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1、专业文档 WORD 格式可编辑 _ - _ _ - _ _ _- _ _ : - 号 - 学 - _ _ - _ _ _ - _ _ _- _ _ _ _线 _ _封 _ _密 _ _ _ - _ : - 名 姓 - - - 班 - _ _ _ - _ _ _ - _ 年 - _ _ _ _线 _ _封 _ 密 _ _- _ _ _ - _ _ _- _ _ _ - _ _ _- _ _ _ - _ _ _ - : 校 - 学 - 12B-SX-0000022 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学全国 I 卷 本试卷共23 小题,满分150 分,考试用时120 分钟
2、(适用地区:河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建 ) 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案 写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1设 z3i,则 z = 12i A 2 B 3 C2D 1 2已知集合 U1,2,3,4,
3、5,6,7,A2,3,4,5 ,B2,3,6,7 ,则 B e A U A 1,6B 1,7C 6,7D 1,6,7 3已知 alog2 0.2,b 2 0.2 , c0.2 0.3 ,则 A abcB acb C cabD bca 4古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 专业文档 格式可编辑 比 是 51 ( 5 1 0.618 ,称为黄金分割比例 ),著名 2 2 的 “断 臂 维 纳 斯 ” 便 是 如 此 此外,最美人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 若某人满足 2 上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下 端的长度为
4、26 cm ,则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 5. 函数 f(x)= sin x x 2在 , 的图像大致为 cos x x A.B. C.D. 6某学校为了解1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为1, 2, ?, 1 000 , 从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验 . 若 46 号学生 被抽到,则下面4 名学生中被抽到的是 A 8 号学生B 200 号学生C 616 号学生D 815 号学生 7tan255 = A 2 3B 2+3C23D2+3 -1-2- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B
5、-SX-0000022 8已知非零向 量a, b 满足 a = 2 b ,且( ab) b,则 a 与 b 的夹角 为 2 5 A BCD 6336 1 9. 如图是 求2 1 的程序框图,图中空白框中应填入 2 1 2 1 A. A= A2 B. A=2 1 A 1 C. A= 2 A1 D. A=1 1 2 A x 2 y 2 1(a 0,b0) 的一条渐近线的倾斜角为 130 ,则 C 的 10双曲线 C: b 2 a 2 离心率为 A 2sin40 B 2cos40 C 11 D cos50sin50 11 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b,c,已知 asinA b
6、sinB=4 csinC , cosA= 1 ,则 b = 4c A 6B 5C 4D 3 12已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0),F2(1,0) ,过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点 .若 |AF | 2|F B| , |AB| |BF| ,则 C 的方程为 221 WORD 格式可编辑 A x2 y 2 1 B x 2 y 2 1 232 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1C 3 D 445 二、填空题:本题 共4 小题,每小题5 分,共 20 分。 13曲线 y 3(x 2 x)e x 在点 (0, 0) 处的切线方程为 _ 14记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项
7、和 .若 a11, S3 3 ,则 S4=_ 4 15函数 f ( x)sin(2 x 3 ) 3cos x 的最小值为 _ 2 16已知 ACB= 90 , P 为平面 ABC 外一点, PC=2 ,点 P 到 ACB 两边 AC, BC 的距离均为 3,那么 P 到平面 ABC 的距离为 _ 三、解答题: 共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题 为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23 题为选考题,考生根据要求 作答。 (一)必考题:共 60分。 17( 12 分) 某商场为提高服务质量,随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客,每位顾客 对 该商场的服
8、务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意不满意 男顾客4010 女顾客3020 ( 1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; ( 2)能否有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? -3-4- WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 附: K 2 n( adbc) 2 (ab)(c d )(a c)(bd ) P( K 2 k)0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 18( 12 分) 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,已知S9= a5 ( 1)若 a3=4 ,求 an 的通项公式; ( 2)若 a10 ,求使得
9、Sn an 的 n 的取值范围 -5-6- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 19( 12 分)20( 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1=4 ,AB=2 , BAD=60 , 已知函数 f (x) =2sinx xcosx x, f (x)为 f( x)的导 数 E, M, N 分别是 BC , BB1 , A1D 的中点 .( 1)证明: f ( x)在区间( 0, )存在唯一零点; ( 1)证明: MN 平面 C1DE ;( 2)若 x 0, 时, f( x) ax,求 a 的取值范围 ( 2)求点 C 到平面 C1
10、DE 的距离 -7-8- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 21.( 12 分) (二)选考题: 共10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则 已知点 A,B 关于坐标原 点 O 对称, AB =4, M 过点 A,B 且与 直线x+2=0 按所做的第一题计分。 相切 22 选修 4-4 :坐标系与参数方程 (10 分)( 1)若 A 在直线 x+y=0 上,求 M 的半径; ( 2 )是否存在定 点 P,使得当 A 运动时, MA MP 为定值?并说明理 由 1t 2 x, 在直角坐标 系xOy 中,曲线 C 的参数方程为 1t 2 ( t 为
11、参数),以坐 4t y 1t 2 标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直 线l 的极坐标方程为 2 cos3 sin11 0 ( 1)求 C 和 l 的直角坐标方程; ( 2)求 C 上的点到 l 距离的最小值 专业文档 WORD 格式可编辑 -9-10- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 23 选修 4-5 :不等式选讲( 10 分) 已知 a, b, c 为正数,且满 足 abc=1 证 明: (1) 1 11a 2 b 2 c 2 ; abc ( 2) (ab)3 (bc) 3 (ca) 3 24 专业文档 WORD 格式可编辑 -11-1
12、2- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学全国I 卷 参考答案 一、选择 题 1 C2 C3 B4 B5 D6 C 7 D8 B9 A10D 11 A12 B 二、填空 题 13 y=3x 14 5 15- 416 2 8 三、解答 题 17解: ( 1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 ,因此男 顾 50 客对该商场服务满意的概率的估计值 为0.8 女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 ,因此女顾客对该商场服务满 0.6 50 意的概率的估计值为0.6 ( 2 ) K 2 100 (40
13、20 30 10) 2 50507030 4.762 由于 4.762 3.841 ,故有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价 有差异 . 18解: ( 1)设an的公差为 d 由 S9a5得 a1 4d 0 由 a3=4 得 a1 2d 4 于 是 a1 8,d 2 因此 a n的通项公式为 an 10 2n ( 2)由( 1)得 a4d,故 an( n n(n 9) d . 15) d, S n 2 专业文档 WORD 格式可编辑 由 a1 0 知 d0 ,故 Sn? an等价于 n 2 11 n 10 ,0 ,解得 1n 10 所以 n 的取值范围是 n |1 剟 n 10,
14、 n N 19解: (1)连结 BC,MEBB, BC 的中点,所以ME BC , 且 1 .因为 M,E 分别 为11 ME 1 .又因为 N 为 AD1的中点,所 以 ND 1. 11BCA D 22 ND ,因此四边形 MNDE 由题设知 AB11 = DC ,可得 BC1 = AD1 ,故 ME = 为平行四边形,MNED . 又 MN平面 CDE ,所以 MN 平面 CDE 11. ( 2)过 C 作 C1E 的垂线,垂足为 H. 由已知可得 DEBC , DE CC ,所以 DE 平面 CCE ,故 DE CH. 11 从而 CH 平面 CDE ,故 CH 的长即为 C 到平面 C
15、DE 的距离, 11 由已知可得 CE=1 , C1C=4 ,所以 C E17 ,故 CH 417 . 1 17 从而点 C 到平 面 4 17 CDE 的距离为 . 1 17 20解: -13-14- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 ( 1)设 g ( x)f( x) ,则 g ( x)cos x x sin x1, g ( x) x cos x . 0 ;当 x 当 x (0, ) 时, g ( x) 2 , 时, g ( x) 0 ,所以 g ( x ) 在 (0, ) 22 单调递增,在, 单调递减 . 2 又 g(0)0, g 0, g( )2 ,故 g
16、 ( x) 在 (0, ) 存在唯一零点 . 2 所以 f ( x) 在 (0, ) 存在唯一零点 . ( 2)由题设 知f ( )? a , f ( ) 0,可得 a0. 由( 1)知,f ( x) 在 (0, ) 只有一个零点,设为x0,且当 x0, x0时, f ( x )0 ;当 x x0, 时, f ( x ) 0 ,所以 f ( x ) 在 0, x0 单调递 增, 在 x0 ,单调递减 . 又 f (0)0, f ( )0 ,所以,当 x0, 时, f ( x) ? 0 . 又当 a,0, x0, 时, ax0,故 f ( x) ? ax . 因此, a 的取值范围是 (,0 .
17、 21解:( 1)因为 M 过点 A, B ,所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上 .由已知 A 在 直线 x + y =0 上,且 A,B 关于坐标原点O 对称,所以 M 在直线 yx 上,故可 设 M ( a, a ) . 因为 M 与直线 x+2=0 相切,所以M 的半径为 r| a2 | . 由已知得 |AO |=2 ,又 MOAO ,故可得 2a 2 4(a 2) 2 ,解得 a=0 或 a=4 . 故M 的半径 r =2 或 r =6 . ( 2)存在定点 P (1,0),使得 |MA | |MP | 为定值 . 理由如下: 设 M ( x, y ) ,由已知M 的半径为 r 得
18、=|x+2|,|AO|=2 . WORD 格式可编辑 由于 MOAO ,故可得x2y 2 4 (x 2) 2 ,化简得 M 的轨迹方程为 y 2 4x . 因为曲线 C: y 2 4x 是以点 P (1,0)为焦点,以直线 x 1 为准线的抛物 线, 所以 |MP |=x+1 . 因为 |MA | |MP |=r|MP |=x+2 (x+1)=1 ,所以存在满足条件的定 点P. 1t 22 1 t2 2 4t 2 22解:( 1)因 为1 ,且2y,所以 1 t 2 1 x21 t 2 1 t 2 2 1 C 的直角坐标方程 为 2y 2 1) .x1(x 4 l 的直角坐标方程 为2x3y
19、110 . (2)由( 1)可设 C 的参数方程 为xcos,为参数, ) . y2sin ( 4cos 11 | 2cos2 3 sin11|3 C 上的点到 l 的距离 为 . 77 当 2 时, 4cos 11 取得最小值 7,故 C 上的点到 l 距离的最小 33 值为7 . 23解:( 1)因为 a 2 b 2 2abb, 2 c 2 2bc, c 2 a 2 2ac,又 abc 1,故有 a 2 b 2 c 2 abbccaabbcca111 . abcabc 所以111 a 2 b 2 c 2 . ab c -15-16- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 ( 2)因为 a , b , c为正数且 abc 1 ,故有 (a b) 3 (b c) 3 (c a) 3 3 3 (a b) 3 (b c) 3( a c)3 =3(a +b)(b +c)( a+c) 3 (2 ab) (2 bc) (2 ac) =24. 所以 (a b) 3 (b c) 3 (c a) 3 24. -17-18- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 -19-20- 专业文档 WORD 格式可编辑 12B-SX-0000022 -21-22- 专业文档 WORD 格式可编辑
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