人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案).pdf
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1、人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 1 / 18 一元二次方程全章知识点专题复习 【课标要点】 1.理解一元二次方程定义; 2.会解一元二次方程; 3.会根据根的判别式 2 4bac判断一元二次方程的根的情况; 4.会列一元二次方程解决实际问题. 【知识网络 】 解法 根的判别式 一元二次方程二次三项式的分解因式 根与系数的关系 实际应用问题 第 1 讲一元二次方程的概念 【知识要点】 1、一元二次方程的一般形式: 2 00), ,axbxcaa b c(其中是常数 . 2、在一般式中,当b0 时,则有 22 0c00axcaxbx或当 时,则有,这两种 情况都是一元二次
2、方程. 【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程. 222 2 22 2 2 2 13;(2)50;(3)230;(4)5;(5)2(3)21; 5 11 (6)33;(7)2 ;(8)()10;(9)3340 : 1 (10)0.(0) xxxxyxxx xx x xxxabxab xxx xx pxqxmp () 分析:一元二次方程,必须满足:(1)整式方程;(2)含有一个未知数,并且最高次数 是 2. 解:方程( 1) 、 (6) 、 ( 7)的左边是分式,不属于整式方程,方程(3)含有两个未知数, 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 2 / 18
3、 方程( 4)的左边不是整式,方程(5)经整理候,得6x1,方程( 8)中未确定ab0 , 因此,只有( 2) 、 (9) 、 (10)是一元二次方程. 例2方程 2 5)(3)(3)50. m mmxmx( (1)m 为何值时,此方程为一元二次方程? (2)m 为何值时,此方程为一元一次方程? 分析: 形如0 n axbxc的方程,当 n2 且 a0 时为一元二次方程; 当 a0 时且 b0 时为一元二次方程. 解: (1)当 m22 时, m4,这时5)(3)0.mm(当 m4 时,此方程为一元二 次方程 . (2)5)(3)0,20,2m30mmmm当(为自然数,且时,方程为一元一 次方
4、程 .由5)(3)0m5m3mmm(得 或 ,又因为3,当 m5 时, 此方程为一元 一次方程 . 例 3 为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240 米的河堤进行加固,由 于采用了新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20 米,因而完成此段加 固工程所需天数将比原计划缩短2 填,为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加 固 224 米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还应再增加多少米?(只需列出方程, 并整理成一般一元二次方程形式.) 分析:根据题意本题有两个关系式:一是计划每天加固的长度比原计划增加了20 米, 而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2
5、天,由时间关系列出方程. 解:设现在计划每天加固河堤x 米,则原来计划每天加固河堤(x20)米 .根据题意德 22402240 2 20xx ,整理,得 2 2022400xx 【知识运用 】 一、选择题 1一元二次方程得一般形式是() A. 2 0xbxc B. 2 0axbxc C. 2 0()axbxcaoD.以上都不对 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 3 / 18 2下列方程为一元二次方程的有() A. 21 10 2 x x B. 2 52axbxcC. 2 19xD.x+y=0 3.关于 x 的方程 232232 (mnm xmxm xnxpxq 其中),
6、经化简整理,化为 2 00)axbxca(的形式后,二次项系数、一次项系数及常数项分别是() A.m n,p,q B. mn, p,q C.mn, p, q D.mn,p, q 4将一元二次方程 2 1 x2x30 2 的二次项系数变为正整数,且使方程的根不变的是 () A. 2 x2x30B. 2 xx604C 2 xx604 D 2 xx60+4 二、填空题 5方程 2 4x0是_元_次方程,二次项系数是_,一次项系数是_,常数 项是 _. 6.当 m_时,方程 2 m-1)x21)x0mm((不是关于x 的一元二次方程;当 m_时,上述方程才是关于x 的一元二次方程; 7.若方程 22
7、x3x1kx是一元二次方程,则k 的取值范围是 _; 三、解答题 8若方程 1 (3)x230 k kx是关于 x 的一元二次方程,求k 的值 . 9若关于x 的一元二次方程 22 (a-1)x +x+a10的一个根是0,求 a 的值 . 10某大学改善校园环境,计划在一块长80 米,宽 60 米的矩形场地中央建一矩形网球场, 网球场占地面积为3500 平方米,四周为宽度相等的步行道,求步行道的宽度,根据题 意列出泛称,并将其化为一般形式. 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 4 / 18 第 2 讲配方法 【知识要点】 1、直接开平方法解一元二次方程:将方程化成 2 b
8、(0)xab的形式,则x (0)ab b. 2、配方法解一元二次方程:利用公式 222 a2()abbab,把一元二次方程转化为 2 ()(0)xab b,再利用直接开平方法解方程. 【典型例题】 例1用配方法解关于x 的一元二次方程:x0pxq 2 分析: 配方法解一元二次方程,关键要搞清配方的目的是什么,即配方要使方程能运用 直接开平方法解决,该题是一种字母系数的一元二次方程,故可按上述步骤进行求解,先将 其整理成一般形式,二次项系数化为1.因二次项系数为1,所以移项得 2 xxpq,方程 两边配方,然后利用完全平方公式,直接开平方法解出方程. 解: 2 2 2 2 22 12 12 x,
9、 x(), 24 4q x, 24 4q p400, 4 4q4q x,; 22 (2)p40x 2 3p40 pxq pp pxq pp p q pppp x p qx q 2 2 2 2 2 2 移项,得 配方,得 整理,得(+) (1)当时,方程两边直接开平方,得 当 时, ; ( )当时, 原方程无实数解 . 例2用配方法解方程 (1) 2 x6x50; (2) 2 4x7x20 分析:方程经过移项,配方后变为形如 2 ().axbc的方程 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 5 / 18 解: (1) (2)移项,得 2 4x7x2化二次项系数为1, 例3试证:
10、不论x 为何实数,多项式 4242 24124xxxx的值总大于的值 . 分析:比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解: 多项式 4242 24124xxxx的值总大于的值 . 【知识运用 】 一、选择题 1 已知代数式 22 24x228x5xx的值为 3,则代数式的值为() A.5 B. 5 C. 5 或 5 D.0 2将二次三项式 2 2x4x6进行配方,正确的结果是() A.24 2 (x-1 )B.24 2 (x-1 )C.22 2 (x-2 )D. 22 2 (x-2 ) 3方程 2 (1)9x的解是() 2 2 12 65, 6959,314 314,314,314 xx xx
11、 xxx 2 移项,得 配方,得即(x ) 222 2 12 7717 x( )( ) 4828 717717 xx 86488 717717 xx 8888 717717 xx 88 x得 即() , +,- , 4242 42 42 22 22 4242 (241)(24) 23 (21)2 (1)2 x(1)20 (241)(24)0 xxxx xx xx x x xxxx 对于任何实数,总有 即 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 6 / 18 A.2xB. 4xC. 12 2,4xxD. 12 2,4xx 4.已知 111 20,19,21 202020 axb
12、xcx,则代数式 222 abcabbcac的 值是() A.4 B.3 C. 2 D. 1 二、填空题 5 22 4_9(_3)x 6将二次三项式 2 x2x2进行配方,其结果等于_. 7.已知 m 是方程 2 xx20的一个根,则代数式 2 mm的值等于 _. 三、解答题 8用配方法解下列方程 2 (1)2360;xx 2 21 (2)20; 33 yy 2 (3)0.40.81;xx 2 (4)2(31)2 30;yy 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 7 / 18 9.用配方法证明 2 1074xx的值恒小于0. 10.来自信息产业部的统计数字显示,2003 年
13、 1 月至 4 月份我国手机产量为4000 万台,相当 于 2002 年全年手机产量的80,预计到2004 年年底收机产量将达到9800 万台,试求 这两年手机产量平均每年的增长率. 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 8 / 18 第 3 讲公式法 【知识要点 】 1公式法:一般地,对于一元二次方程 2 22 1 2 bb4ac 00),b4ac0x. 2a axbxca , (当时, 2 2 b4ac0当 =,方程可用公式法求解;当 2 b4ac0当 =时,方程无解 . 【典型例题 】 例 1用公式法解下列方程 2 1x4 3100x() 2 ( 2 ) 221xx(
14、 3 ) (1) (1)22xxx 分析:首先把每个方程化成一般式,确定a、b、c 的值,在 2 b4ac0的前提下,代 入求根公式求出方程的根. 解: 2 22 12 2 22 12 (2)2210, 2,2,1,424?2?( 13 , 2 1313 ,. 22 (3)2 210, 1,2,1,42 24?1?( 2 22 3 23, 2 23,23. (4) xx abcbac xx xx abcbac xx 移项,得 -1)=120, -212 x= 2 2 原方程可化为 ()-1)=120, -(-22 )12 x= 2 2 2 22 12 10, 1,1,1,414?1?( 15
15、, 2 1515 ,. 22 xx abcbac xx 将原方程可化为 -1)=50, x 22 (1)1,4,10,4( 4 34 1 1080, ( 4 3)84 32 2 2 32 2 12 x 2 32x2 32. abcbac x 1=2 ) , , 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 9 / 18 例 2 阅读下面一段材料,并解答问题. 2 2 22 2 2 4 0(0), 2 40,4 4 2 0 0(0, , ,) bbac axbxcax a bacbac bbac x a a axbxcaa b c 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式 由平方
16、根的意义知 : 当时 即负数, 没有平方根 , 故代数式就决定了方程根 的情况 , 称它为一元二次方程根的判别式, 用记号“ ”表示, 故公式必须 符合条件且0, 方可用于求实数根 . 此外, 若均为整数 应当 2 2 2 2 1212 4 4)2, (1)10,: 4 ,? ,? :, bac bbaca k xxkx k x xxxk 注意当是完全平方时 , 方程根 为有理根 ; 当 是完全平方且 (是的整数倍时 方程的根为整数根 . 根据上面得出的结论 , 请你解答下列问题 : 已知关于 的方程试求 为何值时 方程有两个实数根 若方程的两个实数根满足则 为何值 分析 根据上面材料分析 当
17、0时方程有实数根 , 从而确定 k的取值 , 对 12 2 2 12 112 12 12 12 1 . :(1),1)4(1)0 4 3 230. 2 (2) 0,0,2k-3=0, 35 k=,0, 24 0, 010,10, , xx k k kk xx xxx xx xx xxkk x 1 于中 需分类讨论 解方程有实数根 故0, 即 -( 化简得时方程有两个实数根 由 当时此时即 符合要求 . 当x时 即与相矛盾 故舍去k=-1 3 综上可知 : 当k= 时 有 2 2 x 例 3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200 平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制 ,三
18、级水库处理 池的长、宽都不能超过16 米,如果池的外围墙建造单价为每米 400 元,中间两条间隔墙单价为每米300 元,池底建造单价为每平 方米 80 元.(池墙的厚度忽略不计) (1) 当三级污水处理池的总造价为47200 元时 ,求池长 x; (2)如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200 元为总造价来修 建三级污水处理池是否最合算?请说明理由 . A D B C 隔 墙 隔 墙 x 人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习(含答案) 10 / 18 分析:可根据三级污水处理池的总造价为47200 元列方程 . 2 1212 400400 : (1)400(2)3
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