【优质文档】不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.pdf
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1、学习必备欢迎下载 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型 1:设 f(x)=ax+b f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf . 例1. 设 y=(log2x) 2+(t-2)log 2x-t+1,若 t 在-2,2上变化, y 恒取正值,求实数x 的取值范围。 解:设 f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x) 2-2log 2x+1, t-2,2 问题转化为: f(t)0 对 t -2,2恒成立 0)2( 0)2( f f 01)(log 03log4)(log 2 2 2 2 2 x xx
2、0x 2 1 或 x8。 故实数 x 的取值范围是(0, 2 1 )( 8,+) 。 例 2.对于-1a1, 求使不等式 ( 2 1 ) axx2 0 在 a-1,1上恒成立 ,则须满足 0) 1( 0) 1( f f 023 0 2 2 xx xx x2 或 x0 故实数的取值范围是(- ,0) (2,+). 类型 2:设 f(x)=ax 2+bx+c (a 0) f(x) 0 在 xR上恒成立a 0 且 0; f(x) 0 在 xR上恒成立a 0 且 0. 说明: .只适用于一元二次不等式 .若未指明二次项系数不等于0,注意分类讨论. 例 3. 不等式 364 22 2 2 xx mmxx
3、 1 对一切实数x 恒成立,求实数m的取值范围。 解:由 4x 2+6x+3=(2x+ 2 3 ) 2+ 4 3 0, 对一切实数x 恒成立,从而,原不等式等价于 2x 2+2mx+m 4x2+6x+3, (x R) 即: 2x 2+(6-2m)x+(3-m) 0 对一切实数x 恒成立。 则 =(6-2m) 2-8(3-m) 0 解得: 1m 3 故实数 m的取值范围是(1,3) 。 类型 3:设 f(x)=ax 2+bx+c (a 0) ( 1)当 a0 时 学习必备欢迎下载 f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 2 mf m a b 或 o n a b m 2 或 0)( 2 nf
4、n a b 0)( 2 mf m a b 或 0 或 0)( 2 nf n a b . f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf . ( 2)当 a0 时 f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 2 mf m a b 或 o n a b m 2 或 0)( 2 nf n a b 0)( 2 mf m a b 或 0 或 0)( 2 nf n a b . 说明:只适用于一元二次不等式. 类型 4:af(x) 恒成立对xD恒成立af(x) max, af(x)对 x D恒成立af(x) min. 说明: .
5、f(x) 可以是任意函数 .这种思路是:首先是-分离变量,其次用-极端值原理。把问题转化为求函数的最值,若f(x)不存 在最值,可求出f(x)的范围,问题同样可以解出。 例 4.(2000.上海)已知f(x)= x axx2 2 0 在 x, 1上恒成立,求实数a 的取值范围。 分析 1:当 x,1时, f(x) 0 恒成立,等价于x 2+2x+a 0 恒成立 , 只需求出 g(x)= x 2+2x+a 在 , 1上的最小值,使最小值大于0 即可求出实数a 的取值范围。 解法 1:f(x)= x axx2 2 0 对 x , 1恒成立 学习必备欢迎下载 x 2+2x+a0 对 x , 1恒成立
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