【优质文档】《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习(基础带答案).pdf
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1、学习必备欢迎下载 锐角三角函数全章复习与巩固- 知识讲解(基础) 【学习目标】 1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比;记忆30、 45、 60的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数; 2能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角的度数; 3理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题; 4通过锐角三角函数的学习,进一步认识
2、函数,体会函数的变化与对应的思想,通过解直角三角的学习, 体会数学在解决实际问题中的作用,并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1. 正弦、余弦、正切的定义 如右图、在RtABC中, C=90 ,如果锐角A确定: (1)sinA=,这个比叫做A的正弦 . (2)cosA=,这个比叫做A的余弦 . (3)tanA=,这个比叫做A的正切 . 要点诠释: (1) 正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,它只是一个数值,其大小只与锐 角的大小有关,而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA 、cosA、tanA 是一个整
3、体符号,即表示A三个三角函数值,书写时习惯上省略符号“”, 但不能写成sin A,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号 “”不能省略, 应写成 sin BAC , 而不能写出sinBAC. (3)sin 2A表示 (sinA)2,而不能写成 sinA 2. (4) 三角函数有时还可以表示成等. 2. 锐角三角函数的定义 锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数. 要点诠释: 1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值,sinA 有唯一确定的值与它对应,所以sinA 是 A的函数 . 同 样,cosA、tanA 也是 A的函数,其中A是自变量, sinA 、cosA、t
4、anA 分别是对应的函数. 其中自 变量 A的取值范围是0 A90,函数值的取值范围是0sinA 1,0cosA1,tanA 0. 2锐角三角函数之间的关系: 余角三角函数关系:“正余互化公式”如 A+B=90,那么: sinA=cosB ; cosA=sinB ; 同角三角函数关系:sin 2Acos2A=1;tanA= 3.30 、 45、 60角的三角函数值 30、45、60角的三角函数值和解30、60直角三角形和解45直角三角形为本章重中 之重,是几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 学习必备欢迎下载 A 304560 sinA cosA tanA 1 要点二、解直
5、角三角形 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图: 角角关系:两锐角互余,即A+B=90;边边关系:勾股定理,即; 边角关系:锐角三角函数,即 要点诠释:解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形: (1) 已知两条边 ( 一直角边和一斜边;两直角边);(2) 已知一条边和一个锐角( 一直角边和一锐角;斜边和一锐 角) 这两种情形的共同之处:有一条边因此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边 要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些 实际
6、问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1. 解这类问题的一般过程(1) 弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后 根据题意画出几何图形,建立数学模型. (2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3) 根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形. (4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 2. 常见应用问题 (1) 坡度:; 坡角 :. 2. (2) 方位角: 3.(3)仰角与俯角: 学习必
7、备欢迎下载 123 要点诠释: 1解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 RtABC 两 边 两直角边 (a ,b) 由求 A, B=90 A, 斜边,一直角边( 如 c,a) 由求 A, B=90 A, 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 ( 如 A,b) B=90 A, , 锐角、对边 ( 如 A,a) B=90 A, , 斜边、锐角 ( 如 c, A) B=90 A, , 2 用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是: 把实际问题抽象成数学问题( 解直角三角形) ,就是要舍去实际事物的具体内容,把事物及它们的联系转化为图形 ( 点、线、角等) 以及图形之间的大小或
8、位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念( 如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等) 的意义,也有助于把实际问题抽象为 数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求解 学习必备欢迎下载 3锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性,适用于所有形状的三角形,而三角函数的计算是在直角三角形中解决问 题,所以在直角三角形中先考虑三角函数,可以使过程简洁. 如:射影定理不能直接用,但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单: 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1(1) 如图所示, P是角 的边上一点,且点P的坐标为 (-3 ,4) ,则 sin ( )
9、 A 3 5 B 4 5 C 4 5 D2 例 1(1)图例 1( 2)图 (2) 在正方形网格中,AOB如图所示放置, 则 cosAOB的值为 ( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 1 2 D.2 【答案】 (1)C ; (2)A ; 【解析】 (1) 由图象知 OA 3,PA4,在 RtPAO中 2222 345OPOAPA 4 sin 5 PA OP 所以选C (2) 由格点三角形知如图中存在一个格点三有形RtOCD ,且 OC 1,CD 2,则 OD5 因此 15 cos 55 OC AOB OD 所以选A 【点评】 两小题都没有出现现成的直角三角形O 分别置于直 角坐标系和正
10、方形网格之中,通过观察图形,构造含O的直角三角形 举一反三:【变式】 已知,如图,D是ABC中BC边的中点,90BAD, 2 tan 3 B,求sinDAC A BC D 【答案】 过 D作 DE AB交 AC于 E,则 ADE= BAD=90 ,由 2 tan 3 B,得 2 , 3 AD AB 设 AD=2k,AB =3k, D是ABC中BC边的中点, DE = 3 , 2 k在 RtADE中, 5 , 2 AEk 3 3 2 sin. 55 2 k DE DAC AE k 学习必备欢迎下载 类型二、特殊角三角函数值的计算2先化简,再求代数式 2 31 1 22 x xx 的值,其中 4s
11、in 452cos60x 【答案与解析】原式 121 2(1)(1)1 xx xxxx 而 21 4sin 452cos 60422 21 22 x 原式 12 4 2 2 【点评】先进行分式化简,再由 21 sin 45,cos 60 22 得 x 的值,最后代值求出结果 举一反三:【变式】 计算: tan 2 30 cos 230 sin245tan45 【答案】 原式 = 222 332 () +()()1 322 = 131 + 342 = 7 12 类型三、解直角三角形3如图所示,菱形ABCD 的周长为20 cm ,DE AB ,垂足为 E, 3 sin 5 A,则下列结论正确的 个
12、() DE 3 cm; BE 1 cm;菱形的面积为15 cm 2; BD 2 10cm A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】 C; 【解析】 由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm 在 Rt ADE中, AD5 cm,sin A 3 5 , DEAD sinA 3 53 5 (cm) 22 4AEADDE(cm) BE ABAE 5 4 1(cm) 菱形的面积为 AB DE 5315(cm 2) 在 Rt DEB中, 2222 3110BDDEBE(cm) 综上所述正确故选C 【点评】 此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四、锐角三角函数与相关知识的
13、综合 4如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,以AB为直径的 O经过点 D,E是 O上一点, 且 AED 45 (1)试判断 CD与 O的关系,并说明理由 (2)若 O的半径为3 cm, ,AE5 cm求 ADE的正弦值 【思路点拨】 (1)连接 OD ,可证 OD CD ,所以 CD与 O相切; (2)连接 BE ,则 ADE ABE ,所以 sin ADE sin ABE AE AB 【答案与解析】 (1)CD与 O 相切理由:如图所示,连接OD ,则 AOD 2AED 245 90四边形 ABCD 是平行四边形, ABDC , CDO AOD 90, OD CD , CD与 O相切 (
14、2) 如图所示,连接BE ,则 ADE ABE AB是 O的直径, AEB 90, AB 236(cm) 在 Rt ABE中, 5 sin 6 AE ABE AB sin ADE sin ABE 5 6 AE AB 【点评】 证明某直线是圆的切线,一般要连接过切点的半径,然后证明该半径与已知直线垂直第(2) 题通过作辅助线 BE ,将问题巧妙转化为RtABE的边角关系在圆的有关证明中若有直径,一般要利用“直径所对的圆周角 学习必备欢迎下载 等于 90”这一性质构造直角三角形 举一反三:【变式 】如图,C、D是半圆O上两点, 5 11 CD AB ,求cosCEB和tanCEB A B C D
15、E O 【答案】, 连结 BC , 则 ACB=90 ,易证 ECD EBA , C E C D5 = EBAB11 , cosCEB= 5 . 11 CE= EB tanCEB= 4 6 . 5 BC= CE 类型五、三角函数与实际问题 5如图所示, 一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向,与灯塔P的距离为80 海里的 A处,它沿正南方向航 行一段时间后, 到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔 P的距离 ( 结果保留根号 ) 【思路点拨】由题意知 ABP中 A60, B45, APB 75联想到两个三角板拼成的三角形因此很自 然作 PC AB交 AB于 C 【答案与
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