一个自然数被3 除的余数,
10、或者是0,或者是 1,或者是 2,根据这三种情况,可以把自然数分成3 类,这 3 种类型就是我们要 制造的 3 个“抽屉”。我们把4 个数看作“苹果”,根据抽屉原理,必定有一个抽屉里至少有2 个数。换句话说,4 个自然数分成 3 类,至少有两个是同一类。既然是同一类,那么这两个数被3 除的余数就一定相同。所以,任意4 个自然数,至少有2 个自然数 的差是 3 的倍数。 想一想,例2 中 4 改为 7,3 改为 6,结论成立吗? 【例 3】有规格尺寸相同的5 种颜色的袜子各15 只混装在箱内,试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3 双袜 子(袜子无左、右之分)? 【分析与解】试想一下,
11、从箱中取出6 只、 9 只袜子,能配成3 双袜子吗?回答是否定的。 按 5 种颜色制作 5 个抽屉, 根据抽屉原理1,只要取出 6 只袜子就总有一只抽屉里装2 只,这 2 只就可配成一双。 拿走这一双, 尚剩 4 只,如果再补进2 只又成 6 只,再根据抽屉原理1,又可配成一双拿走。如果再补进2 只,又可取得第3 双。所以,至少要 取 622=10 只袜子,就一定会配成3 双。 【例 4】一个布袋中有35 个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10 个,另外还有3 个蓝色球、 2 个绿色球,试 问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4 个是同一颜色的球? 【分析与解】从最“不
12、利”的取出情况入手。 最不利的情况是首先取出的5 个球中,有3 个是蓝色球、 2 个绿色球。 接下来,把白、黄、红三色看作三个抽屉,由于这三种颜色球相等均超过4 个,所以,根据抽屉原理2,只要取出的球数多于 (4-1 )3=9 个,即至少应取出10 个球,就可以保证取出的球至少有4 个是同一抽屉(同一颜色)里的球。 故总共至少应取出105=15 个球,才能符合要求。 思考:把题中要求改为4 个不同色,或者是两两同色,情形又如何? 当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有,至少有几个”这样的问题时,想到它抽屉原理,这是你的一条“决胜” 之路。 教练员提示语 抽屉原理还可以反过来理解:假如把n1
13、个苹果放到n 个抽屉里,放2 个或 2 个以上苹果的抽屉一个也没有(与“必有一个 抽屉放 2 个或 2 个以上的苹果”相反),那么,每个抽屉最多只放1 个苹果, n 个抽屉最多有n 个苹果,与“ n+1 个苹果”的条件 矛盾。 运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常,可采用把n 个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如,若干个同学可 按出生的月份不同分为12 类,自然数可按被3 除所得余数分为3 类等等。 “凑比法”解题例谈 在小学数学竞赛中,常常遇到这样一类题目:已知两个量的和(差),以及它们的某种关系,而这种关系又无法转化成其中一个 量是另一个量的几分之几(统一单位“1”),也无法求出
14、这两个量的比。因此,常规解法极为繁杂。若将其中的一个量增加(减 少)一个特定数量后,则常很容易“凑”出它们的比,从而使问题化繁为简,化难为易。 生 1999 年第十五届迎春 杯决赛题) 还多 10 个”得: 从而知,师傅加工零件个数是3 份,(徒弟加工零件个数+40 个)是 4 份,也就是(师徒二人共加工零件个数+40 个)(3+4=) 7 份,即( 170+40) 弟加工零件个数为(170-90= )80 (个)。 11 人参加数学竞赛。这个班男、女生各多少人? 从而知,男生人数是3 份,( 44 人- 女生)是 2 份,也就是(男生- 女生 +44 人)( 3+2=)5 份。又因“男生比女
15、生多6 人”, 故( 6+44)人是 5 例 3 甲桶油比乙桶油多3.6 千克,如果从两桶中各取出1 千克后,甲 (1999 年小奥预赛 B 卷) 从而知,(甲桶油-1 千克)是3 份,(乙桶油 -1 千克)是 2 份,即(甲桶油 -1 千克)比(乙桶油-1 千克)多( 3-2 )份,也 就是甲桶油比乙桶油多(3-2 )份,而甲桶油比乙桶油多3.6 千克,因此,每份重为3.6 ( 3-2 )=3.6 (千克),(甲桶油-1 千 克)为 3.6 3=10.8 (千克),甲桶原有油10.8+1=11.8 (千克)。 例 4 大小球共 100 个,取出大球的75,取出小球的50,则大小球共剩30 个
16、。问原有大小球各多少个?(见贵刊 1998 年第 1、 2 期第 22 页注意求异思维训练中的例1,这里用“凑比法”解较容易) 分析与解依题意“取出大球的75,取出小球的50,则大小球共剩30 个”得: 大球个数( 1-75 ) +小球个数( 1-50 ) =30 大球个数 25=30- 小球个数 50 大球个数 25=(60- 小球个数) 50即,大球个数(60-小球个数) =50 25=21 从而知,大球个数是2 份,( 60- 小球个数)是1 份,大球个数比(60- 小球个数)多( 2-1)份,即 大球个数 - (60- 小球个 数) 为( 2-1 )份,也就是(大球个数+小球个数 -6
17、0)为( 2-1)份,又知大小球共100 个,故( 100-60 )个为( 2-1 )份,又知 大小球共 100 个,故( 100-60 )个为( 2-1)份,即 40 个是 1 份。因此,大球个数有(402=)80(个),小球个数有(100-80=) 20(个)。 概率原理 1重视概念的甄别,即弄清某些容易混淆的概念之间的区别。 在概率论中存在许多容易混淆的概念,如果不能认真区分,仔细加以甄别,就不能正确理解这些重要概念,在应用时就会产 生各种各样的错误。 互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念 “互不相容”是指两个事件不能同时发生。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发
18、生的概率没有影响。 随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念 对两个随机变量而言,相互独立不相关。 条件概率 P(A|B) 与乘积概率P(AB) 也是容易混淆的一对概念 一般来说,当事件BA,同时发生时,常用)(ABP,而在有包含关系或明确的主从关系中,用 )(ABP 。如袋中有9 个白 球 1 个红球,作不放回抽样,每次任取一球,取2 次,求: (1) 第二次才取到白球的概率;(2) 第一次取到的是白球的条件下,第 二次取到的也是白球的概率。问题(1) 是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率,而问题(2) 则是求在第一次取到 白球的条件下,第二次取到白球的条件概率。
19、 2善于识别一些重要的概率模型并能正确进行计算是提高分析和解决概率实际问题能力的关键。 在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型(简称“概型”) ,学生必须了解其背景、特点和适用范围,要熟记计算 公式,以便能正确应用。例如: (1)古典概型:一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。 (2)完备事件组模型:若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的一类概率模型。它主要用于某些复杂事 件的计算全概率公式,以及某些条件概率的计算贝叶斯公式。 (3)伯努利概型与二项分布模型:伯努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的概率模型,其特点是各个重复试验是 独立进行的,且每次试验
20、中仅有两个对立的结果:事件A发生或不发生,则在n次独立重复试验中,事件A恰好发生v次的概率 为 vnvv nn ppCvP)1 ()(,其中)(APp。 (4)普阿松分布:例如,电话交换台在单位时间内所接到的呼唤次数;到某商店去购物的顾客人数;放射性物质不断放出的 质点数。 (5)正态分布最重要的概率模型:人体的身高、体重,测量的误差等都服从正态分布。 (6)均匀分布“等可能”取值的连续化模型:如果连续随机变量仅在某有限区间,ba内取值,且具有概率密度 则称服从区间,ba上的均匀分布。 教 学 内 容 ( Contents ) Chapter One 随机事件及其概率(Random Event
21、s and Probability) 一、概率论的诞生及应用(Naissance and application of probability theory) 1. 概率论的诞生1654 年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家 , 若在一赌徒胜a局 (ac), 另一赌徒胜 b局(bc) 时便终止赌博 , 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡 , 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念-数学期望 2. 概率论的应用概率论是数学的一个分支, 它研究随机现象的数量规律. 一方面,它有自己独特的概念和方法,另一方面, 它与其他数
22、学分支又有紧密的联系,它是现代数学的重要组成部分. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域, 例如天气预 报, 地震预报 , 产品的抽样调查; 工农业生产和国民经济的各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性, 分辨率等等 . 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 二、随机现象 (Random phenomenon) 自然界和社会上所观察到的现象: 确定性现象随机现象确定性现象在一定条件 下必然发生的现象称为确定性现象. 实例 确定性现象的特征条件完全决定结果随机现象在一定的条件下,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果, 而在试验或观察之前不能预知确切的结果. 实例 随机现
23、象的特征条件不能完全决定结果 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.2. 随机现象在一次观察中出现什么 结果具有偶然性 , 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象这种本质规律的 一门数学学科 . 如何来研究随机现象随机现象是通过随机试验来研究的. Problem:什么是随机试验1.1 随机事件 (Random Events) 一、随机试验 (Random experiment) 我们遇到过各种试验。在这里,我们把试验作为一个含义广泛的术语,它包括各种各样的科学试验,甚至对某一事物的某一 特征的观察也认为
24、是一种试验。下面举一些试验的例子: 1 E:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。 2 E:将一枚硬币抛三次,观察出现正面的次数。 3 E:抛一枚骰子,观察出现的点数。 4 E:记录车站售票处一天内售出的车票数。 5E :在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 6 E:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 这些试验都具有以下的特点 : 1、 可以在相同的条件下重复地进行; 2、 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3、 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中,我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)。 二、
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学 数学 解题 大全
链接地址:https://www.31doc.com/p-5268441.html