人教A版高中必修二试题高中圆的方程典型例题.doc.pdf
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1、高中数学学习材料 鼎尚图文 *整理制作 高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P与 圆的位置关系, 只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径, 则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为 222 )()(rbyax 圆心在0y上,故0b 圆的方程为 222 )(ryax 又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点 22 22 4)3(
2、16)1 ( ra ra 解之得: 1a ,20 2 r 所以所求圆的方程为20)1( 22 yx 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点,所以圆心 C必在线段AB的垂直平分线l上, 又因为1 31 24 AB k,故l的斜率为1,又AB的中点为)3,2(,故AB的垂直平 分线l的方程为:23xy即01yx 又知圆心在直线0y上,故圆心坐标为)0,1(C 半径204) 11 ( 22 ACr 故所求圆的方程为20)1( 22 yx 又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为 rPCd254) 12( 22 点P在圆外 说明: 本题利用两种方法求解了圆的方程,
3、都围绕着求圆的圆心和半径这两个 关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置 关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢? 例 2 求半径为4,与圆0424 22 yxyx相切,且和直线0y相切的圆的 方程 分析: 根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解 解: 则题意,设所求圆的方程为圆 222 )()(rbyaxC: 圆C与 直 线0y相 切 , 且 半 径 为4, 则 圆 心C的 坐 标 为)4,( 1 aC或 )4,( 2 aC 又已知圆0424 22 yxyx的圆心A的坐标为)1,2(,半径为3 若两圆相切,则734CA或134CA (1)当)4,
4、( 1 aC时, 222 7)14()2(a,或 222 1)14()2(a(无解 ), 故可得1022a 所求圆方程为 222 4)4()1022(yx,或 222 4)4()1022(yx (2)当)4,( 2 aC时, 222 7)14()2(a,或 222 1)14()2(a(无 解),故622a 所求圆的方程为 222 4)4()622(yx,或 222 4)4()622(yx 说明: 对本题,易发生以下误解: 由题意,所求圆与直线0y相切且半径为4,则圆心坐标为)4,(aC,且方程 形如 222 4)4()(yax又圆0424 22 yxyx,即 222 3)1()2(yx, 其圆
5、心为)1,2(A, 半径为 3 若两圆相切, 则34CA 故 222 7)14()2(a, 解 之 得1022a 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 222 4)4()1022(yx,或 222 4)4()1022(yx 上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形,而疏漏了圆心在直线0y下方的 情形另外,误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的 例 3 求经过点)5,0(A,且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程 分析: 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A,故只 需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上 解: 圆和直线02yx与02yx相切, 圆
6、心C在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线02 yx和02yx的距离相等 5 2 5 2yxyx 两直线交角的平分线方程是03yx或03yx 又圆过点)5,0(A, 圆心C只能在直线03yx上 设圆心)3,(ttC C到直线02yx的距离等于AC, 22 )53( 5 32 tt tt 化简整理得056 2 tt 解得:1t或5t 圆心是)3,1 (,半径为5或圆心是)15,5(,半径为55 所求圆的方程为5)3()1( 22 yx或125)15()5( 22 yx 说明: 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确 定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相
7、切的圆的方程的常规求法 例 4、 设圆满足: (1)截y轴所得弦长为2; (2)被x轴分成两段弧, 其弧长的比为1:3, 在满足条件 (1)(2) 的所有圆中,求圆心到直线02yxl:的距离最小的圆的方程 分析: 要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准 方程满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这 轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的 圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程 解法一: 设圆心为),(baP,半径为r 则P到x轴、y轴的距离分别为b和a 由题设知:圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截
8、x轴所得弦长为 r2 22 2br 又圆截y轴所得弦长为21 22 ar 又),(baP到直线02yx的距离为 5 2ba d 2 2 25badabba44 22 )(24 2222 baba12 22 ab 当且仅当ba时取“ =”号,此时 5 5 min d 这时有 12 22 ab ba 1 1 b a 或 1 1 b a 又22 22 br 故所求圆的方程为2)1()1( 22 yx或2)1()1( 22 yx 解法二: 同解法一,得 5 2ba d dba52 222 5544dbdba 将12 22 ba代入上式得:015542 22 dbdb 上述方程有实根,故 0)15(8
9、2 d, 5 5 d 将 5 5 d代入方程得1b又12 22 ab1a 由12ba知a、b同号 故所求圆的方程为2)1()1( 22 yx或2)1() 1( 22 yx 说明: 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢? 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5已知圆4 22 yxO:,求过点42,P与圆O相切的切线 解: 点42,P不在圆O上, 切线PT的直线方程可设为42xky 根据rd 2 1 42 2 k k 解得 4 3 k 所以42 4 3 xy 即01043yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求 另一条切线为2x 说明
10、: 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0 解决 (也要注意漏解) 还可以运用 2 00 ryyxx,求出切点坐标 0 x、 0 y的值来解决, 此时没有漏解 例 6 两圆0 111 22 1 FyExDyxC :与0 222 22 2 FyExDyxC :相 交于A、B两点,求它们的公共弦 AB所在直线的方程 分析: 首先求A、B两点的坐标,再用两点式求直线AB的方程,但是求两圆 交点坐标的过程太繁为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧 解: 设两圆 1 C、 2 C的任一交点坐标为),( 00 yx,则
11、有: 0 10101 2 0 2 0 FyExDyx 0 20202 2 0 2 0 FyExDyx 得:0)()( 21021021 FFyEExDD A、B的坐标满足方程0)()( 212121 FFyEExDD 方程0)()( 212121 FFyEExDD是过A、B两点的直线方程 又过A、B两点的直线是唯一的 两圆 1 C、 2 C的公共弦AB所在直线的方程为 0)()( 212121 FFyEExDD 说明: 上述解法中,巧妙地避开了求 A、B两点的坐标,虽然设出了它们的坐 标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说, 这是一种“设而不求”的技巧,从知识内
12、容的角度上说,还体现了对曲线与方程的 关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛 例 7、过圆1 22 yx外一点)3,2(M,作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别 是A、B,求直线AB的方程。 练习: 1求过点(3,1)M,且与圆 22 (1)4xy相切的直线l的方程 解:设切线方程为1(3)yk x,即310kxyk, 圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2, 2 2 |31| 2 1 kk k ,解得 3 4 k, 切线方程为 3 1(3) 4 yx,即34130xy, 当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为 3x ,圆心(1,0)到此直线的距离等于 半径2, 故直
13、线 3x 也适合题意。 所以,所求的直线l的方程是34130xy或3x 2、过坐标原点且与圆0 2 5 24 22 yxyx相切的直线的方程为 解:设直线方程为kxy,即0ykx.圆方程可化为 2 5 )1()2( 22 yx, 圆心为( 2,-1) ,半径为 2 10 .依题意有 2 10 1 12 2 k k ,解得3k或 3 1 k, 直线方程为xy3或xy 3 1 . 3、已知直线0125ayx与圆02 22 yxx相切,则a的值为. 解:圆1)1( 22 yx的圆心为 (1,0) ,半径为 1, 1 125 5 22 a ,解得8a 或18a. 类型三:弦长、弧问题 例 8、求直线0
14、63:yxl被圆042: 22 yxyxC截得的弦AB的长 . 例 9、直线 0323yx 截圆4 22 yx得的劣弧所对的圆心角为 解:依题意得,弦心距3d,故弦长22 22 drAB,从而 OAB是等 边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为 3 AOB. 例 10、求两圆02 22 yxyx和5 22 yx的公共弦长 类型四:直线与圆的位置关系 例 11、已知直线0323yx和圆4 22 yx,判断此直线与已知圆的位置 关系 . 例 12、若直线 mxy 与曲线 2 4xy有且只有一个公共点,求实数m的取 值范围 . 解:曲线 2 4xy表示半圆 )0(4 22 yyx ,利用数形结合法,可
15、得实 数m的取值范围是 22m 或22m. 例 13 圆9)3()3( 22 yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个? 分析: 借助图形直观求解或先求出直线 1 l、 2 l的方程,从代数计算中寻找解 答 解法一: 圆9)3()3( 22 yx的圆心为)3,3( 1 O,半径3r 设圆心 1 O到直线01143yx的距离为d,则 32 43 113433 22 d 如图,在圆心 1 O同侧,与直线01143yx平行且距离为1 的直线 1 l与圆有 两个交点,这两个交点符合题意 又 123dr 与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题 意 符合题意的点共有3 个
16、 解法二: 符合题意的点是平行于直线01143yx,且与之距离为1 的直线 和圆的交点设所求直线为043myx,则1 43 11 22 m d, 511m,即6m,或16m,也即 0643 1 yxl :,或01643 2 yxl : 设圆9)3()3( 22 1 yxO:的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d,则 3 43 63433 22 1 d,1 43 163433 22 2 d 1 l与 1 O相切,与圆 1 O有一个公共点; 2 l与圆 1 O相交,与圆 1 O有两个公共点 即 符合题意的点共3 个 说明: 对于本题,若不留心,则易发生以下误解: 设圆心 1 O到
17、直线01143yx的距离为d,则 32 43 113433 22 d 圆 1 O到01143yx距离为 1 的点有两个 显然,上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离,rd,只能说 明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线 上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个 数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小 比较来判断 练习 1:直线1yx与圆)0(02 22 aayyx没有公共点, 则a的取值范围 是 解:依题意有 a a 2 1 ,解
18、得1212a.0a,120a. 练习 2:若直线2kxy与圆1)3()2( 22 yx有两个不同的交点,则k的取 值范围是. 解:依题意有1 1 12 2 k k ,解得 3 4 0k,k的取值范围是) 3 4 ,0( . 3、圆0342 22 yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有 ( ) ( A) 1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个 分 析 : 把0342 22 yxyx化 为821 22 yx, 圆 心 为 21 ,半径为22r,圆心到直线的距离为2,所以在圆上共有三个点到直 线的距离等于2,所以选 C 4、过点43 ,P作直线l, 当斜率为何值时, 直线l与圆421 22
19、yxC: 有公共点,如图所示 分析: 观察动画演示,分析思路 解: 设直线l的方程为 34xky 即 043kykx 根据rd有 2 1 432 2 k kk 整理得 043 2 kk 解得 3 4 0k 类型五:圆与圆的位置关系 问题导学四:圆与圆位置关系如何确定? P E O y x 例 14、判断圆02662: 22 1 yxyxC与圆0424: 22 2 yxyxC 的位置关系, 例 15:圆02 22 xyx和圆04 22 yyx的公切线共有条。 解:圆1)1( 22 yx的圆心为)0 , 1( 1 O,半径1 1 r,圆4)2( 22 yx的 圆 心 为)2,0( 2 O, 半 径
20、2 2 r, 1, 3,5 122121 rrrrOO. 212112 rrOOrr,两圆相交 .共有 2 条公切线。 练习 1:若圆042 222 mmxyx与圆08442 222 mmyxyx相切, 则实数m的取值集合是. 解 : 圆4)( 22 ymx的 圆 心 为)0,( 1 mO,半 径21r,圆 9)2()1( 22 myx的圆心为)2, 1( 2 mO,半 径3 2 r,且两圆相切, 2121 rrOO或 1221 rrOO,5)2()1( 22 mm或 1)2()1( 22 mm,解得 5 12 m或2m,或0m或 2 5 m,实数m 的取值集合是2, 0, 2 5 , 5 1
21、2 . 2:求与圆5 22 yx外切于点 )2, 1(P,且半径为52的圆的方程 . 解:设所求圆的圆心为),( 1 baO,则所求圆的方程为20)()( 22 byax.两 圆外切于点P, 1 3 1 OOOP ,),( 3 1 )2, 1(ba,6, 3 ba,所求圆 的方程为20)6()3( 22 yx. 类型六:圆中的对称问题 例 16、圆 22 2690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程是 例 17自点33,A发出的光线l射到x轴上, 被x轴反射, 反射光线所在的直线与 圆0744 22 yxyxC:相切 (1)求光线l和反射光线所在的直线方程 (2)光线自A到切点所经过的路程
22、 分析、略解:观察动画演示,分析思路根据对 称 关 系 , 首 先 求 出 点 A 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 33,其次设过A的圆C的切线方程为 33xky 根据rd,即求出圆C的切线的斜率为 3 4 k或 4 3 k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334yx或0343yx 最后根据入射光与反射光关于x轴对称,求出入射光所在直线方程为 0334yx或0343yx 光路的距离为MA,可由勾股定理求得7 222 CMCAMA 说明: 本题亦可把圆对称到x轴下方,再求解 G O B N M y A x 图 C A 类型七:圆中的最值问题 例 18:圆01044 22 yxyx上的
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