人教版九年级数学上册拔高专题抛物线与圆的综合.docx.pdf
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1、初中数学试卷 鼎尚图文 * 整理制作 拔高专题抛物线与圆的综合 一、基本模型构建 常见模型 思考圆与抛物线以及与坐标系相交,根据抛物线的解析式可求交点坐 标,根据交点可求三角形的边长,由于圆的位置不同,三角形 的形状也不同。再根据三角形的形状,再解决其它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一: 抛物线、圆和直线相切的问题 例 1: (2015?崇左)如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标是( 5,4) , M 与 y 轴相 切于点 C,与 x 轴相交于A,B 两点 (1)则点 A,B, C 的坐标分别是A (2,0) , B (8,0) ,C (0,4) ; (2)设经过 A,B 两点的抛物线解析
2、式为y= 1 4 (x-5) 2+k,它的顶点为 E,求证:直线EA 与 M 相切; (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P, 且点 P 在 x 轴的上方, 使 PBC 是等腰三角形? 如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由 (1)解:连接MC、MA ,如图 1 所示: M 与 y 轴相切于点C,MC y 轴, M( 5, 4) , MC=MA=5 ,OC=MD=4 , C(0,4) , MD AB, DA=DB , MDA=90 , AD= 22 54=3, BD=3 , OA=5-3=2 , OB=5+3=8 , A(2,0) ,B(8,0) ; (2)证明:把点A(2,0)
3、代入抛物线y= 1 4 (x-5) 2+k,得: k=-9 4 , E(5,- 9 4 ) , DE= 9 4 ,ME=MD+DE=4+ 9 4 = 25 4 , EA 2=32+(9 4 ) 2=225 16 , MA 2 +EA 2=52+225 16 = 225 16 , ME 2=225 16 , MA 2+EA2=ME2, MAE=90 ,即 EAMA , EA 与 M 相切; (3)解:存在;点P坐标为( 5, 4) ,或( 5,71) ,或( 5,4+55) ;理由如下: 由勾股定理得:BC= 22 OCOB= 22 48=45,分三种情况:当PB=PC 时,点P 在 BC 的垂
4、直平分线上,点P 与 M 重合,P(5, 4) ; 当 BP=BC=45时,如图 2 所示:PD= 22 BPBD= 2 803=71, P ( 5,71) ; 当PC=BC=45时,连接MC ,如图3 所示:则PMC=90 ,根据勾股定理得: PM= 22 PCMC= 2 805=55, PD=4+55, P(5,4+55) ;综上所述:存在点P,且点 P 在 x 轴的上方,使PBC 是等腰三角形, 点 P 的坐标为( 5,4) ,或( 5,71) ,或( 5,4+55) 【变式训练】 (2015?柳州)如图,已知抛物线y=- 1 2 (x2-7x+6)的顶点坐标为 M,与 x 轴 相交于
5、A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧),与 y 轴相交于点C (1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:y=a(x-h)2+k(a0) ,并指出顶点 M 的坐 标; (2)在抛物线的对称轴上找点R,使得 CR+AR 的值最小,并求出其最小值和点R 的坐标; (3)以 AB 为直径作 N 交抛物线于点P(点 P 在对称轴的左侧) ,求证:直线MP 是 N 的切线 (1)解: y=- 1 2 (x2-7x+6)=- 1 2 (x2-7x)-3=- 1 2 (x- 7 2 )2+ 25 8 ,抛物线的解析式化为 顶点式为: y=- 1 2 (x- 7 2 ) 2+25 8 ,顶点 M 的坐标是(
6、7 2 , 25 8 ) ; (2)解: y=- 1 2 (x2-7x+6) ,当 y=0 时, - 1 2 (x2-7x+6 )=0,解得 x=1 或 6, A(1, 0) ,B( 6,0) , x=0 时, y=-3, C(0,-3) 连接 BC,则 BC 与对称轴x= 7 2 的交点为 R,连接 AR,则 CR+AR=CR+BR=BC ,根据两点之间线段最短可知此时CR+AR 的值最小, 最小值为BC= 22 63=35设直线BC 的解析式为y=kx+b , B(6,0) ,C(0, -3) , 60 3 kb b ,解得 2 3 1 k b ,直线BC 的解析式为:y= 1 2 x-3
7、,令x= 7 2 ,得y= 1 2 7 2 -3=- 5 4 , R 点坐标为( 7 2 ,- 5 4 ) ; (3)证明:设点P 坐标为( x,- 1 2 x 2+7 2 x-3) A(1, 0) ,B(6,0) , N( 7 2 ,0) , 以 AB 为直径的 N 的半径为 1 2 AB= 5 2 ,NP= 5 2 ,即( x- 7 2 ) 2+(-1 2 x 2+7 2 x-3) 2=(5 2 ) 2,化简整理得, x4-14x 3+65x2-112x+60=0 , (x-1) ( x-2) (x-5) (x-6)=0,解得 x1=1(与 A 重合,舍去) ,x2=2,x3=5(在对称轴
8、的右侧,舍去) , x4=6(与 B 重合,舍去) ,点 P 坐 标为( 2,2) M( 7 2 , 25 8 ) ,N( 7 2 , 0) , PM 2=(2-7 2 ) 2+(2-25 8 ) 2=225 64 ,PN 2= (2- 7 2 )2+22= 25 4 = 400 64 , MN 2=(25 8 )2= 625 64 , PM 2+PN2=MN2, MPN=90 ,点 P 在 N 上,直线MP 是 N 的切线 【教师总结】 本题是二次函数综合题目,考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析 式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识;综合性 强
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