人教版九年级数学上个单元知识点总结.pdf
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1、第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数 (一元) ,并且未知数的最高次数是2( 二次) 的整 式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式,其中叫做二 次项, a 叫做二次项系数; bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数; c 叫 做常数项。 二、降次 -解一元二次方程 1降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程( 不管用 什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2=b 或 的一元 二次方程。根据平方根的定义可知,是 b
2、 的平方根,当时, ,当 b0时,方程有两个实数根。 当=0时,方程有两个相等实数根。 当0 时,方程没有实数根。 5、因式分解法:先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式 的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于0, 从而实现降次, 这种解叫因式分解法。 这种方法简单易行, 是解一元二次方程最常用 的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程中,叫做 一元二次方程的根的判别式,通常用“” 来表示, 即 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是,由求根公式 可算出,。 第二十二章二次函数 一、二次函数概念: 1二次函数的概念: 一般地,形如(是常数,)
3、的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方 程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的定义域是 全体实数 2. 二次函数的结构特征: 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数 是 2 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上 轴 时,随的增大而增大;时,随 的增大而减小;时,有最小值 向下 轴 时,随的增大而减小;时,随 的增大而增大;时,有最大值 2. 的性质: 上加下减。 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向
4、上 轴 时,随的增大而增大;时,随 的增大而减小;时,有最小值 向下 轴 时,随的增大而减小;时,随 的增大而增大;时,有最大值 3. 的性质: 左加右减。 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上X=h 时,随的增大而增大;时,随 的增大而减小;时,有最小值 向下X=h 时,随的增大而减小;时,随 的增大而增大;时,有最大值 4. 的性质: 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上X=h 时,随的增大而增大;时,随 的增大而减小;时,有最小值 向下X=h 时,随的增大而减小;时,随 的增大而增大;时,有最大值 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:将抛物线
5、解析式转化成顶点式,确定其 顶点坐标; 保持抛物线的形状不变, 将其顶点平移到处,具体 平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下 移” 概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二: 沿轴平移 : 向上(下)平移个单位, 变成 (或) 沿轴平移:向左(右)平移个单位,变 成(或) 四、二次函数与的比较 从解析式上看,与是两种不同的表达形 式,后者通过配方可以得到前者,即,其中 五、二次函数图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称 轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为:顶点、与
6、轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的 交点,(若与轴没有交点, 则取两组关于对称轴对称 的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的 交点,与轴的交点 . 六、二次函数的性质 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为 当时,随的增大而减小;当时,随的增大而 增大;当时,有最小值 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为 当时,随的增大而增大;当时,随 的增大而减小;当时,有最大值 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:( , , 为常数,) ; 2. 顶点式:( , ,为常数,) ; 3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的 横坐标) . 注意:任何
7、二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所 有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点, 即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函 数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中,作为二次项系数,显然 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之 的值越小,开口越大; 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开 口方向,的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴 在的前提下, 当时,即抛物线的对称轴
8、在轴左侧; 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 当时,即抛物线的对称轴在轴右侧; 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的左侧 总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的 右侧则,概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴 交点的纵坐标为正; 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点, 即抛物线与轴 交点的纵坐标为; 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴 交点的纵坐标为负 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置 总之,
9、只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的 九、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待 定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形 式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式 十、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表 达 1. 关于轴对称 关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,
10、得到的解析式是; 2. 关于轴对称 关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,得到的解析式是; 3. 关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是; 关于原点对称后,得到的解析式是; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180) 关于顶点对称后,得到的解析式是; 关于顶点对称后,得到的解析式是 5. 关于点对称 关 于 点对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是 根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定 不会发生变化,因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式, 习惯上是先确定 原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点
11、坐标及开口方向,再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表 达式 十一、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): 一元二次方程是二次函数当函数值时 的特殊情况 . 图象与轴的交点个数: 当时,图象与轴交于两点, 其中的是一元二次方程的两根这两点间 的距离. 当时,图象与轴只有一个交点; 当时,图象与轴没有交点 . 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有 ; 当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,; 3. 二次函数常用解题方法总结: 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需
12、转化为一元二次方程; 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般 式转化为顶点式; 根据图象的位置判断二次函数 中 , ,的符号,或 由二次函数中, ,的符号判断 图象的位置,要数形结合; 抛物线与轴 有两个交点 二次三项式的值 可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与 轴 只有一个交点 二次三项式的值 为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与 轴 无交点 二次三项式的值 恒为正 一元二次方程无实数根 . 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知 一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性 求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的还
13、有二次三项式, 二次三项式本 身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 十二、二次函数图像参考: 十三、函数的应用 二次函数应用 第二十三章旋转 一、旋转 1、定义:把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做 旋转,其中 O叫做旋转中心 ,转动的角叫做 旋转角 。 2、性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等。 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转前后的图形全等。 二、中心对称 1、定义:把一个图形绕着某一个点旋转180,如果旋转后的 图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称 图形, 这个点就是它的 对称
14、中心 。 2、性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。 (2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分。 (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线 上)且相等。 3、判定:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这 一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形:把一个图形绕某一个点旋转180,如果旋 转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称 图形,这个店就是它的对称中心。 5、关于原点对称的点的特征:两个点关于原点对称时,它们的 坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P (-x ,-y ) 6、
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