【优质文档】《微积分》各章习题与详细答案.pdf
《【优质文档】《微积分》各章习题与详细答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【优质文档】《微积分》各章习题与详细答案.pdf(42页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、- - 第一章函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x fcos1) 2 (sin,则)(cosxf。 2、 )1( )34( lim 2 2 xx x x 。 3、0x时,xxsintan是x的阶无穷小。 4、0 1 sinlim 0 x x k x 成立的k为。 5、 xe x x arctanlim。 6、 0, 0, 1 )( xbx xe xf x 在0x处连续,则b。 7、 x x x 6 )13ln( lim 0 。 8、设)(xf的定义域是 1 , 0,则)(ln xf的定义域是 _。 9、函数)2ln(1xy的反函数为 _。 10、设a是非零常数,则_)(lim x x a
2、x ax 。 11、已知当0x时,1)1( 3 1 2 ax与1cosx是等价无穷小,则常数_a。 12、函数 x x xf 1 3 arcsin)(的定义域是 _。 13、 22 lim (22)_ x xx。 14、设8) 2 (lim x x ax ax ,则a_。 15、)2)(1(limnnnn n =_。 二、选择题 1、设)(),(xgxf是,ll上的偶函数,)(xh是,ll上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。 ())()(xgxf; ())()(xhxf; (C))()()(xhxgxf; (D))()()(xhxgxf。 2、 x x x 1 1 )(, 3 1)(xx,则
3、当1x时有。 ()是比高阶的无穷小;()是比低阶的无穷小; (C)与是同阶无穷小;(D)。 3、函数 0 ) 1(0, 11 11 )( 3 xk xx x x xf在0x处连续,则k。 () 2 3 ;() 3 2 ;(C)1;(D)0。 4、数列极限ln)1ln(limnnn n 。 ()1;()1;(C);(D)不存在但非。 5、 0 1 cos 00 0 sin )( x x x x x x x x xf,则0x是)(xf的。 - - ()连续点; ()可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)振荡间断点。 6、以下各项中)(xf和)(xg相同的是() () 2 lg)(xxf,xxgl
4、g2)(;()xxf)(, 2 )(xxg ; (C) 334 )(xxxf, 3 1)(xxxg; (D)1)(xf,xxxg 22 tansec)(。 7、 | sin lim 0 x x x = () ()1;()-1;(C)0;(D) 不存在。 8、 x x x 1 0 )1 (lim() ()1;()-1 ;()e;() 1 e。 9、)(xf在 0 x的某一去心邻域内有界是)(lim 0 xf xx 存在的() ()充分必要条件; ()充分条件;(C)必要条件; (D)既不充分也不必要条件. 10、)1(lim 2 xxx x () ()1;()2;(C) 2 1 ;( D)0。
5、11、设, nnn cba均为非负数列,且 n n n n n n cbalim, 1lim,0lim,则必有() (A) nn ba对任意n成立;(B) nn cb对任意n成立; (C)极限 nn n calim不存在;(D)极限 nn n cblim不存在。 12、当1x时,函数 1 12 1 1 x e x x 的极限() ()等于;()等于;()为;()不存在但不为。 三、计算解答 1、计算下列极限 (1) 1 2 sin2lim n n n x ;(2) x xx x cotcsc lim 0 ; (3))1(lim 1 x x ex;(4) x x x x 3 12 12 lim
6、; (5) 1coscos2 1cos2cos8 lim 2 2 3 xx xx x ;(6) xx xxx x tan cossin1 lim 0 ; (7) ) 1( 1 32 1 21 1 lim nn n ; ( 8) 32 3 2 4arctan )21ln( lim x x x 。 、试确定ba,之值,使 2 1 1 1 lim 2 bax x x x 。 、利用极限存在准则求极限 (1) n nn n 1 3 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 lim 。 (2)设0 1 ax,且),2, 1( 1 naxx nn ,证明 n n xlim 存在,并求此极限值。 5、讨
7、论函数 xx xx n nn nn xflim)(的连续性,若有间断点,指出其类型。 6、设)(xf在,ba上连续,且bxfa)(,证明在),(ba内至少有一点,使)(f。 - - 第一单元函数极限与连续习题解答 一、填空题 1、x 2 sin2。 2 sin22) 2 sin21(1) 2 (sin 22 xxx f, 2 22)(xxfxxxf 22 sin2cos22)(cos。 2、0。0 16249 lim )1( )34( lim 3 2 2 2 xx xx xx x xx 。 3、高阶。0)cos1(lim )cos1(tan lim sintan lim 000 x x xx
8、x xx xxx , xxsintan 是x的高阶无穷小。 4、0k。 x 1 sin为有界函数,所以要使0 1 sinlim 0 x x k x ,只要0lim 0 k x x,即0k。 5、0。0arctanlim xe x x ) 2 , 2 (arctan,0lim(xe x x 。 6、2b。bbxxf xx )(lim)(lim 00 ,2)1(lim)(lim 00 x xx exf, ,)0(bf2b。 7、 2 1 2 1 6 3 lim 6 )13ln( lim 00 x x x x xx 。 8、ex1根据题意要求1ln0x,所以ex1。 9、2 1x ey)2ln()1
9、(),2ln(1xyxy, 1 2 y ex, 2 1y ex,)2ln(1xy的反函数为2 1x ey。 10、 a e 2 原式 = a a ax x a ax x e ax a 2 2 2 ) 2 1(lim 。 11、 2 3 a由 2 3 1 2 3 1 1)1(axax(利用教材P58(1)1 a xax)与 2 2 1 1cosxx,以 及1 3 2 2 1 3 1 lim 1cos 1)1( lim 2 2 0 3 1 2 0 a x ax x ax xx , 可得 2 3 a。 12、 2 1 4 1 x由反三角函数的定义域要求可得 01 1 1 3 1 x x x 解不等式
10、组可得 1 2 1 4 1 x x ,)(xf的定义域为 2 1 4 1 x。 13、0 2222 22 22 (22)(22) lim22lim 22 xx xxxx xx xx 22 22 2(2) lim0 22 x xx xx 。 14、2ln 23 lim()lim(1) xx xx xaa xaxa ,令 t= 3 xa a ,所以 x=3ata - - 即: 3211 lim()lim(1) (1) xtaa xt xa xatt = 3 8 a e 2ln 3 2ln 8ln 3 1 8ln3 3 aa。 15、2 )2( 2)1( lim)2)(1(lim nn nn nnn
11、n nn 2 1 2 1 ) 1 11(2 lim n n n 。 二、选择题 1、选()令)()()()(xhxgxfxF,由)(),(xgxf是,ll上的偶函数,)(xh是,ll上的奇函数, )()()()()()()()(xFxhxgxfxhxgxfxF。 2、选() )1 (11)1( 1 lim )1)(1( 1 lim )( )( lim 31 3 11 xx x xx x x x xxx 2 3 )1( 3 1 )1 ( 1 l i m 1 xx x x (利用教材P58(1)1 a xax) 3、选( A) 2 3 3 1 2 1 lim 11 11 lim)(lim 0 3
12、00 x x x x xf xxx (利用教材P58(1)1 a xax) 4、选() 1 limln(1)lnlimln(1)1 n nn nnn n 5、选() 1)0(f,0)0(f,0)0(f 6、 选 () 在 (A) 中 2 ln)(xxf的定义域为0x, 而xxgln2)(的定义域为0x,)()(xgxf 故不正确 在( B)xxf)(的值域为),(, 2 )(xxg的值域为0x,故错 在( D)中1)(xf的定义域为R , xxxgtansec)( 2 的定义域为 2 ,kxRx,)()(xgxf,故错 7、选()1 sin lim | sin lim 00 x x x x x
13、x ,1 sin lim | sin lim 00 x x x x xx | sin lim 0 x x x 不存在 8、选() 1 )1( 1 0 1 0 )(1 lim)1 (limexx x x x x , 9、选()由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0 xf xx 存在,则必有 0 x的某一去心邻域使)(xf有界, 而)(xf在 0 x的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0 xf xx 存在,例如 x x 1 sinlim 0 ,函数1 1 sin1 x 有界, 但在0x点极限不存在 10、选() ( 22 2 22 (1)(1) lim(1)limlim 11 xxx xx
14、xxx xxxx xxxx - - 2 1 1 1 1 1 lim 2 x x 11、选( D)(A) 、 ()显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情 况,不可能得出“对任意n成立”的性质。 ()也明显不对,因为“无穷小无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。 12、选( D)002)1(lim 1 1 lim 1 1 1 1 1 2 1 x x x x exe x x 1 1 1 1 12 1 )1(lim 1 1 lim x x x x exe x x 当1x时函数没有极限,也不是。 三、计算解答 1、计算下列极限: (1)解:x xx n n n n n
15、 n 2 2 2lim 2 sin2lim 11 。 (2)解: 2 2 0000 1cos csccot1cos1 sinsin2 limlimlimlim sin2 xxxx xx xxx xx xxxxx 。 (3)解: 1 1 lim)1(lim 1 x xex x x x 。 (4)解: 3 2 1 2 1 33 ) 2 1 1 1(lim) 12 2 1(lim) 12 12 (lim x x x x x x x xx x 。 11 333 22 11 lim(1)lim(1) 11 22 x x x e xx (5)解: )1)(cos1cos2( ) 1cos4)(1cos2(
16、 lim 1coscos2 1cos2cos8 lim 3 2 2 3 xx xx xx xx xx 2 1 2 1 1 2 1 4 1cos 1cos4 lim 3 x x x 。 (6)解: )cossin1(tan cossin1 lim tan cossin1 lim 00 xxxxx xxx xx xxx xx 2 0 2 0 2 0 2 cos1 lim 2 sin lim 2 cos1sin lim x x x xx x xxx xxx 4 3 4 1 2 1 。 0 lim(1sincos )2 x xxx (7)解: )1( 1 32 1 21 1 lim nn x ) 1
17、11 () 3 1 2 1 () 2 1 1(lim nn x 1) 1 1 1 (lim n x 。 (8)解: 3 3 1 232 3 232 3 2 4 1 ) 2 1 (lim 4 2 lim 4arctan )21ln( lim x x x x x xxx 。 - - 、解: 1 )(1 lim) 1 1 (lim 222 x bxbaaxx bax x x xx 2 1 1 )1()()1 ( lim 2 x bxbaxa x 2 1 )( 01 ba a 2 3 1 b a 、 ( 1) 1 1 1 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 1 n n nn 而11 1 1
18、lim n x 1 1 3 1 2 1 1 1 11 3 1 2 1 1 lim n nn x 。 (2)先证有界(数学归纳法) 1n时,aaaaxx 12 设kn时,axk , 则aaaxx kk 2 1 数列 n x有下界, 再证 n x单调减, 1 1 nn n n n x a x ax x x 且0 n x nn xx 1 即 n x单调减, n n xlim 存在,设 Axn n lim , 则有aAA0A(舍)或aA,axn n lim 、解:先求极限得 0 0 0 1 0 1 1 1 lim)( 2 2 x x x n n xf x x n 而1)(lim 0 xf x 1)(l
19、 i m 0 xf x 0)0(f )(xf的连续区间为),0()0 ,( 0x为跳跃间断点.。 、解:令xxfxF)()(, 则)(xF在,ba上连续 而0)()(aafaF 0)()(bbfbF 由零点定理,),(ba使0)(F 即0)(f,亦即)(f。 - - 第二章导数与微分 一、填空题 1、已知2)3(f,则 h fhf h 2 )3()3( lim 0 = 。 2、)0(f存在,有0)0(f,则 x xf x )( lim 0 = 。 3、 1 arctanxy x ,则 1x y= 。 4、)(xf二阶可导,)sin1(xfy,则y= ;y= 。 5、曲线 x ey在点处切线与连
20、接曲线上两点), 1 (),1 ,0(e的弦平行。 6、)1lnarctan(xy,则dy= 。 7、 42 sin xy,则 dx dy = , 2 dx dy = 。 8、若 tx x x ttf 2 ) 1 1 (lim)( ,则)(tf= 。 9、曲线1 2 xy于点 _处的切线斜率为2。 10、设 x xey,则_)0(y。 11、设函数)(xyy由方程0)cos(xy e yx 确定,则_ dx dy 。 12、设 ty tx cos 1 2 则_ 2 2 dx yd 。 二、单项选择 1、设曲线 x y 1 和 2 xy在它们交点处两切线的夹角为,则tan=() 。 ()1;()
21、1;(C)2;()3。 3、函数 x k exf tan )(,且ef) 4 ( ,则k() 。 ()1;()1;( C) 2 1 ;()2。 4、已知)(xf为可导的偶函数,且2 2 )1()1( lim 0 x fxf x ,则曲线)(xfy在)2, 1(处切线的方程 是。 ()64xy; ()24xy; (C)3xy; ()1xy。 5、设)(xf可导,则 x xfxxf x )()( lim 22 0 = 。 ()0;())(2xf; (C))(2xf; ())()(2xfxf。 6、函数)(xf有任意阶导数,且 2 )()(xfxf,则)( )( xf n = 。 () 1 )( n
22、 xfn; () 1 )( ! n xfn; (C) 1 )()1( n xfn; () 2 )()!1(xfn。 7、若 2 )(xxf,则 x xfxxf x )()2( lim 00 0 =() () 0 2x;() 0 x;(C) 0 4x;()x4。 8、设函数)(xf在点 0 x处存在)( 0 xf和)( 0 xf,则)()( 00 xfxf是导数)( 0 xf存在的() ()必要非充分条件;()充分非必要条件; (C)充分必要条件;()既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(xxxxxf则)0(f() ()99;()99;(C)!99;()!99。 - - 10、若
23、)(uf可导,且 )( 2 xfy,则有dy() () dxx f x )( 2 ; ()dxx f x )(2 2 ; (C)dxxf)(2 2 ; ()dxx f x )(2 2 。 11、设函数)(xf连续,且0)0( f,则存在0,使得() (A))(xf在),0(内单调增加;(B))(xf在)0,(内单调减少; (C)对任意的),0(x有)0()(fxf; (D)对任意的)0,(x有)0()(fxf。 12、设 0 0 1 sin )( 2 xbax x x x xf在0x处可导,则() (A)0, 1 ba;(B)ba, 0为任意常数; (C)0,0 ba;(C)ba,1为任意常数
24、。 三、计算解答 1、计算下列各题 (1) x ey 1 sin2 ,求dy;(2) 3 ln ty tx ,求 12 2 t dx yd ; (3)yyxarctan, 2 2 dx yd ;(4)xxycossin,求 )50( y; (5) x x x y) 1 (,求y; (6))2005()2)(1()(xxxxxf,求)0(f; (7))()()(xaxxf,)(x在ax处有连续的一阶导数,求)()(afaf、; (8)设)(xf在1x处有连续的一阶导数,且2)1 (f,求)1(coslim 1 xf dx d x 。 2、试确定常数ba,之值,使函数 01 02)sin1 ( )
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 优质文档 微积分 优质 文档 各章 习题 详细 答案
链接地址:https://www.31doc.com/p-5294945.html