【优质文档】【典型例题】第二章一阶微分方程的初等解法.pdf
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1、学习必备欢迎下载 第二章一阶微分方程的初等解法 例 2-1 求0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx的通解。 解 解法 1 不定积分法。 令 22 63),(xyxyxM, 32 46),(yyxyxN, 则xy y N xy y M 12,12 ,所以该方程为恰当方程。 22 63),(xyxyxM x U , 关于x积分,得 )(3 223 yyxxU, 322 46),()(6yyxyxNyyx y U , 3 4)(yy, 4 )(yy, 所以通解为CyyxxyxU 4223 3),(。 解法 2 公式法 利用恰当方程求解方法3 中公式得方程通积分为 Cyxxydyydxx
2、yxyxU xy 2234 00 322 34)63(),( 解法 3 分组法 去括号重新分组可得 06643 2232 ydyxdxxydyydxx 0)(3)( 222243 dyxdxyyxd 积分,得原方程的通解为Cyyxx 4223 3。 评注: 求解一个对称形式方程的时候,首先应当判定它是不是恰当方程,如果是,则就 可以直接进行求解,否则求其积分因子将方程化为恰当方程来求解。实际应用中, 往往在判 断一个方程为恰当方程之后,并不需要严格按照解法1 和解法2 的常规方法求解,而可以 采用分项组合的办法,先把那些本身已构成全微分的项分出,再把剩下的项凑成全微分,这 学习必备欢迎下载 样
3、可以简化运算量,因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式: )(xydxdyydx,)( 2 y x d y xdyydx ,)( 2 x y d x ydxxdy , )(ln y x d xy xdyydx ,)( 22 y x arctgd yx xdyydx ,)(ln 2 1 22 yx yx d yx xdyydx , )ln( 2 1 22 22 yxd yx ydyxdx ,)(ln 22 yx yx d yx xdyydx ,)( 22 22 yxd yx ydyxdx 。 例 2-2 求方程0)( 2223 ydyxdxyxx的通解。 解经判断xy x N y y M 2,2
4、,所以该方程不是恰当方程。 分组得 0)( 2223 dxyxydyxdxx 显然前两项具有积分因子 2 1 x ,相应的全微分为 )( 2 122 yxdydyxdx, 要使得 )( 1 )( 1 22 22 2 x yx yx x 成立。只需取 22 22 1 )( yx yx, 2 1 )( x x即可,这样就找到了一个积分因子 )( 1 222 yxx 。 原方程两边同乘 )( 1 222 yxx ,可得 0 1 ln 22 x dyxd, 所以通解为C x yx 1 ln 22 。 评注: 当一个方程不是恰当方程时,寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径, 分组组合法降低了寻找
5、积分因子的难度,这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式。 学习必备欢迎下载 例 2-3 求方程0)(dyxyydx的通解。 解由于1, 1 x N y M ,所以原方程不是恰当方程。 解法 1 可将原方程改写为 ydyxdyydx, 左端有积分因子 2 1 ),( x yx或, 1 ),( 2 y yx,但考虑到右端只与变量y有关,故取 2 1 ),( y yx 为方程的积分因子,因此有 y dy y xdyydx 2 , 两边积分可得通解 Cy y x ln,易见0y也是原方程的解。 解法 2 也可将原方程改写为 yx y dx dy , 这是齐次方程。 令uxy,即可进行求解。 解法
6、3 将x看作未知函数,原方程可化为线性方程 1 1 x ydy dx , 从而可就x进行求解。 解法 4 由于 yM x N y M 2 ,只与y有关,所以存在关于y的积分因子 学习必备欢迎下载 2 ln2 2 1 ),( y eeyx y dy y , 以 2 1 ),( y yx乘以方程两端,得到 0 11 2 dy y x dy y dx y , 为恰当方程,即 0 2 y dy y xdyydx , 因而通解为Cy y x ln,另外,易见0y也是原方程的解。 评注: 解法1 体现了选取积分因子的一般原则,如果积分因子选取恰当,则解方程的 难度就会降低;解法2 运用了转化的思想,将原方
7、程化为可分离变量的方程;解法3 体现 了在求解常微分方程时,变量x和y具有同等重要的地位,有时侯将x看成y的函数, 则方 程很容易就x求解;当判定 N x N y M 只与x有关或者 M x N y M 只与y有关时,运用解 法 4 可以很方便地求出积分因子,但必须注意乘以积分因子),(yx可能出现使此积分因子 为零的多余特解,同时应该注意在对方程作同解变形时,会不会产生漏解的情况,如果漏掉 则应当补上,例如上例当中的 0y 。 例 2-4 证明方程0),(),(dyyxNdxyxM有形如),(yx的积分因子的充要 条件是),()( 1 yxf y M x N x N y M ,并求出这个积分
8、因子。 证由定理2.2,方程0),(),(dyyxNdxyxM有积分因子),(yx的充要条件是 )( x N y M y M x N 。 令),(yx,则有 学习必备欢迎下载 ),()(yx x N y M yd d M xd d N 即),(yx满足下列微分方程 1 )( 1 y M x N x N y M d d , 上式右端应为),(yx的函数,这就证明了),(yx为方程的积分因子的充要条 件为 ),()( 1 yxf y M x N x N y M 。 求解一阶方程),( 1 yxf d d , 得积分因子为 dyxf eyx ),( ),(。 评注: 此例对于探索积分因子极为有用。若
9、令 y xyx y x xyyx, 22 ,则可分别获得方程 0),(),(dyyxNdxyxM 具有以下形式 )(),(),(),(),( 22y xfyxf y x fxyfyxf积分因子的充分 必要条件分别为 )(yx MN x N y M ,)(xy xMyN x N y M ,)( )( 2 y x xMyN x N y M y , )( 22 yx yMxN x N y M ,)(yx M y N x x N y M 。 例 2-5 求方程0)53()24( 3 xdyydxyxdyydxx的通解。 学习必备欢迎下载 解 对第一项,可以取 yx 2 1 1 ,乘以 1 得 yxd
10、y dy x dx2 ln2 24 , 因此可取第一项的积分因子通式为yx yx 2 1 2 1 。 同理第二项的积分因子通式为 53 2 4 1 yx xy 。 容易看出,若取tttt 2 2 1 ,,则两项的积分因子相等为 yx yx 2 1 2 1 yxyx xy 253 2 4 1 这就是方程的积分因子。 如果不易观察到所需的tt 21 ,,我们可以尝试用下面方法。 现设 zz 1 , zz 2 ,我们选择 ,使得 yx xy yx yx 53 4 2 2 11 成立。 比较两边 yx, 的次数,得 451 1322 , 从而求得 1 2 。 因此两项的公共积分因子,即原方程的积分因子
11、是yxyx 2 ),(。 将所求积分因子乘原方程两端得 05324 4352423 dyyxdxyxydyxdxyx, 即有 0 53352442 dyxdxydyxdxy, 故通解是Cyxyx 5324 。 学习必备欢迎下载 评注: 用分组法求积分因子的关键在于方程恰当分组和寻求各组的共同积分因子。 例 2-6 求下列方程的通解。 1)0)73()35( 223 dyxyxdxyxy 2)0)()23( 223 dyxyxdxyxy 解 1) 解法 1设有积分因子 yx,则 0)73()35( 212311 dyyxyxdxyxyx 为恰当方程,于是 x yxyx y yxyx)73()35
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