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1、 一.中心对称(关于点的对称) (一)点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为 (2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0) 的对称点坐标为(-x,-y). 练习: (1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M 的坐标. (二)直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直 线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称 的直线n的方程. 解:(法一)直接代入上面结论 (法二)在直线
2、m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点 落在直线n上. (法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等. 一般地:曲线f(x,y)=0关于点M(m,n)的对称曲线 方程为f(2m-x,2n-y)=0 特别地曲线f(x,y)=0关 于原点(0,0)的对称曲线方程为f(-x,-y)=0 . 二.轴对称(即关于直线的对称) 例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标. 解(法一) 设B(m,n)由点关于直线对称的定义知: 线段ABl 即; =-1 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 在直线l上,故有 2 - -5=0 (一)点关于直线的对称: 联立 解得m=9
3、 n= -7 B(9,-7) (法二)直线ABl, 直线AB过点(-7,1) 直线AB的方程为y-1=- (x+7) 即x+2y+5=0 由 解得 即AB的中点为(1,-3) ,又A(-7,1) 由中点坐标公式得B的坐标为(9,-7). 小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点 Q(x1,y1)的方法: (1)(综合求解) 由点关于直线对称的定义及直 线l垂直平分线段PQ得方程组: 由(1)(2)可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 (2)(分步求解)可先求直线PQ的方程,然后解出 直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标, 最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标
4、. (3)(利用公式)点P(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0 的对称点Q的坐标为 一般地: 点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0) 点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0,-x0) 点(x0,y0)关于直线y=x+b的对称点为(y0-b,x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=-x+b的对称点为(b-y0,-x0+b) 点(x0,y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为( x0,-y0) 点(x0,y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0,y0) 点(x0,y0)关于直线y=m的对称点为(x0,2m-y0) 点(x0,y0)关于直线x=n的对称点为(2
5、n-x0,y0) 注:当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用上 述方法直接求出对称点的坐标。 (二)直线关于直线的对称 例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程. 解:设直线m, l, n的斜率分别为k1 ,k, K2 . 由直线关于直线对称的定义知:直线m到 直线l的角等于直线l到直线n的角.又 k1=1,k=3 解得:k2=-7 由 解得 x y o m n l 即直线m,l,n的交点为 直线n的方程为 法(二): 在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直 线l的对称点A1 落 在直线n上,然后解出直线l和 m的交点,由直线方程
6、的两点式求出直线n的方程. 例4.已知ABC的顶点为A(-3,0), B(0,3), C(3,-12)求:A 的内角平分线所在的直线方程. 解(法一)设 :A平分线所在直线l的斜率为k 直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC=-2, kAB=1 K=3- 其方程为 即 (法二)设A的内角平分线 交直线BC与点T A的内角平分线的斜率 K(-2,1), 点T分有向线段 的 比为 设T(x,y),由定比分点坐标公式得: x A B C y o T T 由直线方程的两点式求得A内角平分线所在直线的方程 问(1)你会用第三种方法解这道题吗? (2) 你会求A外角平分线所在直线的方程吗? 一般地
7、:求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率;也可 以转化为求点关于直线的对称点来解决。 特别地:当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下 结论直接代入; 设直线方程为f(x,y)=0则: 直线f(x,y)=0关于直线y=x对称的直线方程为f(y,x)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=-x对称的直线方程为f(-y,-x)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f(y-b,x+b)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=-x+b对称的直线方程 为f(b-y,-x+b)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=0(x轴)对称的直线方程为f(x,-y)=0 直线f(x,
8、y)=0关于直线x=0(y轴)对称的直线方程为f(-x,y)=0 直线f(x,y)=0关于直线y=m对称的直线方程为f(x,2m-y)=0 直线f(x,y)=0关于直线x=n对称的直线方程为f(2n-x,y)=0 三.对称问题的应用: (一)涉及定直线l上一点P与两定点A,B的距离和(或差 )的最值问题 1.若A,B两点在直线的同侧: (1)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的 交点P使得|PA|+|PB|最小; (2)直线AB与直线l的交点P使得|PA|-|PB|最大。 2.若A,B两点在直线的异侧: (1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小; (2)设点B关于
9、直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P 使得|PA|-|PB|最大. (二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对 称问题来解决. 例5.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一 点P,使得: (1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值; (2)|PA|-|PB|最大,并求出其最大值. 例6.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其 反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直 线的方程. 练习题: (1)点M (-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为_关于直线y=2x的对 称点为_ _ 关于点
10、(9,0)的对称点为 (2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为_关 于直线y=-x的对称直线为_关于直线x+3=0对称直线为_ (3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为_关于y轴 的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为 (4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和 反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线 y=2x上呢? (5)光线沿着斜率为 的直线l1射在斜率为 的直线l2上反射,若l1和 l2的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程. (6)已知ABC的一个顶点A(4,-1),其内角B,C的平分线方 程分
11、别为y=x-1和x=1,求边BC,AB所在的直线方程. (7)直线y=2x是ABC中角C的平分线所在的直线方程, A(-4,2),B(3,1)求C的坐标,并判断ABC的形状. (8) ABC的两条高线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的 坐标为(1,2),求BC 边所在的直线方程. (9)已知ABC的一个顶点A(-4,2),中线BD,CE所在的直线方 程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0,求边BC所在的直线方程. (10)已知ABC的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的 直线方程为6x+10y-59=0B的平分线所在直线方程为x- 4y+10=0,求边BC所在的直线方程. (11)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P 使|PA|+|PB| 最小 变形:在l上求一点Q使得| |QA|-|QB| |最大. (12)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P 使|PA|+|PB| 最小. 变形:在直线l上求一点Q使得| |QA| -|QB| |最大.
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